В математике , А лузинское пространство (или Лузин пространство ), названное Н. Лузин , является несчетным топологическим Т 1 пространство без изолированных точек , в которых каждое нигде не плотное подмножество счетно . Есть много незначительных вариаций этого определения: условие T 1 может быть заменено на T 2 или T 3 , а некоторые авторы допускают счетное или даже произвольное количество изолированных точек.
Существование пространства Лузина не зависит от аксиом ZFC. Лузин (1914) показал, что из гипотезы континуума следует существование лузинского пространства. Kunen (1977) показал , что в предположении аксиомы Мартина и отрицание континуум - гипотезы , нет Хаусдорфа Лузинские пространства.
В реальном анализе
В реальном анализе и описательной теории множеств , в наборе лузинского (или Лузина набора ), определяется как несчетное подмножество A из чисел таким образом, что каждое несчетное подмножество A нетощее; то есть второй категории Бэра . Эквивалентно, A - бесчисленное множество вещественных чисел, которое соответствует каждой первой категории, установленной только в счетном количестве точек. Лузин доказал, что если гипотеза континуума верна, то каждое немощное множество имеет подмножество Лузина . Очевидные свойства множества Лузина заключаются в том, что оно не должно быть исчерпывающим (в противном случае само множество является несчетным скудным подмножеством ) и иметь нулевую меру , потому что каждый набор положительной меры содержит скудный набор, который также имеет положительную меру, и поэтому неисчислим. Слабо множество Лузин несчетного подмножество действительного векторного пространства, что для любого подмножества несчетного множество направлений между различными элементами подмножества плотно в сфере направлений.
Мера категория двойственность дает меру аналог Лузин множества - множества положительной внешней меры, каждое несчетное подмножество которого имеет положительную внешнюю меру. Эти множества называются множествами Серпинского , в честь Вацлава Серпинского . Множества Серпинского являются слабо лузинскими, но не лузинскими множествами.
Пример набора Лузина
Выберите набор из 2 ℵ 0 скудных подмножеств R так , чтобы каждое скудное подмножество содержалось в одном из них. По гипотезе континуума их можно перечислить как S α для счетных ординалов α. Для каждого счетное порядковое & beta ; выбирают вещественное число х & beta ;, который не является ни в одном из множеств S & alpha для α <β, что возможно , как объединение этих множеств скудное так не весь R . Тогда несчетное множество X всех этих действительных чисел x β имеет только счетное число элементов в каждом множестве S α , как и множество Лузина.
Более сложные варианты этой конструкции дают примеры множеств Лузина, которые являются подгруппами, подполями или вещественно-замкнутыми подполями действительных чисел.
Рекомендации
- Архангельский А.В. (1978), «СТРУКТУРА И КЛАССИФИКАЦИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ И КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ» , Российские математические обзоры , 33 (6): 33–96, doi : 10.1070 / RM1978v033n06ABEH003884 Статья с упоминанием пространств Лузина
- Ефимов Б.А. (2001) [1994], "Пространство Лузина" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Кунен, Кеннет (1977), "Пространства Лузина", Труды по топологии, Vol. I (Conf., Auburn Univ., Auburn, Ala., 1976) , стр. 191–199, MR 0450063
- Лусин, Н.Н. (1914), "Sur un problème de M. Baire", CR Acad. Sci. Париж , 158 : 1258–1261
- Окстоби, Джон К. (1980), Мера и категория: обзор аналогий между топологическим пространством и пространством меры , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90508-1