Юктибхана

Yuktibhāṣā ( малаяла : യുക്തിഭാഷ , лит  «Обоснование» ^[1] ), также известный как Gaṇitanyāyasaṅgraha ( Сборник астрономической Обоснование ), ^[1] является однимосновного трактата по математике и астрономии , написанный индийским астроном Джйестадевым из Кералы школы в математики около 1530 года. ^[1] Трактат, написанный на малаялам, представляет собой обобщение открытий Мадхавы из Сангамаграмы , Нилакантхи Сомаяджи ,Парамешвара , Джештадева , Ачьюта Пишарати и другие астрономы-математики керальской школы.

Работа была уникальной для своего времени, поскольку содержала доказательства и выводы представленных теорем ; что-то необычное для индийских математиков той эпохи. ^[2] Некоторые из его важных тем включают разложение функций в бесконечный ряд ; степенной ряд , в том числе π и π / 4; тригонометрические ряды из синус , косинус и арктангенс ; Ряды Тейлора , включая аппроксимации синуса и косинуса второго и третьего порядка ; радиусы, диаметры и окружности; и тесты сходимости.

Юктибхана в основном основана на Тантра Самграха Нилакантхи . ^[3] Считается, что это ранний текст об идеях исчисления , предшествовавший Ньютону и Лейбницу на века. ^{[4] [5] [6] [7] [8]} Трактат остался практически незамеченным за пределами Индии, так как был написан на местном языке малаялам. Часто принято обобщать, что ранним индийским ученым в области астрономии и вычислений не хватало доказательств, но Юктибхана доказывает обратное. ^[9]В наше время, благодаря более широкому международному сотрудничеству в области математики, весь мир обратил внимание на эту работу. Например, и Оксфордский университет, и Королевское общество Великобритании приписывают новаторские математические теоремы индийского происхождения, предшествующие их западным аналогам. ^{[5] [6] [7] [8]}

СОДЕРЖАНИЕ

Юктибхана содержит большинство разработок ранней школы Кералы, особенно Мадхавы и Нилакантхи . Текст разделен на две части: первая посвящена математическому анализу, а вторая - астрономии. ^[1]

Математика

Первый четыре главу Yuktibhāṣā содержит элементарную математику, такие как деление, по теореме Пифагора , квадратные корни и т.п. ^[10] Новые идеи не не обсуждаются до шестой главы по окружности в виде окружности . Yuktibhāṣā содержит вывод и доказательство для степенных рядов по обратной касательной , обнаруженной Мадхава. ^[3] В тексте Джьестхадева описывает серию Мадхавы следующим образом:

Первый член - это произведение заданного синуса и радиуса искомой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в процессе итерации, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается сложением и вычитанием, соответственно, членов нечетного ранга и членов четного ранга. Установлено, что синус дуги или ее дополнения, в зависимости от того, какой из них меньше, следует принимать здесь как заданный синус. В противном случае члены, полученные с помощью этой вышеупомянутой итерации, не будут стремиться к нулевой величине.

В современных математических обозначениях

${\ displaystyle r \ theta = {r {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}} - {\ frac {r} {3}} {\ frac {\ sin ^ {3} \ theta} {\ cos ^ {3} \ theta}} + {\ frac {r} {5}} {\ frac {\ sin ^ {5} \ theta} {\ cos ^ {5} \ theta}} - {\ frac {r} {7}} {\ frac {\ sin ^ {7} \ theta} {\ cos ^ {7} \ theta}} + \ cdots}$

или, выраженный в касательных,

${\ displaystyle \ theta = \ tan \ theta - {\ frac {1} {3}} \ tan ^ {3} \ theta + {\ frac {1} {5}} \ tan ^ {5} \ theta - \ cdots \,}$

который ранее был приписан Джеймсу Грегори , который опубликовал его в 1667 году.

Текст также содержит разложение Мадхавы в бесконечный ряд π, которое он получил из разложения функции арктангенса.

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} + \ cdots}$

Используя рациональную аппроксимацию этого ряда, он дал значения числа π как 3,14159265359 с точностью до 11 знаков после запятой и как 3,1415926535898 с точностью до 13 знаков после запятой.

В тексте описаны два метода вычисления значения π. Сначала получите быстро сходящийся ряд, преобразовав исходный бесконечный ряд π. Таким образом, первые 21 член бесконечного ряда

${\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right)}$

был использован для вычисления приближения до 11 знаков после запятой. Другой метод заключался в добавлении остаточного члена к исходному ряду числа π. Остаточный член использовался при разложении в бесконечный ряд для улучшения приближения π до 13 десятичных знаков точности при n = 76.${\ textstyle {\ frac {n ^ {2} +1} {4n ^ {3} + 5n}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$

Помимо этого, Юктибхана содержит множество элементарных и сложных математических тем, в том числе:

• Доказательств для расширения синус и косинус функций
• В суммарные и разностные формулы для синуса и косинуса
• Целочисленные решения систем линейных уравнений (решаемые с помощью системы, известной как куттакарам )
• Геометрические выводы серий
• Ранние утверждения ряда Тейлора для некоторых функций
• Тесты сходимости сумм
• Дифференцирование , интегрирование , итерационные методы решения нелинейных уравнений и теория, согласно которой площадь под кривой является ее интегралом. ^[7]

Астрономия

В главах седьмой-семнадцатой рассматриваются вопросы астрономии: планетные орбиты , небесные сферы , восхождение , склонение , направления и тени, сферические треугольники , эллипсы и коррекция параллакса . Планетарная теория, описанная в книге, аналогична теории, принятой позднее датским астрономом Тихо Браге . ^[11]

Современные издания

Важность юктибханы была доведена до сведения современных ученых К. М. Вишем в 1832 году в статье, опубликованной в « Транзакциях» Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . ^[9] Однако математическая часть текста, вместе с примечаниями на малаялам, была впервые опубликована только в 1948 году Рамой Вармой Тампураном и Ахилешварой Айяром. ^[1]

Впервые издание всего текста малаялам вместе с английским переводом и подробными пояснительными примечаниями было опубликовано Springer в 2008 году ^[12].

Третий том, представляющий критическое издание санскритской Ганитаюктибхасы, был опубликован Индийским институтом перспективных исследований в Шимле в 2009 году ^[13].

Смотрите также

• Ганита-юкти-бхаса
• Индийская математика
• Школа Кералы

использованная литература

внешние ссылки

• Биография Джестадевы - Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия