Интегральный тест на сходимость

Интегральный тест, применяемый к гармоническому ряду . Поскольку площадь под кривой y = 1 / x для x ∈ [1, ∞) бесконечна, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной.

В математике , то интегральный признак сходимости является методом , используемым для проверки бесконечного ряда из неотрицательных условий для сходимости . Он был разработан Колином Маклореном и Огюстэном-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена – Коши .

Положение об испытании [ править ]

Рассмотрим целое число N и неотрицательную функцию f, определенную на неограниченном интервале [ N , ∞) , на котором она монотонно убывает . Тогда бесконечный ряд

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = N} ^ {\ infty} е (п)}$

сходится к действительному числу тогда и только тогда, когда несобственный интеграл

${\ Displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$

конечно. Другими словами, если интеграл расходится, то расходится и ряд .

Замечание [ править ]

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство дает также нижнюю и верхнюю оценки

${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} е (х) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$

( 1 )

для бесконечной серии.

Доказательство [ править ]

Доказательство в основном использует сравнительный тест , сравнивая член f ( n ) с интегралом от f по интервалам [ n - 1, n ) и [ n , n + 1) , соответственно.

Поскольку f - монотонно убывающая функция, мы знаем, что

${\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {для всех}} x \ in [n, \ infty)}$

и

${\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {для всех}} x \ in [N, n].}$

Следовательно, для любого целого п ≥ N ,

${\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}$

( 2 )

и для любого целого п ≥ N + 1 ,

${\ Displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}$

( 3 )

Суммируя по всем n от N до некоторого большего целого M , получаем из ( 2 )

${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ sum _ {n = N} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}$

и из ( 3 )

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Объединение этих двух оценок дает

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Устремляя M к бесконечности, следуют оценки в ( 1 ) и результат.

Приложения [ править ]

Гармонический ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

расходится, потому что, используя натуральный логарифм , его первообразную и основную теорему исчисления , мы получаем

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Напротив, сериал

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}}$

(см. дзета-функцию Римана ) сходится для любого ε > 0 , потому что по правилу мощности

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

Из ( 1 ) получаем оценку сверху

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

которые можно сравнить с некоторыми конкретными значениями дзета-функции Римана .

Граница между расхождением и конвергенцией [ править ]

В приведенных выше примерах с использованием гармонических рядов возникает вопрос, существуют ли такие монотонные последовательности, что f ( n ) убывает до 0 быстрее, чем 1 / n, но медленнее, чем 1 / n ^{1+ ε} в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

для любого ε > 0 и будет ли по- прежнему расходиться соответствующий ряд функции f ( n ) . Как только такая последовательность найдена, можно задать аналогичный вопрос с f ( n ), играющим роль 1 / n , и так далее. Таким образом можно исследовать границу между расхождением и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный критерий сходимости, можно показать (см. Ниже), что для любого натурального числа k ряд

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}$

( 4 )

все еще расходится (см. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится при k = 1 ), но

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}$

( 5 )

сходится для любого ε > 0 . Здесь ln _k обозначает k -кратную композицию натурального логарифма, рекурсивно определяемую формулой

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Кроме того, N _k обозначает наименьшее натуральное число такое, что k -кратная композиция определена корректно и ln _k ( N _k ) ≥ 1 , т. Е.

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

с использованием тетрации или нотации Кнута со стрелкой вверх .

Чтобы увидеть расходимость ряда ( 4 ) с помощью интегрального теста, заметим, что при повторном применении цепного правила

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

следовательно

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Чтобы увидеть сходимость ряда ( 5 ), обратите внимание, что по правилу мощности, правилу цепочки и приведенному выше результату

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

следовательно

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

а ( 1 ) дает оценки для бесконечного ряда в ( 5 ).

См. Также [ править ]

• Тесты сходимости
• Конвергенция (математика)
• Тест прямого сравнения
• Теорема о доминирующей сходимости
• Формула Эйлера-Маклорена
• Предел сравнительного теста
• Теорема о монотонной сходимости

Ссылки [ править ]

• Кнопп, Конрад , «Бесконечные последовательности и серии», Dover Publications , Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Уиттакер, ET, и Уотсон, GN, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 
• Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гюльбенкян, 1987, ISBN 972-31-0179-3