Неравенство Минковского

В математическом анализе , то неравенство Минковского устанавливает , что L ^р пространства являются нормированные векторные пространства . Пусть S - пространство с мерой , пусть 1 ≤ p <∞ и пусть f и g - элементы L ^p ( S ). Тогда f + g принадлежит L ^p ( S ), и мы имеем неравенство треугольника

{\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

с равенством при 1 < p <∞ тогда и только тогда, когда f и g положительно линейно зависимы , т. е. f = λg для некоторого λ ≥ 0 или g = 0 . Здесь норма определяется по формуле:

{\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} = \ left (\ int | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

если p <∞, или в случае p = ∞ существенной супремумом

{\ displaystyle \ | е \ | _ {\ infty} = \ operatorname {ess \ sup} _ {x \ in S} | f (x) |.}

Неравенство Минковского - это неравенство треугольника в L ^p ( S ). Фактически, это частный случай более общего факта

{\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} = \ sup _ {\ | g \ | _ {q} = 1} \ int | fg | d \ mu, \ qquad {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q}} = 1}

где, как легко видеть, правая часть удовлетворяет треугольному неравенству.

Как и неравенство Гёльдера, неравенство Минковского может быть специализировано для последовательностей и векторов с помощью счетной меры :

{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}

для всех реального (или комплекса ) числа х ₁ , ..., х _п , у ₁ , ..., у _п и где п есть количество элементов из S (число элементов в S ).

Неравенство названо в честь немецкого математика Германа Минковского .

Доказательство [ править ]

Сначала мы докажем, что f + g имеет конечную p -норму, если f и g имеют конечную p -норму , что следует из

|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).

Действительно, здесь мы используем тот факт , что является выпуклым над $R$ $+$ (для $р$ $> 1$ ) , и поэтому, по определению выпуклости, $h(x)=x^{p}$

\left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.

Это означает, что

|f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.

Теперь мы можем с полным основанием говорить об этом . Если он равен нулю, то неравенство Минковского выполнено. Теперь предположим, что это не ноль. Используя неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера , находим, что $\|f+g\|_{p}$ $\|f+g\|_{p}$

{\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}

Неравенство Минковского получаем, умножая обе части на

{\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.

Интегральное неравенство Минковского [ править ]

Предположим, что ( S ₁ , μ ₁ ) и ( S ₂ , μ ₂ ) - два пространства с σ- конечной мерой и F: S ₁ × S ₂ → R измеримо. Тогда интегральное неравенство Минковского имеет вид ( Stein 1970 , §A.1), ( Hardy, Littlewood & Pólya 1988 , теорема 202) :

\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),

с очевидными изменениями в случае p = ∞ . Если p > 1 и обе стороны конечны, то равенство выполняется, только если | F ( x , y ) | = φ ( x ) ψ ( y ) п.в. для некоторых неотрицательных измеримых функций φ и ψ .

Если μ ₁ - считающая мера на двухточечном множестве S ₁ = {1,2}, то интегральное неравенство Минковского дает обычное неравенство Минковского как частный случай: полагая f _i ( y ) = F ( i , y ) для i = 1, 2 интегральное неравенство дает

\|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.

Эти обозначения были обобщены на

\|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}

для , с . Используя это обозначение, манипуляции с показателями степени показывают, что если , то . $f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E$ ${\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}$ $p>q$ $\|f\|_{p,q}\leq \|f\|_{q,p}$

Обратное неравенство [ править ]

Когда выполняется обратное неравенство: $p<1$

\|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}

Мы также необходимо ограничение , что как и неотрицательны, как мы можем видеть на примере и : . $f$ $g$ $f=-1,g=1$ $p=1$ $\|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}$

Обратное неравенство следует из того же аргумента, что и стандартное неравенство Минковского, но при использовании этого неравенства Гёльдера также обращено в этом диапазоне. См. Также главу о неравенстве Минковского в ^[1].

Использование обратного Минковского, мы можем доказать , что власть означает с , например, средним гармоническими и средним геометрической вогнутыми. $p\leq 1$

Обобщения на другие функции [ править ]

Неравенство Минковского может быть обобщено на другие функции, помимо степенной . Обобщенное неравенство имеет вид $\phi (x)$ $x^{p}$

\phi ^{-1}(\sum _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i}))\leq \phi ^{-1}(\sum _{i=1}^{n}\phi (x_{i}))+\phi ^{-1}(\sum _{i=1}^{n}\phi (y_{i}))

Различные достаточные условия были найдены Малхолландом ^[2] и другими. Например, для одного набора достаточных условий Малхолланда $\phi$ $x\geq 0$

$\phi (x)$ непрерывно и строго возрастает с . $\phi (0)=0$
$\phi (x)$ является выпуклой функцией от . $x$
$\log \phi (x)$ является выпуклой функцией от . $\log(x)$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Харди, GH ; Литтлвуд, Дж. Э . ; Полиа, Г. (1952). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35880-9.
Минковский, Х. (1953). "Geometrie der Zahlen". Челси. Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: ref=harv (link).
Штейн, Элиас (1970). «Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций». Издательство Принстонского университета. Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: ref=harv (link).
М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Неравенство Минковского" , Энциклопедия математики , EMS Press
Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство». Отсутствует или пусто |url=( справка )

^ Буллен, Питер С. Справочник средств и их неравенства. Vol. 560. Springer Science & Business Media, 2013.
^ Малхолланд, HP (1949). «Об обобщениях неравенства Минковского в виде треугольного неравенства». Труды Лондонского математического общества . s2-51 (1): 294–307. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-51.4.294 .

[1] Буллен, Питер С. Справочник средств и их неравенства. Vol. 560. Springer Science & Business Media, 2013.

[2] Малхолланд, HP (1949). «Об обобщениях неравенства Минковского в виде треугольного неравенства». Труды Лондонского математического общества . s2-51 (1): 294–307. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-51.4.294 .

[1].