Формула следа Кузнецова

В аналитической теории чисел , то формула следа Кузнецов является продолжением формулы следа Петерсона .

Формула Кузнецова или относительного следа связывает суммы Клоостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфных форм . Первоначально это можно было сформулировать так. Позволять

${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

быть достаточно " хорошо управляемой " функцией. Тогда называют тождества следующего типа формулой следа Кузнецова :

${\ displaystyle \ sum _ {c \ Equiv 0 \, {\ text {mod}} \ N} c ^ {- r} K (m, n, c) g \ left ({\ frac {4 \ pi {\ sqrt {mn}}} {c}} \ right) = {\ text {Интегральное преобразование}} \ + \ {\ text {Спектральные условия}}.}$

Интегральное преобразование части некоторые интегральное преобразования из г и спектральная часть представляет собой сумму коэффициентов Фурье, взятых по пространствам голоморфных и не голоморфных модулярных форм , скрученных с некоторыми интегральным преобразованием г . Формула следа Кузнецова была найдена Кузнецовым при изучении роста автоморфных функций с нулевым весом. ^[1] Используя оценки сумм Клоостермана, он смог получить оценки для коэффициентов Фурье модулярных форм в случаях, когда доказательство Пьера Делиня гипотез Вейля было неприменимо.

Позже он был переведен Жаке в теоретическую основу представления . Позвольте быть редуктивной группой над числовым полем F и быть подгруппой. В то время как обычная формула следа изучает гармонический анализ на G , формула относительного следа является инструментом для изучения гармонического анализа на симметричном пространстве . Для обзора и многочисленных приложений Cogdell, JW и I. Piatetski-Shapiro, Арифметический и спектральный анализ рядов Пуанкаре , том 13 « Перспективы в математике» . Academic Press Inc., Бостон, Массачусетс, (1990).${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H \ подмножество G}$ ${\ displaystyle G / H}$

Ссылки [ править ]

• Кузнецов Н.В. (1980), "Гипотеза Петерсона для параболических форм веса ноль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана", Математический сборник , Новая серия, 111 (153) (3): 334–383, ISSN  0368-8666 , MR  0568983