В астрофизике , то массы-светимость является уравнение дает соотношение между массой звезды и ее светимостью , впервые отмечен Якобом Карлом Эрнстом Халм . [1] Взаимосвязь представлена уравнением:
где L ⊙ и M ⊙ - светимость и масса Солнца, а 1 < a <6. [2] Значение a = 3,5 обычно используется для звезд главной последовательности . [3] Это уравнение и обычное значение a = 3,5 применимо только к звездам главной последовательности с массой 2 M ⊙ < M <55 M ⊙ и не применимо к красным гигантам или белым карликам. Когда звезда приближается к светимости Эддингтона, тогда a = 1.
Таким образом, соотношения для звезд с разным диапазоном масс в хорошем приближении следующие: [2] [4] [5]
Для звезд с массами менее 0,43 М ⊙ , конвекция является единственным процессом переноса энергии, так что отношение значительно изменяется. Для звезд с массой M > 55 M ⊙ соотношение выравнивается и становится L ∝ M [2], но на самом деле эти звезды недолговечны, потому что они нестабильны и быстро теряют материю из-за сильных солнечных ветров. Можно показать, что это изменение связано с увеличением радиационного давления в массивных звездах. [2] Эти уравнения определяются эмпирически путем определения массы звезд в двойных системах, расстояние до которых известно с помощью стандартных измерений параллакса или других методов. После того, как будет нанесено достаточное количество звезд, звезды образуют линию на логарифмическом графике, и наклон линии дает правильное значение a .
Другая форма, действующая для звезд главной последовательности K-типа , которая позволяет избежать разрыва показателя степени, была дана Cuntz & Wang; [6] он гласит:
с участием
( М в М ⊙ ). Это соотношение основано на данных Манна и его сотрудников [7], которые использовали спектры среднего разрешения близких карликов поздних K и M с известными параллаксами и интерферометрически определенными радиусами, чтобы уточнить их эффективные температуры и светимости. Эти звезды также использовались в качестве калибровочной выборки для объектов-кандидатов в Кеплер . Кроме того , во избежание разрыва в показателе степени при М = 0,43 М ⊙ , отношение также восстанавливает а = 4,0 для M ≃ 0.85 M ⊙ .
Соотношение масса / светимость важно, потому что его можно использовать для определения расстояния до двойных систем, которые слишком далеки для нормальных измерений параллакса , используя метод, называемый « динамический параллакс ». [8] В этом методе массы двух звезд в двойной системе оцениваются, как правило, как масса Солнца. Затем, используя законы Кеплера о небесной механике , расстояние между звездами рассчитываются. Как только это расстояние будет найдено, его можно будет определить по дуге, протянутой в небе, что даст предварительное измерение расстояния. На основе этого измерения и видимых величин обеих звезд можно найти светимости, а также, используя соотношение масса-светимость, массы каждой звезды. Эти массы используются для повторного расчета разделительного расстояния, и процесс повторяется. Процесс повторяется много раз, и точность может достигать 5%. [8] Соотношение масса / светимость также можно использовать для определения времени жизни звезд, отметив, что время жизни приблизительно пропорционально M / L, хотя можно найти, что более массивные звезды имеют более короткое время жизни, чем то, что предсказывает соотношение M / L. Более сложные вычисления учитывают потерю массы звезды с течением времени.
Вывод
Получение теоретически точного соотношения масса / светимость требует нахождения уравнения генерации энергии и построения термодинамической модели внутренней части звезды. Однако основное соотношение L ∝ M 3 можно вывести, используя некоторые основные физические принципы и упрощающие предположения. [9] Первый такой вывод был выполнен астрофизиком Артуром Эддингтоном в 1924 году. [10] Вывод показал, что звезды можно приблизительно смоделировать как идеальные газы, что было новой, несколько радикальной идеей в то время. Далее следует несколько более современный подход, основанный на тех же принципах.
Важным фактором, контролирующим светимость звезды (энергию, излучаемую в единицу времени), является скорость рассеивания энергии через ее объем. Там, где конвекция тепла отсутствует , это рассеяние происходит в основном за счет диффузии фотонов. Интегрируя первый закон Фика по поверхности некоторого радиуса r в зоне излучения (где конвекция пренебрежимо мала), мы получаем полный исходящий поток энергии, равный светимости за счет сохранения энергии :
Где D - коэффициент диффузии фотонов , а u - плотность энергии.
Обратите внимание: это предполагает, что звезда не является полностью конвективной, и что все процессы создания тепла ( нуклеосинтез ) происходят в ядре, ниже зоны излучения. Эти два предположения неверны для красных гигантов , которые не подчиняются обычному соотношению масса-светимость. Звезды малой массы также полностью конвективны, поэтому не подчиняются закону.
При приближении звезды черным телом плотность энергии связана с температурой законом Стефана – Больцмана :
где
- постоянная Стефана – Больцмана , c - скорость света , k B - постоянная Больцмана и- приведенная постоянная Планка .
Как и в элементарной теории коэффициента диффузии в газах , коэффициент диффузии D приблизительно удовлетворяет:
где λ - длина свободного пробега фотона .
Поскольку вещество полностью ионизировано в ядре звезды (а также там, где температура того же порядка величины, что и внутри ядра), фотоны сталкиваются в основном с электронами, и поэтому λ удовлетворяет
Здесь - электронная плотность и:
- сечение электрон-фотонного рассеяния, равное сечению Томсона . α является постоянной тонкой структуры и т е масса электрона.
Средняя плотность звездных электронов связана с массой звезды M и радиусом R
Наконец, согласно теореме вириала , полная кинетическая энергия равна половине гравитационной потенциальной энергии E G , поэтому, если средняя масса ядра равна m n , то средняя кинетическая энергия на одно ядро удовлетворяет:
где температура T усреднена по звезде, а C - коэффициент первого порядка, связанный со структурой звезды, и его можно оценить по приближенному индексу политропы звезды . Обратите внимание, что это не выполняется для достаточно больших звезд, где давление излучения больше, чем давление газа в зоне излучения, следовательно, соотношение между температурой, массой и радиусом иное, как описано ниже.
Подводя итоги, мы также принимаем r равным R с точностью до множителя, а n e в r заменяется его звездным средним с точностью до множителя. Комбинированный коэффициент для солнца составляет примерно 1/15, и мы получаем:
Добавленный коэффициент фактически зависит от M , поэтому закон имеет приблизительное значение. зависимость.
Различение малых и больших звездных масс
Можно различить случаи малых и больших звездных масс, если получить приведенные выше результаты с использованием радиационного давления. В этом случае проще использовать оптическую непрозрачность.и непосредственно учитывать внутреннюю температуру T I ; точнее можно считать среднюю температуру в зоне излучения .
Рассмотрение начинается с того, что отмечается связь между радиационным давлением P рад и светимостью. Градиент радиационного давления равен переданному импульсу, поглощенному излучением, что дает:
где c - скорость света. Здесь,; длина свободного пробега фотона.
Радиационное давление связано с температурой соотношением , следовательно
откуда непосредственно следует, что
.
В зоне излучения гравитация уравновешивается давлением на газ, исходящим как от самого себя (приблизительно равным давлению идеального газа), так и от излучения. При достаточно малой звездной массе последняя ничтожно мала и получается
как прежде. Точнее, поскольку интегрирование производилось от 0 до R, поэтомуна левой стороне, но температура поверхности Т Е можно пренебречь по отношению к внутренней температуре Т I .
Отсюда непосредственно следует, что
При достаточно большой звездной массе радиационное давление больше, чем давление газа в зоне излучения. Добавление давления излучения вместо давления идеального газа, использованного выше, дает
следовательно
Температура ядра и поверхности
В первом приближении звезды представляют собой излучатели черного тела с площадью поверхности 4 π R 2 . Таким образом, из закона Стефана – Больцмана светимость связана с температурой поверхности T S , а через нее - с цветом звезды, соотношением
где σ B - постоянная Стефана – Больцмана , 5,67 · 10 −8 Вт · м −2 · K −4 .
Светимость равна полной энергии, производимой звездой в единицу времени. Поскольку эта энергия производится путем нуклеосинтеза, обычно в ядре звезды (это не относится к красным гигантам ), температура ядра связана со светимостью скоростью нуклеосинтеза в единице объема:
Здесь ε - полная энергия, выделяемая в цепной реакции или реакционном цикле .- энергия пика Гамова , зависящая от E G , фактора Гамова . Кроме того, S ( E ) / E - сечение реакции, n - числовая плотность,- приведенная масса для столкновения частиц, а A , B - два вида, участвующие в предельной реакции (например, оба обозначают протон в цепной реакции протон-протон , или A - протон, а B -14 7Nядро для цикла CNO ).
Поскольку радиус R сам по себе является функцией температуры и массы, можно решить это уравнение, чтобы получить внутреннюю температуру.
Рекомендации
- Перейти ↑ Kuiper, GP (1938). «Эмпирическая взаимосвязь между массой и светимостью». Астрофизический журнал . 88 : 472–506. Bibcode : 1938ApJ .... 88..472K . DOI : 10.1086 / 143999 .
- ^ а б в г Саларис, Маурицио; Санти Кассизи (2005). Эволюция звезд и звездных популяций . Джон Вили и сыновья . С. 138–140. ISBN 978-0-470-09220-0.
- ^ «Соотношение масса-светимость» . Гиперфизика . Проверено 23 августа 2009 .
- ^ Дурич, Небойша (2004). Продвинутая астрофизика . Издательство Кембриджского университета . п. 19. ISBN 978-0-521-52571-8.
- ^ «Предел Эддингтона (Лекция 18)» (PDF) . jila.colorado.edu . 2003 . Проверено 22 января 2019 .
- ^ Cuntz, M .; Ван, З. (2018). "Соотношение масса – светимость для уточненного набора карликов позднего K / M". Исследовательские заметки Американского астрономического общества . 2a : 19. Bibcode : 2018RNAAS ... 2a..19C . DOI : 10,3847 / 2515-5172 / aaaa67 .
- ^ Манн, AW; Гайдос, Э .; Ансделл, М. (2013). «Спектро-термометрия M-карликов и их планет-кандидатов: слишком жарко, слишком круто или правильно?». Астрофизический журнал . 779 (2): 188. arXiv : 1311.0003 . Bibcode : 2013ApJ ... 779..188M . DOI : 10.1088 / 0004-637X / 779/2/188 .
- ^ а б Маллэйни, Джеймс (2005). Двойные и кратные звезды и как их наблюдать . Springer. п. 27 . ISBN 978-1-85233-751-3.
- ^ Филлипс, AC (1999). Физика звезд . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-98798-7.
- ^ Леккини, Стефано (2007). Как гномы стали гигантами. Открытие связи масса-светимость . Бернские исследования по истории и философии науки. ISBN 978-3-9522882-6-9.[ постоянная мертвая ссылка ]