Масштаба из карты является отношение рассто ни на карте к соответствующему расстоянию на земле. Эта простая концепция осложняется Кривизна Земли поверхности «ы, что силы масштабирования варьировать по всей карте. Из-за этого различия понятие масштаба приобретает смысл двумя разными способами.
Первый способ - это отношение размера генерирующего шара к размеру Земли. Генерирующий глобус - это концептуальная модель, в соответствии с которой Земля уменьшена и на которую проецируется карта . Отношение размера Земли к размеру генерирующего земного шара называется номинальным масштабом (= основной масштаб = репрезентативная доля ). На многих картах указан номинальный масштаб и может даже отображаться линейчатая шкала (иногда называемая просто «масштабом») для ее представления.
Вторая отличная концепция масштаба относится к вариациям масштаба на карте. Это отношение масштаба нанесенной точки к номинальному масштабу. В данном случае «масштаб» означает масштабный коэффициент (= балльная шкала = конкретная шкала ).
Если область карты достаточно мала, чтобы игнорировать кривизну Земли, например, на плане города, то в качестве масштаба можно использовать одно значение, не вызывая ошибок измерения. На картах, охватывающих большие территории или всю Землю, масштаб карты может быть менее полезным или даже бесполезным для измерения расстояний. Проекция карты становится критически важной для понимания того, как масштаб меняется по всей карте. [1] [2] Когда масштаб заметно меняется, это может быть учтено как масштабный коэффициент. Индикатриса Tissot часто используется для иллюстрации изменения шкалы точек на карте.
История
Основы количественного масштабирования карты восходят к древнему Китаю с текстовыми свидетельствами того, что идея масштабирования карты была понята во втором веке до нашей эры. Древние китайские геодезисты и картографы обладали обширными техническими ресурсами, которые использовались для создания карт, таких как счетные стержни , квадрат плотника , отвесы , компасы для рисования кругов и визирные трубки для измерения наклона. Системы отсчета, постулирующие зарождающуюся систему координат для определения местоположений, были намекают древние китайские астрономы, которые делили небо на различные сектора или лунные ложи. [3]
Китайский картограф и географ Пей Сю периода Троецарствия создал набор карт с большой территорией, которые были нарисованы в масштабе. Он разработал набор принципов, в которых подчеркивалась важность согласованного масштабирования, направленных измерений и корректировок в измерениях земли на местности, которая была нанесена на карту. [3]
Терминология весов
Представление масштаба
Масштаб карты может быть выражен словами (лексический масштаб), в виде отношения или дроби. Примеры:
- "от одного сантиметра до ста метров" или 1: 10 000 или 1/10 000
- «один дюйм на одну милю» или 1: 63 360 или 1/63 360
- «один сантиметр на тысячу километров» или 1: 100000000 или 1/100000000. (Соотношение обычно сокращается до 1: 100M)
Барная шкала против лексической шкалы
В дополнение к вышеперечисленным многие карты имеют одну или несколько (графических) шкал . Например, на некоторых современных британских картах есть три шкалы, по одной для километров, миль и морских миль.
Лексическую шкалу на языке, известном пользователю, может быть легче визуализировать, чем соотношение: если масштаб составляет от дюйма до двух миль и пользователь карты может видеть на карте две деревни, которые находятся на расстоянии примерно двух дюймов друг от друга, тогда это легко выяснить, что деревни находятся на расстоянии около четырех миль друг от друга.
Лексический масштаб может вызвать проблемы , если оно выражено на языке , который пользователь не понимает или устаревших или неопределенных единиц. Например, масштаб от одного дюйма до фарлонга (1: 7920) будет понятен многим пожилым людям в странах, где в школах преподавались имперские единицы . Но масштаб одного пула на одну лигу может составлять примерно 1: 144 000, в зависимости от выбора картографом множества возможных определений лиги, и только меньшинство современных пользователей будет знакомо с используемыми единицами измерения.
Большой, средний, маленький
- Контраст пространственного масштаба .
Карта бывает мелкомасштабной или крупномасштабной, а иногда и средней . Малый масштаб относится к картам мира или картам больших регионов, таких как континенты или большие страны. Другими словами, они показывают большие участки земли на небольшом пространстве. Они называются мелкомасштабными, потому что репрезентативная фракция относительно мала.
На крупномасштабных картах мелкие области показаны более подробно, например на картах округов или городских планах. Такие карты называются крупномасштабными, потому что репрезентативная доля относительно велика. Например, план города, представляющий собой крупномасштабную карту, может иметь масштаб 1: 10 000, тогда как карта мира, представляющая собой карту малого масштаба, может иметь масштаб 1: 100 000 000.
В следующей таблице описаны типичные диапазоны для этих шкал, но ее не следует считать авторитетной, поскольку нет стандарта:
Классификация | Диапазон | Примеры |
---|---|---|
крупномасштабный | 1: 0 - 1: 600 000 | 1: 0.00001 для карты вируса; 1: 5,000 для пешеходной карты города |
средний масштаб | 1: 600 000 - 1: 2 000 000 | Карта страны |
малый масштаб | 1: 2 000 000 - 1: ∞ | 1: 50 000 000 для карты мира; 1:10 21 для карты галактики |
Эти термины иногда используются в абсолютном смысле таблицы, но иногда в относительном смысле. Например, картограф, чья работа относится исключительно к крупномасштабным картам (как указано в таблице выше), может называть карту размером 1: 500 000 мелкомасштабной.
В английском языке слово large-scale часто используется для обозначения «обширного». Однако, как объяснялось выше, картографы используют термин «крупномасштабные» для обозначения менее обширных карт - тех, которые показывают меньшую площадь. Карты, показывающие обширную территорию, являются картами «малого масштаба». Это может вызвать недоумение.
Вариация шкалы
Нанесение на карту больших площадей вызывает заметные искажения, поскольку значительно сглаживает искривленную поверхность земли. Распространение искажений зависит от проекции карты . Масштаб варьируется по карте , и указанный масштаб карты является только приблизительным. Это подробно обсуждается ниже.
Крупномасштабные карты без учета кривизны
Область, в которой Землю можно считать плоской, зависит от точности съемочных измерений. Если измерять только с точностью до ближайшего метра, то кривизна Земли не обнаруживается на меридиональном расстоянии около 100 километров (62 мили) и на линии восток-запад протяженностью около 80 км (на широте 45 градусов). При съемке с точностью до 1 миллиметра (0,039 дюйма) кривизна не обнаруживается на меридиональном расстоянии около 10 км и на линии восток-запад около 8 км. [4] Таким образом, план Нью-Йорка с точностью до одного метра или план строительной площадки с точностью до одного миллиметра удовлетворяли бы вышеуказанным условиям без учета кривизны. Их можно рассматривать с помощью горизонтальной съемки и наносить на карту с помощью масштабных чертежей, на которых любые две точки на одинаковом расстоянии на чертеже находятся на одинаковом расстоянии на земле. Истинные расстояния до земли рассчитываются путем измерения расстояния на карте и последующего умножения на обратную долю масштаба или, что то же самое, простого использования разделителей для переноса расстояния между точками на карте в линейчатую шкалу на карте.
Снижение высоты
Изменение высоты от уровня земли до поверхности сферы или эллипсоида также изменяет масштаб измерения расстояния. [5]
Балльная шкала (или конкретная шкала)
Как показал Гаусс «s Theorema Egregium , сфера (или эллипсоид) не может быть спроецирована на плоскость без искажений. Обычно это иллюстрируется невозможностью разглаживать апельсиновую корку на плоской поверхности, не порвав и не деформируя ее. Единственное верное представление сферы в постоянном масштабе - это другая сфера, например, глобус .
Учитывая ограниченный практический размер глобусов, мы должны использовать карты для детального картографирования. Карты требуют проекций. Проекция подразумевает искажение: постоянное разделение на карте не соответствует постоянному разделению на земле. Хотя карта может отображать графическую шкалу, ее следует использовать с пониманием того, что она будет точной только на некоторых линиях карты. (Это обсуждается далее в примерах в следующих разделах.)
Пусть P точка на широте и долгота на сфере (или эллипсоиде ). Пусть Q - соседняя точка и пусть- угол между элементом PQ и меридианом в точке P: этот угол является азимутальным углом элемента PQ. Пусть P 'и Q' - соответствующие точки на проекции. Угол между направлением P'Q»и проекцией меридиана является подшипником . В общем. Комментарий: это точное различие между азимутом (на поверхности Земли) и пеленгом (на карте) наблюдается не повсеместно, многие авторы используют эти термины почти как синонимы.
Определение: шкала точка в точке Р есть отношение двух расстояний P'Q»и PQ в пределе , что Q приближается к P. Мы пишем это как
где обозначение указывает, что шкала пунктов является функцией положения P, а также направления элемента PQ.
Определение: если P и Q лежат на одном меридиане, масштаб меридиана обозначается .
Определение: если P и Q лежат на одной параллели, параллельный масштаб обозначается.
Определение: если шкала в пунктах зависит только от положения, а не от направления, мы говорим, что она изотропна, и условно обозначаем ее значение в любом направлении коэффициентом параллельного масштабирования..
Определение: проекция карты называется конформной, если угол между парой прямых, пересекающихся в точке P, такой же, как угол между проецируемыми линиями в проецируемой точке P 'для всех пар линий, пересекающихся в точке P. Конформная карта имеет изотропный масштабный коэффициент. И наоборот, изотропные масштабные коэффициенты по карте подразумевают конформную проекцию.
Изотропия масштаба подразумевает, что маленькие элементы растягиваются одинаково во всех направлениях, то есть форма маленького элемента сохраняется. Это свойство ортоморфизма (от греч. «Правильная форма»). Квалификация «малая» означает, что при некоторой заданной точности измерения не может быть обнаружено никаких изменений масштабного коэффициента по элементу. Поскольку конформные проекции имеют изотропный масштабный фактор, их также называют ортоморфными проекциями . Например, проекция Меркатора конформна, поскольку она построена для сохранения углов, а ее масштабный коэффициент является изотопным, функцией только широты: Меркатор действительно сохраняет форму в небольших регионах.
Определение: на конформной проекции с изотропным масштабом точки, имеющие одинаковое значение масштаба, могут быть соединены для образования изомасштабных линий . Они не отображаются на картах для конечных пользователей, но присутствуют во многих стандартных текстах. (См. Снайдер [1], страницы 203–206.)
Репрезентативная фракция (RF) или основная шкала
При составлении уравнений любой проекции используются два соглашения. Например, равнопрямоугольная цилиндрическая проекция может быть записана как
- картографы:
- математики:
Здесь мы примем первое из этих соглашений (следуя использованию Снайдера в обзорах). Очевидно, что приведенные выше уравнения проекции определяют положение огромного цилиндра, обернутого вокруг Земли, а затем развернутого. Мы говорим, что эти координаты определяют карту проекции, которую необходимо логически отличать от фактических распечатанных (или просматриваемых) карт. Если определение балльной шкалы в предыдущем разделе дано в терминах карты проекции, то можно ожидать, что масштабные коэффициенты будут близки к единице. Для нормальных касательных цилиндрических проекций масштаб вдоль экватора k = 1, и в целом масштаб изменяется по мере удаления от экватора. Анализ масштаба на карте проекции - это исследование отклонения k от его истинного значения, равного единице.
Фактические печатные карты создаются из карты проекции путем постоянного масштабирования, обозначаемого таким соотношением, как 1: 100M (для карт всего мира) или 1: 10000 (для таких как планы городов). Чтобы избежать путаницы при использовании слова «масштаб», эта доля постоянного масштаба называется репрезентативной долей (RF) печатной карты, и ее следует отождествлять с коэффициентом, напечатанным на карте. Фактические координаты распечатанной карты для равнопрямоугольной цилиндрической проекции:
- распечатанная карта:
Это соглашение позволяет четко различать собственное масштабирование проекции и масштабирование уменьшения.
С этого момента мы игнорируем RF и работаем с картой проекции.
Визуализация балльной шкалы: индикатриса Tissot
Рассмотрим небольшой круг на поверхности Земли с центром в точке P на широте и долгота . Поскольку шкала точек меняется в зависимости от положения и направления, проекция круга на проекции будет искажена. Компания Tissot доказала, что до тех пор, пока искажение не слишком велико, круг на проекции превратится в эллипс. Обычно размер, форма и ориентация эллипса меняются в зависимости от проекции. Наложение этих эллипсов искажения на проекцию карты передает способ изменения точечного масштаба на карте. Эллипс искажения известен как индикатриса Тиссо . Показанный здесь пример представляет собой трехпозиционную проекцию Винкеля , стандартную проекцию для карт мира, созданных Национальным географическим обществом . Минимальные искажения находятся на центральном меридиане на 30 градусах широты (северная и южная). (Другие примеры [6] [7] ).
Балльная шкала для нормальных цилиндрических проекций сферы
Ключом к количественному пониманию масштаба является рассмотрение бесконечно малого элемента на сфере. На рисунке показана точка P на широте и долгота на сфере. Точка Q находится на широте и долгота . Прямые PK и MQ представляют собой дуги меридианов длиной где - радиус сферы и измеряется в радианах. Прямые PM и KQ представляют собой дуги параллельных окружностей длины с участиемв радианах. При выводе точечного свойства проекции в P достаточно взять бесконечно малый элемент PMQK поверхности: в пределе Q, приближающемся к P, такой элемент стремится к бесконечно малому плоскому прямоугольнику.
Нормальные цилиндрические выступы шара имеют а также равняется только функции широты. Следовательно, бесконечно малый элемент PMQK на сфере проецируется на бесконечно малый элемент P'M'Q'K ', который представляет собой точный прямоугольник с основанием и высота . Сравнивая элементы на сфере и проекции, мы можем сразу же вывести выражения для масштабных коэффициентов на параллелях и меридианах. (Обработка масштаба в общем направлении может быть найдена ниже .)
- параллельный масштабный коэффициент
- масштабный коэффициент меридиана
Обратите внимание, что коэффициент параллельного масштабирования не зависит от определения так что это то же самое для всех нормальных цилиндрических выступов. Полезно отметить, что
- на широте 30 градусов параллельная шкала
- на широте 45 градусов параллельная шкала
- на широте 60 градусов параллельная шкала
- на широте 80 градусов параллельная шкала
- на широте 85 градусов параллельная шкала
Следующие ниже примеры иллюстрируют три нормальных цилиндрических проекции, и в каждом случае изменение масштаба в зависимости от положения и направления иллюстрируется с помощью индикатрисы Tissot .
Три примера нормальной цилиндрической проекции
Равнопрямоугольная проекция
Равнопромежуточная проекция , [1] [2] [4] также известная как Plate Carree (французский для «плоского квадрата») или (несколько обманчиво) эквидистантное проекции, определяются
где - радиус сферы, долгота от центрального меридиана проекции (здесь принимается за гринвичский меридиан в точке ) а также это широта. Обратите внимание, что а также выражены в радианах (полученные путем умножения степени на коэффициент / 180). Долгота находится в диапазоне и широта находится в диапазоне .
С предыдущий раздел дает
- параллельная шкала,
- меридианная шкала
Для расчета балльной шкалы в произвольном направлении см. Приложение .
На рисунке показана индикатриса Тиссо для этой проекции. На экваторе h = k = 1 и круговые элементы не искажены на проекции. На более высоких широтах круги искажаются в эллипс, задаваемый растяжением только в параллельном направлении: нет искажения в меридиональном направлении. Отношение большой оси к малой оси равно. Очевидно, что площадь эллипса увеличивается во столько же раз.
Поучительно рассмотреть возможность использования линейчатых шкал, которые могут появиться на печатной версии этой проекции. Масштаб истинный (k = 1) на экваторе, так что умножение его длины на печатной карте на обратную величину RF (или главный масштаб) дает фактическую длину окружности Земли. Гистограмма на карте также нарисована в истинном масштабе, поэтому перенос расстояния между двумя точками на экваторе на шкалу гистограмм даст правильное расстояние между этими точками. То же самое и с меридианами. На параллели, отличной от экватора, масштабпоэтому, когда мы переносим разделение с параллели на линейную шкалу, мы должны разделить расстояние шкалы на этот коэффициент, чтобы получить расстояние между точками при измерении вдоль параллели (которое не является истинным расстоянием по большому кругу). На линии с пеленгом, скажем, 45 градусов () шкала непрерывно изменяется с широтой, и перенос разделения вдоль линии на шкалу столбцов не дает расстояния, связанного с истинным расстоянием каким-либо простым способом. (Но см. Приложение ). Даже если бы мы могли вычислить расстояние по этой линии константы, ее актуальность сомнительна, поскольку такая линия на проекции соответствует сложной кривой на сфере. По этим причинам линейчатую шкалу на мелкомасштабных картах следует использовать с особой осторожностью.
Проекция Меркатора
Проекции Меркатора отображает сферу в прямоугольник (бесконечной протяженности в-направлением) уравнениями [1] [2] [4]
где, а также такие же, как в предыдущем примере. С коэффициенты масштабирования:
- параллельная шкала
- меридианная шкала
В математическом приложении показано, что шкала баллов в произвольном направлении также равна поэтому масштаб изотропен (одинаков во всех направлениях), его величина увеличивается с широтой как . На диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент сохраняет свою форму, но с увеличением широты увеличивается все больше и больше.
Равноплоскостная проекция Ламберта
Равноплоскостная проекция Ламберта отображает сферу в конечный прямоугольник с помощью уравнений [1] [2] [4]
где, а также такие же, как в предыдущем примере. С масштабные коэффициенты
- параллельная шкала
- меридианная шкала
Расчет балльной шкалы в произвольном направлении приведен ниже .
Вертикальная и горизонтальная шкалы теперь компенсируют друг друга (hk = 1), и на диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент искажен в эллипс той же площади, что и неискаженные круги на экваторе.
Графики масштабных коэффициентов
График показывает изменение масштабных коэффициентов для трех приведенных выше примеров. На верхнем графике показана функция изотропной шкалы Меркатора: шкала на параллели такая же, как и на меридиане. На других графиках показан масштабный коэффициент меридиана для равнопрямоугольной проекции (h = 1) и для равновеликой проекции Ламберта. Эти последние две проекции имеют параллельный масштаб, идентичный масштабу графика Меркатора. Что касается Ламберта, обратите внимание, что параллельный масштаб (как Меркатор A) увеличивается с широтой, а масштаб меридиана (C) уменьшается с широтой таким образом, что hk = 1, что гарантирует сохранение площади.
Изменение масштаба проекции Меркатора
Шкала точек Меркатора равна единице на экваторе, потому что она такова, что вспомогательный цилиндр, используемый в ее конструкции, является касательной к Земле на экваторе. По этой причине обычную проекцию следует называть касательной . Масштаб меняется в зависимости от широты как. Сстремится к бесконечности, когда мы приближаемся к полюсам, карта Меркатора сильно искажается на высоких широтах, и по этой причине проекция совершенно не подходит для карт мира (если мы не обсуждаем навигационные и румбы ). Однако на широте около 25 градусов значениесоставляет около 1,1, поэтому точность Меркатора составляет 10% в полосе шириной 50 градусов с центром на экваторе. Лучше использовать более узкие полоски: полоса шириной 16 градусов (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 часть из 100.
Стандартным критерием для хороших крупномасштабных карт является то, что точность должна быть в пределах 4 частей на 10000, или 0,04%, что соответствует . С достигает этого значения в градусов (см. рисунок ниже, красная линия). Следовательно, касательная проекция Меркатора очень точна в пределах полосы шириной 3,24 градуса с центром на экваторе. Это соответствует расстоянию с севера на юг около 360 км (220 миль). Внутри этой полосы Меркатор очень хороший, очень точный и сохраняет форму, потому что он конформный (сохраняет угол). Эти наблюдения побудили к разработке поперечных проекций Меркатора, в которых меридиан рассматривается «как экватор» проекции, так что мы получаем точную карту в пределах небольшого расстояния от этого меридиана. Такие карты подходят для стран, ориентированных почти с севера на юг (например, для Великобритании ), и набор из 60 таких карт используется для универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) . Обратите внимание, что в обеих этих проекциях (которые основаны на различных эллипсоидах) уравнения преобразования для x и y и выражение для масштабного коэффициента являются сложными функциями как широты, так и долготы.
Секущие или модифицированные проекции
Основная идея секущей проекции состоит в том, что сфера проецируется на цилиндр, который пересекает сферу по двум параллелям, например север и юг. Ясно, что масштаб теперь верен на этих широтах, тогда как параллели ниже этих широт сужаются проекцией, и их (параллельный) масштабный коэффициент должен быть меньше единицы. В результате отклонение шкалы от единицы уменьшается в более широком диапазоне широт.
Например, одна возможная секущая проекция Меркатора определяется следующим образом:
Числовые множители не изменяют форму проекции, но это означает, что изменяются масштабные коэффициенты:
- секущая шкала Меркатора,
Таким образом
- масштаб на экваторе 0,9996,
- масштаб k = 1 на широте, заданной где чтобы градусы
- k = 1.0004 на широте дано для которого градусов. Следовательно, проекция имеет, то есть точность 0,04% на более широкой полосе в 4,58 градуса (по сравнению с 3,24 градуса для касательной формы).
Это иллюстрируется нижней (зеленой) кривой на рисунке в предыдущем разделе.
Такие узкие зоны с высокой точностью используются в проекциях UTM и британской OSGB, обе из которых являются секущими, поперечными по Меркатору на эллипсоиде со шкалой постоянной центрального меридиана на . Изомасштабные линии спредставляют собой слегка изогнутые линии примерно в 180 км к востоку и западу от центрального меридиана. Максимальное значение коэффициента масштабирования составляет 1,001 для UTM и 1 0007 для OSGB.
Линии единичной шкалы на широте (север и юг), где поверхность цилиндрической проекции пересекает сферу, являются стандартными параллелями секущей проекции.
Пока узкая полоса с Это важно для высокоточного картографирования в крупном масштабе, для карт мира используются гораздо более широкие стандартные параллели, чтобы контролировать изменение масштаба. Примеры
- Behrmann со стандартными параллелями на 30N, 30S.
- Галл равновеликий со стандартными параллелями на 45N, 45S.
Графики масштаба для последнего показаны ниже в сравнении с масштабными коэффициентами равной площади Ламберта. В последнем случае экватор представляет собой единую стандартную параллель, и параллельный масштаб увеличивается с k = 1, чтобы компенсировать уменьшение масштаба меридиана. Для Галла параллельный масштаб уменьшен на экваторе (до k = 0,707), в то время как масштаб меридиана увеличен (до k = 1,414). Это приводит к грубому искажению формы в проекции Галла-Петерса. (На земном шаре длина Африки равна ширине). Обратите внимание, что меридиональная и параллельная шкалы равны единице на стандартных параллелях.
Математическое приложение
Для нормальных цилиндрических проекций геометрия бесконечно малых элементов дает
Соотношение между углами а также является
Для проекции Меркатора давая : углы сохранены. (Это неудивительно, поскольку это отношение используется для вывода Меркатора). Для эквидистантной проекции и проекции Ламберта имеем а также соответственно так отношения между а также зависит от широты . Обозначим шкалу в точке P, когда бесконечно малый элемент PQ образует угол с меридианом Дается соотношением расстояний:
Параметр и заменяя а также из уравнений (а) и (б) соответственно дает
Для проекций, отличных от Меркатора, мы должны сначала вычислить из а также используя уравнение (c), прежде чем мы сможем найти . Например, равнопрямоугольная проекция имеет чтобы
Если рассматривать линию постоянного наклона на проекции соответствующие значения и масштабный коэффициент вдоль линии являются сложными функциями . Нет простого способа перенести общее конечное разделение на шкалу столбцов и получить значимые результаты.
Обозначение соотношения
В то время как двоеточие часто используется для обозначения соотношений, Unicode может выражать символ, специфичный для соотношений, с небольшим повышением: U + 2236 ∶ RATIO (HTML ∶
· &ratio
).
Смотрите также
- Масштаб (аналитический инструмент)
- Масштаб (соотношение)
- Масштабирование (геометрия)
- Пространственный масштаб
Рекомендации
- ^ a b c d e Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции - рабочее руководство. Профессиональный документ геологической службы США 1395 . Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭтот документ можно скачать со страниц Геологической службы США. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с вводными разделами, но он не выводит какие-либо прогнозы из первых принципов. Вывод всех формул для проекций Меркатора можно найти в книге «Проекции Меркатора» .
- ^ a b c d Уплощение Земли: две тысячи лет картографических проекций , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 5-8, ISBN 0-226-76747-7 . Это обзор практически всех известных прогнозов от древности до 1993 года.
- ^ а б Селин, Хелайн (2008). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Springer (опубликовано 17 марта 2008 г.). п. 567. ISBN 978-1402049606.
- ^ а б в г Osborne, Питер (2013), Меркатор Проекция , DOI : 10,5281 / zenodo.35392 . (Дополнения: Maxima файлы и латексные код и цифры )CS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 27 августа 2014 года . Проверено 26 августа 2014 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Примеры индикатрисы Тиссо. Некоторые иллюстрации Tissot Indicatrix применимы к различным проекциям, кроме обычных цилиндрических.
- ^ Дальнейшие примеры индикатрисы Tissot на Wikimedia Commons.