Векторное пространство
В математике , физике и технике векторное пространство (также называемое линейным пространством ) представляет собой набор объектов, называемых векторами , которые можно складывать и умножать («масштабировать») на числа, называемые скалярами . Скаляры часто являются действительными числами , но некоторые векторные пространства имеют скалярное умножение на комплексные числа или, как правило, на скаляр из любой математической области . Операции векторного сложения и скалярного умножения должны удовлетворять определенным требованиям, называемым векторными аксиомами .(перечислены ниже в § Обозначения и определение ). Чтобы указать, являются ли скаляры в конкретном векторном пространстве действительными числами или комплексными числами, часто используются термины действительное векторное пространство и комплексное векторное пространство .
Некоторые наборы евклидовых векторов являются общими примерами векторного пространства. Они представляют собой физические величины, такие как силы , где любые две силы одного и того же типа могут быть сложены, чтобы получить третью, а умножение вектора силы на действительный множитель является еще одним вектором силы. Точно так же (но в более геометрическом смысле) векторы, представляющие перемещения в плоскости или трехмерном пространстве, также образуют векторные пространства. Векторы в векторных пространствах не обязательно должны быть стреловидными объектами, как они появляются в упомянутых примерах: векторы рассматриваются как абстрактные математические объекты .с определенными свойствами, которые в некоторых случаях можно представить в виде стрелок.
Векторные пространства являются предметом линейной алгебры и хорошо характеризуются своей размерностью , которая, грубо говоря, задает число независимых направлений в пространстве. Бесконечномерные векторные пространства естественным образом возникают в математическом анализе как функциональные пространства , векторы которых являются функциями . Эти векторные пространства обычно наделены некоторой дополнительной структурой, такой как топология , которая позволяет рассматривать вопросы близости и непрерывности . Среди этих топологий чаще используются те, которые определяются нормой или внутренним продуктом (оснащенные понятиемрасстояние между двумя векторами). Это особенно касается банаховых пространств и гильбертовых пространств , которые являются фундаментальными в математическом анализе.
Исторически первые идеи, приведшие к векторным пространствам, восходят к аналитической геометрии 17 века , матрицам , системам линейных уравнений и евклидовым векторам. Современная, более абстрактная трактовка, впервые сформулированная Джузеппе Пеано в 1888 году, охватывает более общие объекты, чем евклидово пространство , но большую часть теории можно рассматривать как расширение классических геометрических идей, таких как линии , плоскости и их многомерные аналоги.
Сегодня векторные пространства применяются в математике , естественных науках и технике . Это подходящее линейно-алгебраическое понятие для работы с системами линейных уравнений . Они предлагают основу для разложения Фурье , которое используется в процедурах сжатия изображений , и они обеспечивают среду, которую можно использовать для методов решения дифференциальных уравнений в частных производных . Кроме того, векторные пространства предоставляют абстрактный способ работы с геометрическими и физическими объектами, такими как тензоры , без координат . Это, в свою очередь, позволяет исследовать локальные свойства многообразий .методами линеаризации. Векторные пространства могут быть обобщены несколькими способами, что приводит к более продвинутым понятиям в геометрии и абстрактной алгебре .
Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.
