Теорема Кутты – Жуковского.

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Теорема Кутта – Жуковского»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Теорема Кутты – Жуковского - это фундаментальная теорема в аэродинамике, используемая для расчета подъемной силы профиля и любых двумерных тел, включая круглые цилиндры, перемещающихся в однородной жидкости с постоянной скоростью, достаточно большой, чтобы поток, наблюдаемый в неподвижном теле рама устойчивая и неразрывная. Теорема связывает подъемную силу, создаваемую аэродинамическим профилем, со скоростью аэродинамического профиля в текучей среде, плотностью текучей среды и циркуляцией вокруг аэродинамического профиля. Циркуляция определяется как интеграл линии вокруг замкнутого контура, охватывающего аэродинамический профиль составляющей скорости жидкости, касательной к контуру. ^[1] Он назван в честьМартин Кутта и Николай Жуковский (или Жуковский), которые первыми разработали его ключевые идеи в начале 20 века. Теорема Кутта – Жуковского - это невязкая теория , но она является хорошим приближением для реального вязкого потока в типичных аэродинамических приложениях. ^[2]

Теорема Кутта-Жуковски связывает подъемную силу с циркуляцией во многом так же, как эффект Магнуса связывает боковую силу (называемую силой Магнуса) с вращением. ^[3] Однако циркуляция здесь не вызвана вращением профиля. Течение жидкости при наличии аэродинамического профиля можно рассматривать как суперпозицию поступательного и вращающегося потоков. Этот вращающийся поток вызывается эффектами изгиба , угла атаки и острой задней кромки аэродинамического профиля. Не следует путать с вихрем, подобным торнадо.по периметру профиля. На большом расстоянии от профиля вращающийся поток можно рассматривать как индуцированный линейным вихрем (при этом вращающаяся линия перпендикулярна двумерной плоскости). При выводе теоремы Кутта – Жуковского крыловой профиль обычно отображается на круговой цилиндр. Во многих учебниках теорема доказывается для кругового цилиндра и профиля Жуковского , но она верна для общих профилей.

Формула подъемной силы [ править ]

Теорема применима к двумерному обтеканию фиксированного профиля (или любой формы бесконечного пролета ). Подъемная сила на единицу пролета профиля определяется выражением ^[4]${\ Displaystyle L '\,}$

${\ Displaystyle L ^ {\ prime} = \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma, \,}$

( 1 )

где и - плотность жидкости и скорость жидкости далеко перед аэродинамическим профилем, а - циркуляция, определяемая как линейный интеграл.${\ Displaystyle \ rho _ {\ infty} \,}$${\ Displaystyle V _ {\ infty} \,}$${\ displaystyle \ Gamma \,}$

${\ Displaystyle \ Gamma = \ oint _ {C} V \ cdot d \ mathbf {s} = \ oint _ {C} V \ cos \ theta \; ds \,}$

по замкнутому контуру, охватывающему аэродинамический профиль, в отрицательном (по часовой стрелке) направлении. Как поясняется ниже, этот путь должен проходить в области потенциального потока, а не в пограничном слое цилиндра. Подынтегральное является компонентом локальной скорости жидкости в направлении касательной к кривой и является бесконечно малой длины на кривой, . Уравнение (1) является формой теоремы Кутты – Жуковского.${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle В \ соз \ тета \,}$${\ Displaystyle C \,}$${\ displaystyle ds \,}$${\ Displaystyle C \,}$

Кюте и Шетцер формулируют теорему Кутты – Жуковского следующим образом: ^[5]

Сила на единицу длины, действующая на правый цилиндр любого поперечного сечения, равна и перпендикулярна направлению${\ Displaystyle \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma}$${\ displaystyle V _ {\ infty}.}$

Циркуляция и условие Кутты [ править ]

Аэродинамический профиль, создающий подъемную силу, либо имеет выпуклость, либо действует под положительным углом атаки , то есть углом между линией хорды и потоком жидкости далеко перед аэродинамическим профилем. Кроме того, профиль должен иметь острую заднюю кромку.

Любая реальная жидкость вязкая, что означает, что скорость жидкости на профиле равна нулю. Прандтль показал, что при большом числе Рейнольдса , определяемом как , и малом угле атаки, обтекание тонкого аэродинамического профиля состоит из узкой вязкой области, называемой пограничным слоем возле тела, и области невязкого потока снаружи. При применении теоремы Кутта-Жуковского петля должна выбираться вне этого пограничного слоя. (Например, циркуляция, рассчитанная с использованием контура, соответствующего поверхности аэродинамического профиля, будет равна нулю для вязкой жидкости.)${\ displaystyle Re = {\ frac {\ rho V _ {\ infty} c_ {A}} {\ mu}} \,}$

Требование острой задней кромки физически соответствует потоку, в котором текучая среда, движущаяся вдоль нижней и верхней поверхностей аэродинамического профиля, встречается плавно, при этом жидкость не движется вокруг задней кромки аэродинамического профиля. Это известно как состояние Кутты .

Кутта и Жуковски показали, что для расчета давления и подъемной силы тонкого профиля для обтекания при большом числе Рейнольдса и малом угле атаки поток можно считать невязким во всей области за пределами профиля при условии выполнения условия Кутта. Это известно как теория потенциального потока и замечательно работает на практике.

Вывод [ править ]

Ниже представлены два вывода. Первый - это эвристический аргумент, основанный на физическом понимании. Второй - формальный и технический, требующий базового векторного анализа и комплексного анализа .

Эвристический аргумент [ править ]

В качестве эвристического аргумента рассмотрим тонкий профиль с хордой и бесконечным размахом, движущийся в плотном воздухе . Пусть аэродинамический профиль наклонен к набегающему потоку, чтобы создать скорость воздуха с одной стороны аэродинамического профиля и скорость воздуха с другой стороны. Тогда тираж${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V + v}$

${\ Displaystyle \ Gamma = Vc- (V + v) c = -vc. \,}$

Разницу давлений между двумя сторонами профиля можно найти, применив уравнение Бернулли :${\ displaystyle \ Delta P}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}$

${\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}$

так что подъемная сила на единицу пролета равна

${\displaystyle L'=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}$

Дифференциальный вариант этой теоремы применяется к каждому элементу пластины и лежит в основе теории тонкого аэродинамического профиля .

Формальное происхождение [ править ]

Формальный вывод теоремы Кутты – Жуковского.

Прежде всего рассчитывается сила, действующая на каждую единицу длины цилиндра произвольного поперечного сечения. [6] Пусть эта сила на единицу длины (отныне называемая просто силой) будет . Итак, общая сила равна:${\displaystyle \mathbf {F} \,}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$ где C обозначает границу цилиндра, - статическое давление жидкости, - единичный вектор, нормальный к цилиндру, а ds - элемент дуги границы поперечного сечения. Теперь позвольте быть углом между вектором нормали и вертикалью. Тогда составляющими вышеуказанной силы являются:${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {n} \,}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$ Теперь наступает решающий шаг: рассматривать используемое двумерное пространство как сложную плоскость . Таким образом, каждый вектор может быть представлен как комплексное число , первый компонент которого равен действительной части, а второй компонент - мнимой части комплексного числа. Тогда силу можно представить как: ${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$ Следующий шаг - взять комплексное сопряжение силы и произвести некоторые манипуляции:${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$ Сегменты поверхности ds связаны с изменениями dz вдоль них следующим образом: ${\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}$ Подключив это обратно к интегралу, мы получим: ${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$ Теперь используется уравнение Бернулли , чтобы убрать давление из интеграла. На протяжении всего анализа предполагается, что внешнее силовое поле отсутствует. Массовая плотность потока: Тогда давление связано со скоростью следующим образом:${\displaystyle \rho .}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$ ${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$ При этом сила становится:${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$ Только один шаг осталось сделать: ввести в комплексный потенциал течения. Это связано с компонентами скорости, где апостроф обозначает дифференцирование по комплексной переменной z . Скорость касается границы C , поэтому это означает, что Следовательно, и желаемое выражение для силы получено:${\displaystyle w=f(z),}$${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,\,}$ ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$ которая называется теоремой Блазиуса . Чтобы прийти к формуле Жуковского, необходимо вычислить этот интеграл. Из комплексного анализа известно, что голоморфная функция может быть представлена ​​в виде ряда Лорана . Из физики задачи следует, что производная комплексного потенциала будет выглядеть так:${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}$ Функция не содержит членов высшего порядка, поскольку скорость остается конечной на бесконечности. Таким образом , представляет собой производную комплексного потенциала на бесконечности . Следующая задача - выяснить значение . Используя теорему о вычетах для вышеуказанного ряда:${\displaystyle a_{0}\,}$${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$${\displaystyle a_{1}\,}$ ${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$ Теперь выполните указанную выше интеграцию: ${\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}$ Первый интеграл распознается как циркуляция, обозначенная как Второй интеграл может быть вычислен после некоторых манипуляций:${\displaystyle \Gamma .}$ ${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$ Вот это функция тока . Поскольку граница C цилиндра сама является линией тока, функция тока на ней не изменяется, а . Следовательно, указанный выше интеграл равен нулю. Как результат:${\displaystyle \psi \,}$${\displaystyle d\psi =0\,}$ ${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$ Возьмите квадрат ряда: ${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}$ Вставляем это обратно в формулу Блазиуса – Чаплыгина и выполняем интегрирование с использованием теоремы о вычетах: ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$ Итак, формула Кутта – Жуковски: ${\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}$

Подъемные силы для более сложных ситуаций [ править ]

Подъемная сила, предсказываемая теоремой Кутта-Жуковского в рамках теории невязкого потенциального потока, является довольно точной даже для реального вязкого потока, при условии, что поток устойчивый и неразделенный. ^[7] При выводе теоремы Кутты – Жуковского использовалось предположение о безвихревом течении. Когда есть свободные вихри вне тела, как это может иметь место при большом количестве нестационарных течений, течение является вращательным. Когда поток вращательный, для получения подъемных сил следует использовать более сложные теории. Ниже приведены несколько важных примеров.

1. Импульсно начался поток при небольшом угле атаки . Для импульсивно запускаемого потока, например, полученного путем резкого ускорения аэродинамического профиля или установки угла атаки, существует вихревой слой, непрерывно сбрасываемый на задней кромке, а подъемная сила нестационарна или зависит от времени. Для начального потока с малым углом атаки вихревой слой следует по плоской траектории, а кривая коэффициента подъемной силы как функция времени задается функцией Вагнера. ^[8] В этом случае начальная подъемная сила составляет половину конечной подъемной силы, определяемой формулой Кутты – Жуковски. ^[9] Подъемная сила достигает 90% от значения в установившемся режиме, когда крыло преодолевает расстояние примерно в семь хордов.
2. Импульсивно запущен поток при большом угле атаки . Когда угол атаки достаточно велик, вихревой лист задней кромки изначально имеет спиралевидную форму, а подъемная сила в начальный момент является сингулярной (бесконечно большой). ^[10] Подъемная сила падает в течение очень короткого периода времени, прежде чем будет достигнута обычно предполагаемая монотонно возрастающая кривая подъемной силы.
3. Пусковой обтекание при большом угле атаки для крыльев с острыми передними кромками . Если, как у плоской пластины, передняя кромка также острая, то вихри также исчезают на передней кромке, и роль вихрей передней кромки двукратная ： (1) подъемная сила увеличивается, когда они еще близки к передней кромке. кромка, так что они поднимают кривую подъемной силы Вагнера; (2) они препятствуют подъемной силе, когда они конвектируются к задней кромке, вызывая новую вихревую спираль задней кромки, движущуюся в направлении уменьшения подъемной силы. Для этого типа потока карта вихревой силовой линии (VFL) ^[11] может использоваться для понимания влияния различных вихрей в различных ситуациях (включая большее количество ситуаций, чем начальный поток) и может использоваться для улучшения управления вихрями для увеличения или уменьшения подъемной силы. Карта линий вихревой силы - это двухмерная карта, на которой отображаются линии вихревой силы. Для вихря в любой точке потока его подъемная сила пропорциональна его скорости, его циркуляции и косинусу угла между линией тока и линией силы вихря. Следовательно, карта линии вихревой силы ясно показывает, создает ли данный вихрь подъемную силу или лифтовую силу вредную.
4. Теорема Лагалли . Когда источник (массы) закреплен вне тела, поправка силы из-за этого источника может быть выражена как произведение силы внешнего источника и индуцированной скорости в этом источнике по всем причинам, кроме этого источника. Это известно как теорема Лагалли. ^[12] Для двумерного невязкого потока классическая теорема Кутта Жуковски предсказывает нулевое сопротивление. Когда, однако, есть вихрь вне тела, возникает индуцированное вихрем сопротивление, аналогичное форме индуцированной подъемной силы.
5. Обобщенная теорема Лагалли . Для свободных вихрей и других тел вне одного тела без связанной завихренности и без образования вихрей справедлива обобщенная теорема Лагалли ^[13], с помощью которой силы выражаются как произведения силы внутренних сингулярностей (вихри изображения, источники и дублеты внутри каждого тела ) и индуцированная скорость в этих сингулярностях по всем причинам, кроме тех, которые находятся внутри этого тела. Вклад каждой внутренней особенности складывается в общую силу. Движение внешних сингулярностей также вносит вклад в силы, и составляющая силы из-за этого вклада пропорциональна скорости сингулярности.
6. Индивидуальная сила каждого тела для многочастичного вращательного потока . Когда в дополнение к множеству свободных вихрей и множественных тел существуют связанные вихри и образование вихрей на поверхности тела, обобщенная теорема Лагалли все еще выполняется, но сила, обусловленная образованием вихрей, существует. Эта производящая сила вихря пропорциональна скорости образования вихрей и расстоянию между парой вихрей в процессе производства. При таком подходе явная и алгебраическая формула силы, учитывающая все причины (внутренние особенности, внешние вихри и тела, движение всех сингулярностей и тел, а также образование вихрей) выполняется индивидуально для каждого тела ^[14] с ролью других тела, представленные дополнительными особенностями. Следовательно, возможно силовое разложение по телам.
7. Общее трехмерное вязкое течение . Для общих трехмерных вязких и нестационарных течений формулы сил выражаются в интегральных формах. Объемное интегрирование определенных величин потока, таких как моменты завихренности, связано с силами. Теперь доступны различные формы интегрального подхода для неограниченной области ^{[9] [15] [16]} и для искусственно усеченной области. ^[17] Теорема Кутта-Жуковски может быть восстановлена ​​из этих подходов при применении к двумерному профилю и когда поток является стационарным и неразделимым.
8. Теория подъемных линий для крыльев, вихрей на концах крыльев и индуцированного сопротивления . Крыло имеет конечный размах, и циркуляция в любой секции крыла изменяется в зависимости от направления по размаху. Это изменение компенсируется высвобождением продольных вихрей, называемых задними вихрями., в силу сохранения завихренности или теоремы Кельвина о сохранении циркуляции. Эти продольные вихри сливаются в две сильные спирали, вращающиеся в противоположных направлениях, на расстоянии, близком к размаху крыльев, и их ядра могут быть видны при высокой относительной влажности. Рассмотрение отстающих вихрей как серии полубесконечных прямых вихрей приводит к хорошо известной теории подъемных линий. Согласно этой теории, крыло имеет подъемную силу меньшую, чем предсказывается чисто двумерной теорией с использованием теоремы Кутты – Жуковского. Это происходит из-за влияния восходящих вихрей на угол атаки крыла. Это уменьшает эффективный угол атаки крыла, уменьшая подъемную силу, создаваемую при заданном угле атаки, и требует большего угла атаки для восстановления этой потерянной подъемной силы.С этим новым более высоким углом атаки также увеличилось сопротивление. Индуцированное сопротивление эффективно уменьшает наклон кривой подъемной силы двумерного аэродинамического профиля и увеличивает угол атаки${\displaystyle C_{L_{max}}}$(при этом также уменьшая значение ).${\displaystyle C_{L_{max}}}$

См. Также [ править ]

• Подковообразный вихрь

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Милн-Томсон, Л. М. (1973) Теоретическая аэродинамика , Dover Publications Inc, Нью-Йорк