В математике , то линейная оболочка (также называется линейную оболочку [1] или просто пролет ) в виде множества S из векторов (из векторного пространства ), обозначаемый промежуток ( S ) , [2] [3] является наименьшим линейным подпространством , что содержит набор. [4] Его можно охарактеризовать либо как пересечение всех линейных подпространств , содержащих S , либо как набор линейных комбинаций элементов из S. Таким образом, линейная оболочка набора векторов является векторным пространством. Пролеты можно обобщить на матроиды и модули .
Чтобы выразить, что векторное пространство V является промежутком множества S , обычно используются следующие фразы: S охватывает V ; S порождает V ; V натянуто на S ; V порождается S ; S представляет собой охватывающее множество из V ; S представляет собой порождающее множество из V .
Определение
Учитывая векторное пространство V над полем K , пролет из множества S векторов (не обязательно бесконечно) определяется как пересечение W всех подпространств из V , которые содержат S . W упоминается как подпространство , натянутое на S , или векторами в S . С другой стороны , S называется охватывающую множество из W , и мы говорим , что S пролеты W .
В качестве альтернативы, промежуток S может быть определен как множество всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S , что следует из приведенного выше определения. [5] [6] [7] [8]
В случае бесконечного S бесконечные линейные комбинации (т. Е. Когда комбинация может включать бесконечную сумму, предполагая, что такие суммы определены каким-то образом, например, в банаховом пространстве ) исключаются определением; обобщение , которое позволяет этим не эквивалентны.
Примеры
Реальные векторное пространство R 3 имеет {(-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} , как остовный набор. Этот конкретный покрывающий набор также является основой . Если (-1, 0, 0) были заменены (1, 0, 0), было бы также формировать канонический базис из R 3 .
Другой остовный набор для того же пространства задается как {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, но это множество не является основой, потому что он линейно зависим .
Множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} не является остовным множеством R 3 , поскольку его промежуток - это пространство всех векторов в R 3 , последний компонент равен нулю. Это пространство также охватывает набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) является линейной комбинацией (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Однако он охватывает R 2 (при интерпретации как подмножество R 3 ).
Пустой набор является охватывающим набором {(0, 0, 0)}, поскольку пустой набор является подмножеством всех возможных векторных пространств в R 3 , а {(0, 0, 0)} является пересечением всех из эти векторные пространства.
Набор функций x n, где n - неотрицательное целое число, охватывает пространство многочленов.
Теоремы
Теорема 1: подпространство , натянутое на непустое подмножество S векторное пространство V есть множество всех линейных комбинаций векторов в S .
Эта теорема настолько хорошо известна, что иногда ее называют определением диапазона множества.
Теорема 2: Каждый охватывающее множество S векторного пространства V должен содержать , по крайней мере , столько же элементы, что и любой линейно независимый набор векторов из V .
Теорема 3. Пусть V - конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, который охватывает V, может быть сокращен до базиса для V , отбрасывая векторы, если необходимо (то есть, если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если выбранная аксиома верна, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность.
Это также указывает на то, что базис является минимальным остовным множеством, когда V конечномерно.
Обобщения
Обобщая определение промежутка точек в пространстве, подмножество X основного набора матроида называется остовным набором , если ранг X равен рангу всего основного набора [ необходима цитата ] .
Определение векторного пространства также может быть обобщено на модули. [9] [10] Учитывая R - модуль A и набор элементов 1 , ..., п из А , то подмодуль в А , натянутое на 1 , ..., п есть сумма циклических модулей
состоящий из всех R -линейных комбинаций элементов a i . Как и в случае векторных пространств, подмодуль A, натянутый на любое подмножество A, является пересечением всех подмодулей, содержащих это подмножество.
Замкнутый линейный пролет (функциональный анализ)
В функциональном анализе , замкнутая линейная оболочка множества из векторов является минимальным замкнутым множеством, содержащим линейную оболочкой этого множества.
Пусть X нормированное векторное пространство и Е быть любым непустое подмножество X . Замкнутая линейная оболочка из Е , обозначается или же , Есть пересечение всех замкнутых линейных подпространств X , которые содержат E .
Одна математическая формулировка этого:
Замкнутая линейная оболочка множества функций x n на интервале [0, 1], где n - неотрицательное целое число, зависит от используемой нормы. Если L 2 норма используется, то замкнутая линейная оболочка является гильбертово пространство из квадратично интегрируемых функций на отрезке. Но если использовать максимальную норму , замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на интервале. В любом случае замкнутая линейная оболочка содержит функции, которые не являются полиномами, и поэтому не находятся в самой линейной оболочке. Однако мощность множества функций в замкнутой линейной оболочке - это мощность континуума , которая равна мощности множества многочленов.
Заметки
Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как указано в следующей лемме, замкнутая линейная оболочка действительно является замыканием линейной оболочки.
Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе очень важны, см . Лемму Рисса ).
Полезная лемма
Пусть X нормированное пространство и Е быть любое непустое подмножество X . потом
- - замкнутое линейное подпространство в X, содержащее E ,
- , а именно. закрытие ,
(Таким образом, обычный способ найти замкнутую линейную оболочку - сначала найти линейную оболочку, а затем замыкание этой линейной оболочки.)
Смотрите также
- Аффинная оболочка
- Коническая комбинация
- Выпуклый корпус
Цитаты
- ^ Энциклопедия математики (2020) . Линейный корпус.
- ^ Axler (2015) стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ Math Vault (2021) Операторы, связанные с векторным пространством.
- ^ Axler (2015) стр. 29, § 2.7
- ^ Хефферон (2020) стр. 100, гл. 2, определение 2.13
- ^ Axler (2015) стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ↑ Роман (2005), стр. 41-42
- ^ MathWorld (2021) Диапазон векторного пространства.
- ^ Роман (2005) стр. 96, гл. 4
- Перейти ↑ Lane & Birkhoff (1999) p. 193, гл. 6
Источники
Учебник
- Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
- Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издательство. ISBN 978-1-944325-11-4.
- Лейн, Сондерс Мак ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). AMS Chelsea Publishing . ISBN 978-0821816462.
- Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.
- Rynne, Brian P .; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ . Springer. ISBN 978-1848000049.
Интернет
- Ланкхам, Исайя; Нахтергаэле, Бруно ; Шиллинг, Энн (13 февраля 2010 г.). «Линейная алгебра - как введение в абстрактную математику» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Проверено 27 сентября 2011 года .
- «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . Дата обращения 16 февраля 2021 .
- Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Векторный пространственный размах» . MathWorld . Дата обращения 16 февраля 2021 .
- «Линейный корпус» . Энциклопедия математики . 5 апреля 2020 . Дата обращения 16 февраля 2021 .
Внешние ссылки
- Линейные комбинации и промежуток: понимание линейных комбинаций и промежутков векторов , khanacademy.org.
- Сандерсон, Грант (6 августа 2016 г.). «Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы» . Суть линейной алгебры - через YouTube .