Максимумы и минимумы

Локальные и глобальные максимумы и минимумы для cos (3π x ) / x , 0,1≤ x ≤1,1

В математическом анализе , то максимумы и минимумы (соответствующие формах множественного числа от максимума и минимума ) в виде функции , известной под общим названием экстремумов (множественное числом экстремума ), являются самым крупным и наималейшим значением функции, либо в пределах заданного диапазона (The местных или относительные экстремумы), или на всей области ( глобальные или абсолютные экстремумы). ^[1]^[2]^[3] Пьер де Фермабыл одним из первых математиков, предложивших общую технику, адекватность , для нахождения максимумов и минимумов функций.

Как определено в теории множеств , максимум и минимум набора - это наибольший и наименьший элементы в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как множество действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

Определение [ править ]

Вещественнозначная функция F , определенная на области X имеет глобальный (или абсолютную ) точку максимума при х ^* , если ф ( х ^* ) ≥ ф ( х ) для всех х в X . Аналогично, функция имеет точку глобального (или абсолютного ) минимума в x ^∗ , если f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) для всехх в X . Значение функции в точке максимума называется максимальное значение функции, обозначаемое , ^[4] и значение функции в точке минимума называется минимальным значением функции. Условно это можно записать так: ${\ Displaystyle \ макс (е (х))}$

x_{0}\in X

является точкой глобального максимума функции , если

f:X\to \mathbb {R}

(\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).

Аналогично происходит определение точки глобального минимума.

Если область X является метрическим пространством , то говорят , что f имеет точку локального (или относительного ) максимума в точке x ^∗ , если существует такое ε > 0, что f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ^∗ . Аналогично функция имеет точку локального минимума в x ^∗ , если f ( x^∗ ) ≤ f ( x ) для всех x из X на расстоянии ε от x ^∗ . Аналогичное определение можно использовать, когда X - топологическое пространство , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:

Позвольте быть метрическое пространство и функция . Тогда является точкой локального максимума функции, если такая, что

(X,d_{X})

f:X\to \mathbb {R}

x_{0}\in X

f

(\exists \varepsilon >0)

(\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).

Аналогично можно провести определение точки локального минимума.

Как в глобальном, так и в локальном случаях можно определить понятие строгого экстремума. Например, х ^* является строгой глобальной точкой максимума , если для всех х в X с х ≠ х ^* , мы имеем е ( х ^* )> е ( х ) и х ^* является строгой точкой локального максимума , если существует какой - е > 0 такое, что для всех x из X на расстоянии ε от x^∗ с x ≠ x ^∗ , то f ( x ^∗ )> f ( x ) . Обратите внимание, что точка является точкой строгого глобального максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной точкой глобального максимума, и аналогично для точек минимума.

Непрерывная вещественная функция с компактной области всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функцией, область является замкнутым и ограниченным интервалом из действительных чисел (см график выше).

Искать [ редактировать ]

Поиск глобальных максимумов и минимумов - цель математической оптимизации . Если функция непрерывна на отрезке, то по теореме об экстремальных значениях глобальные максимумы и минимумы существуют. Кроме того, глобальный максимум (или минимум) должен быть либо локальным максимумом (или минимумом) внутри домена, либо лежать на границе домена. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы посмотреть на все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть на максимумы (или минимумы) точек на границе и взять наибольшее ( или самый маленький) один.

Вероятно, наиболее важной, но вполне очевидной особенностью непрерывных действительных функций действительной переменной является то, что они убывают до локальных минимумов и увеличиваются после них, также как и до максимумов. (Формально, если f является непрерывной действительной функцией действительной переменной x , то x ₀ является локальным минимумом тогда и только тогда, когда существует a < x ₀ < b такое, что f убывает на ( a , x ₀ ) и увеличивается на ( х ₀ , б )) ^[5] Прямое следствие этого является теоремой Ферма , в котором говорится , что локальные экстремумы должны происходить при критических точках (или точках , где функция отлична от дифференцируемой ). ^[6] Можно выделить критической точкой является ли локальный максимум или локальный минимум с помощью первой производной теста , вторую производную тест , или тест более высокого порядка производной при достаточной дифференцируемость. ^[7]

Для любой функции, которая определяется кусочно , можно найти максимум (или минимум), найдя максимум (или минимум) каждой части отдельно, а затем увидев, какая из них наибольшая (или наименьшая).

Примеры [ править ]

Глобальный максимум

x \sqrt x

происходит при

x = e

.

Функция	Максимумы и минимумы
х ²	Уникальный глобальный минимум при x = 0.
х ³	Нет глобальных минимумов или максимумов. Хотя первая производная (3 x ² ) равна 0 при x = 0, это точка перегиба . (2-я производная равна 0 в этой точке.)
${\sqrt[{x}]{x}}$	Уникальный глобальный максимум при x = e . (См. Рисунок справа)
х ^{- х}	Уникальный глобальный максимум положительных действительных чисел при x = 1 / e .
х ³ /3 - х	Первая производная x ² - 1 и вторая производная 2 x . Установка первой производной на 0 и решение относительно x дает стационарные точки в −1 и +1. По знаку второй производной видно, что −1 - это локальный максимум, а +1 - локальный минимум. Эта функция не имеет глобального максимума или минимума.
\| х \|	Глобальный минимум при x = 0, который нельзя найти, взяв производные, потому что производная не существует при x = 0.
cos ( x )	Бесконечно много глобальных максимумов в точках 0, ± 2 $π$ , ± 4 $π$ , ... и бесконечно много глобальных минимумов в точках ± $π$ , ± 3 $π$ , ± 5 $π$ , ....
2 cos ( x ) - x	Бесконечно много локальных максимумов и минимумов, но нет глобального максимума или минимума.
cos (3 $π$ x ) / x с 0,1 ≤ x ≤ 1,1	Глобальный максимум при x = 0,1 (граница), глобальный минимум около x = 0,3, локальный максимум около x = 0,6 и локальный минимум около x = 1,0. (См. Рисунок вверху страницы.)
x ³ + 3 x ² - 2 x + 1, определенный на отрезке (отрезке) [−4,2]	Локальный максимум при х = -1- √ 15 /3, локальный минимум при х = -1+ √ 15 /3, глобальный максимум при х = 2 и глобального минимума при х = -4.

В качестве практического примера ^[8] предположим ситуацию, когда кто-то стоит на ногах ограждения и пытается максимизировать квадратные метры прямоугольного ограждения, где - длина, - ширина, а - площадь: $200$ $x$ $y$ $xy$

2x+2y=200

2y=200-2x

{\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}

y=100-x

xy=x(100-x)

Производная по : $x$

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}

Установив это равным $0$

0=100-2x

2x=100

x=50

показывает, что это наша единственная критическая точка . Теперь получите конечные точки , определив интервал, которым они ограничены. Так как ширина положительна, то , и так , что означает , что . Подключите критическую точку , а также конечные точки и , в , и результаты будут и соответственно. $x=50$ $x$ $x>0$ $x=100-y$ $x<100$ $50$ $0$ $100$ $xy=x(100-x)$ $2500,0,$ $0$

Следовательно, наибольшая достижимая площадь с прямоугольными опорами ограждения составляет . ^[8] $200$ $50\times 50=2500$

Функции более чем одной переменной [ править ]

Поверхность Пеано , контрпример к некоторым критериям локальных максимумов XIX века.

Глобальный максимум - это точка вверху

Контрпример: красная точка показывает локальный минимум, который не является глобальным минимумом.

Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличиваемом) рисунке справа необходимые условия для локального максимума аналогичны условиям для функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменная, которая должна быть максимизирована) равны нулю в максимуме (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это всего лишь необходимые, но недостаточные условия для локального максимума из-за возможности возникновения седловой точки . Чтобы использовать эти условия для поиска максимума, функция z также должна быть дифференцируемой повсюду. Второй частной производной тестаможет помочь классифицировать точку как относительный максимум или относительный минимум. Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченный дифференцируемая функция F , определенный на отрезке в прямом имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то он также является глобальным минимумом (использовать теорему промежуточного значения и теорему Ролля , чтобы доказать это, reductio ad absurdum ). В двух и более измерениях этот аргумент неверен. Это иллюстрируется функцией

f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,

единственная критическая точка которого находится в точке (0,0), которая является локальным минимумом с ƒ (0,0) = 0. Однако он не может быть глобальным, поскольку ƒ (2,3) = −5.

Максимумы или минимумы функционала [ править ]

Если область определения функции, для которой должен быть найден экстремум, состоит из функций (т. Е. Если должен быть найден экстремум функционала ), то экстремум находится с использованием вариационного исчисления .

В отношении наборов [ править ]

Для множеств также могут быть определены максимумы и минимумы. В общем, если упорядоченное множество S имеет наибольший элемент m , то m является максимальным элементом набора, также обозначаемым как . ^[4] Кроме того, если S является подмножество упорядоченного множество Т и м является наибольшим элементом S с (относительно порядка , индуцированным Т ), то т является не менее верхней границей из S в T . Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента , минимального элемента и $\max(S)$ наибольшая нижняя граница . Функции максимума и минимума для наборов используются в базах данных , и их можно быстро вычислить, поскольку максимум (или минимум) набора можно вычислить из максимумов раздела; формально это саморазлагаемые агрегатные функции .

В случае общего частичного порядка , по наименьшим элементом (т.е. один , который меньше , чем все остальные) не следует путать с минимальным элементом (ничего не меньше). Точно так же, наибольший элемент из частично упорядоченного множества (посета) является верхней границей множества , которое содержится в наборе, в то время как максимальный элемент т из посета А является элементом таким образом, что , если т ≤ б (для любого b в A ), то m = b. Любой наименьший или наибольший элемент чугуна уникален, но чум может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если у poset более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.

В полностью упорядоченном наборе или цепочке все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такой набор может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда из-за взаимной сопоставимости минимальный элемент также будет наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном наборе мы можем просто использовать термины минимум и максимум .

Если цепочка конечна, то у нее всегда будет максимум и минимум. Если цепочка бесконечна, то у нее не обязательно должен быть максимум или минимум. Например, набор натуральных чисел не имеет максимума, но имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S ) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются точной нижней границей и точной верхней границей множества S соответственно.

См. Также [ править ]

Макс.
Производный тест
Инфимум и супремум
Ограничьте высшее и ограничьте низшее
Механическое равновесие
Мекс (математика)
Максимум и минимум выборки
Точка перевала

Ссылки [ править ]

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные (6-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-547-16702-2.
^ Томас, Джордж Б .; Weir, Maurice D .; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентальные (12-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0.
^ a b «Список математических и аналитических символов» . Математическое хранилище . 2020-05-11 . Проверено 30 августа 2020 .
^ Проблемы математического анализа . Демидовец, Борис П., Бараненков, Г. Москва (IS): Москва. 1964. ISBN. 0846407612. OCLC 799468131 .CS1 maint: others (link)
^ Вайсштейн, Эрик В. «Минимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Максимум" . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 .
^ а б Гаррет, Пол. «Обновление минимизации и максимизации» .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме экстремумов (исчисления) .

Найдите максимумы , минимумы или экстремумы в Викисловаре, бесплатном словаре.

Работа Томаса Симпсона над Maxima и Minima at Convergence
Применение Maxima и Minima с подстраницами решенных задач
Джоллифф, Артур Эрнест (1911). «Максима и минима» . Британская энциклопедия . 17 (11-е изд.). С. 918–920.

[1] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные (6-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 978-0-547-16702-2.

[3] Томас, Джордж Б .; Weir, Maurice D .; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентальные (12-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0.

[:0-4] «Список математических и аналитических символов» . Математическое хранилище . 2020-05-11 . Проверено 30 августа 2020 .

[5] Проблемы математического анализа . Демидовец, Борис П., Бараненков, Г. Москва (IS): Москва. 1964. ISBN. 0846407612. OCLC 799468131 .CS1 maint: others (link)

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Минимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 .

[7] Вайсштейн, Эрик В. "Максимум" . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 .

[minimization_maximization_refresher-8] а б Гаррет, Пол. «Обновление минимизации и максимизации» .

[1]

vтеИсчисление
Precalculus	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля Секант Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок приближения (ε, δ) -определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Дифференциальный Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначение Обозначения Лейбница Обозначение Ньютона Правила дифференциации линейность Мощность Сумма Цепь L'Hôpital's Продукт Правило генерала Лейбница Частное Другие техники Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Связанные ставки Стационарные точки Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремальном значении Максимумы и минимумы Дальнейшие приложения Метод Ньютона Теорема Тейлора
Интегральное исчисление	Первообразный Длина дуги Основные свойства Константа интеграции Основная теорема исчисления Дифференцируя знаком интеграла Интеграция по частям Интеграция заменой тригонометрический Эйлер Вейерштрасс Частичные доли в интеграции Квадратичный интеграл Трапециевидная линейка Объемы Метод мойки Shell метод
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Расхождение Градиент Лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многопараметрическое исчисление	Теорема расходимости Геометрический Матрица Гессе Матрица Якоби и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Кратный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Объемный интеграл Дополнительные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Типы серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический Бесконечный Мощность Маклорен Тейлор Телескопирование Тесты сходимости Авеля Чередующиеся серии Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле интеграл Сравнение пределов Соотношение Корень Срок
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малый Исчисление бесконечно малых Исаак Ньютон Плавность Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюсий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов от экспоненциальных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Секант Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Дифференциальная геометрия кривизна кривых поверхностей Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Интеграционная пчела Доказательство того, что 22/7 превышает π Задача максимизации угла Региомонтануса Штейнмец твердый