В комплексном анализе , теорема Миттага-Леффлер относится существование мероморфных функций с предписанными полюсами . И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции как суммы частичных дробей . Это сестра теоремы факторизации Вейерштрасса , которая утверждает, что существуют голоморфные функции с заданными нулями . Он назван в честь Гёста Миттаг-Леффлера .
Теорема
Позволять быть открытым в а также закрытый дискретное подмножество. Для каждого в , позволять быть многочленом от . Есть мероморфная функция на так что для каждого , функция имеет только устранимую особенность при. В частности, основная часть из в является .
Один из возможных схем доказательства следующий. Если конечно, достаточно взять . Если не конечно, рассмотрим конечную сумму где конечное подмножество . В то время какмогут не сходиться по мере приближения F к E , можно вычесть хорошо выбранные рациональные функции с полюсами вне D (обеспечиваемые теоремой Рунге ) без изменения основных частей и таким образом, чтобы гарантировать сходимость.
Пример
Предположим, что нам нужна мероморфная функция с простыми полюсами вычета 1 при всех натуральных числах. С обозначениями, как указано выше, позволяя
а также , Теорема Миттаг-Леффлера утверждает (неконструктивно) существование мероморфной функции с основной частью в для каждого положительного целого числа . Этотобладает желаемыми свойствами. Более конструктивно мы можем позволить
Этот ряд обычно сходится на(как можно показать с помощью М-теста ) в мероморфную функцию с желаемыми свойствами.
Полюсные разложения мероморфных функций
Вот несколько примеров полюсных разложений мероморфных функций:
Смотрите также
Рекомендации
- Альфорс, Ларс (1953), Комплексный анализ (3-е изд.), McGraw Hill (опубликовано в 1979 г.), ISBN 0-07-000657-1.
- Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
Внешние ссылки
- "Теорема Миттаг-Леффлера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Теорема Миттаг-Леффлера» . PlanetMath .