Математические описания непрозрачности

Когда электромагнитная волна проходит через среду, в которой она затухает (это называется « непрозрачной » или « затухающей » средой), она подвергается экспоненциальному затуханию, как описано законом Бера-Ламберта . Однако есть много возможных способов охарактеризовать волну и узнать, как быстро она затухает. В этой статье описываются математические отношения между:

• коэффициент затухания ;
• Глубина проникновения и глубины кожи ;
• комплексное угловое волновое число и постоянная распространения ;
• комплексный показатель преломления ;
• комплексная электрическая проницаемость ;
• Проводимость переменного тока ( восприимчивость ).

Обратите внимание, что во многих из этих случаев используется несколько противоречивых определений и соглашений. Эта статья не обязательно является всеобъемлющей или универсальной.

Фон: незатухающая волна [ править ]

Описание [ править ]

Электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении + z, обычно описывается уравнением:

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \! ,}$

где

E ₀ - вектор в плоскости x - y с единицами электрического поля (вектор, как правило, является комплексным вектором , чтобы учесть все возможные поляризации и фазы);

ω - угловая частота волны;

k - угловое волновое число волны;

Re указывает на действительную часть ;

e - число Эйлера .

Длина волны по определению

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}$

Для данной частоты длина волны электромагнитной волны зависит от материала, в котором она распространяется. Длина волны вакуума (длина волны, которую имела бы волна этой частоты, если бы она распространялась в вакууме):

${\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {2 \ pi \ mathrm {c}} {\ omega}},}$

где c - скорость света в вакууме.

В отсутствие затухания показатель преломления (также называемый показателем преломления ) представляет собой отношение этих двух длин волн, т. Е.

${\displaystyle n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, усредненная по времени в течение многих колебаний волны, которая составляет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$

Обратите внимание, что эта интенсивность не зависит от местоположения z , что свидетельствует о том, что эта волна не затухает с расстоянием. Мы определяем I ₀ равным этой постоянной интенсивности:

${\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$

Комплексно-сопряженная неоднозначность [ править ]

Так как

${\displaystyle \operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

любое выражение может использоваться как синонимы. ^[1] Обычно физики и химики используют условные обозначения слева (с e ^{- iωt} ), а инженеры-электрики используют условные обозначения справа (с e ^{+ iωt} , например, см. Электрический импеданс ). Это различие несущественно для незатухающей волны, но становится актуальным в некоторых случаях ниже. Например, есть два определения комплексного показателя преломления , одно с положительной мнимой частью, а другое с отрицательной мнимой частью, полученных из двух различных соглашений. ^[2] Эти два определения являются комплексно сопряженными друг другу.

Коэффициент затухания [ править ]

Один из способов включить затухание в математическое описание волны - использовать коэффициент затухания : ^[3]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

где α - коэффициент затухания.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$

Коэффициент затухания, в свою очередь, просто связан с несколькими другими величинами:

• коэффициент поглощения по существу (но не всегда) синонимичен коэффициенту ослабления; подробнее см. коэффициент затухания ;
• молярный коэффициент поглощения или молярный коэффициент поглощения , также называемый молярной поглощающей способностью , представляет собой коэффициент ослабления, деленный на молярность (и обычно умноженный на ln (10), т. е. десятичный); подробности см. в законе Бера-Ламберта и молярной поглощающей способности ;
• массовый коэффициент ослабления , также называемый массовым коэффициентом ослабления, представляет собой коэффициент ослабления, деленный на плотность; подробности см. в массовом коэффициенте затухания ;
• сечение поглощения и сечение рассеяния количественно связаны с коэффициентом ослабления; см. сечение поглощения и сечение рассеяния для подробностей;
• Коэффициент затухания также иногда называют непрозрачностью ; см. непрозрачность (оптика) .

Глубина проникновения и глубина кожи [ править ]

Глубина проникновения [ править ]

Очень похожий подход использует глубину проникновения : ^[4]

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},}$

где δ _pen - глубина проникновения.

Глубина кожи [ править ]

Глубина скин определяется таким образом , что волновое удовлетворяет условие: ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},}$

где δ _скин - глубина скин-слоя.

Физически глубина проникновения - это расстояние, которое волна может пройти, прежде чем ее интенсивность уменьшится в 1 / e 0,37 раза . Глубина скин-слоя - это расстояние, которое волна может пройти до того, как ее амплитуда уменьшится в тот же коэффициент.${\displaystyle {}\approx {}}$

Коэффициент поглощения связан с глубиной проникновения и глубиной скин-фактора соотношением

${\displaystyle \alpha =1/\delta _{\mathrm {pen} }=2/\delta _{\mathrm {skin} }.}$

Комплексное угловое волновое число и постоянная распространения [ править ]

Комплексное угловое волновое число [ править ]

Другой способ включить затухание - использовать комплексное угловое волновое число : ^{[5] [7]}

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,}$

где k - комплексное угловое волновое число.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.}$

Таким образом, сравнивая это с подходом коэффициента поглощения, ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью , некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение: ^[8]

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=-\alpha /2.}$

Константа распространения [ править ]

В близком подходе, особенно распространенном в теории линий передачи , используется постоянная распространения : ^{[9] [10]}

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,}$

где γ - постоянная распространения.

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.}$

Сравнивая два уравнения, постоянная распространения и комплексное угловое волновое число связаны соотношением:

${\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},}$

где * обозначает комплексное сопряжение.

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

Эта величина также называется постоянной затухания , ^{[8] [11]} иногда обозначается как α .

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.}$

Эта величина также называется фазовой постоянной , иногда обозначается β . ^[11]

К сожалению, обозначения не всегда согласованы. Например, иногда его называют «константой распространения» вместо γ , которая меняет местами действительную и мнимую части. ^[12]${\displaystyle {\underline {k}}}$

Комплексный показатель преломления [ править ]

Напомним, что в средах без ослабления коэффициент преломления и угловое волновое число связаны соотношением:

${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}$

где

• n - показатель преломления среды;
• c - скорость света в вакууме;
• v - скорость света в среде.

Комплексный показатель преломления , следовательно , могут быть определены в терминах комплексного углового волновом определенных выше:

${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.}$

где n - показатель преломления среды.

Другими словами, волна должна удовлетворять

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}$

Тогда интенсивность волны удовлетворяет:

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$

т.е.

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$

По сравнению с предыдущим разделом, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

Эту величину часто (неоднозначно) называют просто показателем преломления .

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.}$

Эта величина называется коэффициентом экстинкции и обозначается κ .

В соответствии с отмеченной выше неоднозначностью , некоторые авторы используют комплексно-сопряженное определение, где (все еще положительный) коэффициент экстинкции минус мнимая часть . ^{[2] [13]}${\displaystyle {\underline {n}}}$

Комплексная электрическая проницаемость [ править ]

В средах без ослабления диэлектрическая проницаемость и показатель преломления связаны между собой:

${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},}$

где

• μ - магнитная проницаемость среды;
• ε - электрическая проницаемость среды.
• «СИ» относится к системе единиц СИ , в то время как «cgs» относится к единицам гауссовой системы cgs .

В затухающих средах используется то же соотношение, но диэлектрическая проницаемость может быть комплексным числом, называемым комплексной электрической проницаемостью : ^[3]

${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},}$

где ε - комплексная электрическая проницаемость среды.

Возведение обеих сторон в квадрат и использование результатов предыдущего раздела дает: ^[7]

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.}$

Проводимость переменного тока [ править ]

Другой способ включить затухание - через электропроводность, как показано ниже. ^[14]

Одним из уравнений распространения электромагнитных волн является закон Максвелла-Ампера :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

где D - поле смещения .

Вставка закона Ома и определение (реальной) диэлектрической проницаемости

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

где σ - (реальная, но зависящая от частоты) электрическая проводимость, называемая проводимостью переменного тока .

С синусоидальной зависимостью от времени от всех величин, т.е.

${\displaystyle \mathbf {H} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

результат

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$

Если бы ток J не был включен явно (через закон Ома), а только неявно (через комплексную диэлектрическую проницаемость), величина в скобках была бы просто комплексной электрической диэлектрической проницаемостью. Следовательно,

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.}$

По сравнению с предыдущим разделом, проводимость переменного тока удовлетворяет

${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ю.И. Панкове (1971). Оптические процессы в полупроводниках . Нью-Йорк: Dover Publications Inc.