В математике , и в частности в линейной алгебре , обратное преобразование Мура – Пенроуза из матрицы является наиболее широко известным обобщением на обратной матрицы . [1] [2] [3] [4] Это был независимо описан EH Moore [5] в 1920 году, Арне Бжерхаммар [6] в 1951 году, и Роджер Пенроуз [7] в 1955 г. Ранее Фредгольм был введен понятие псевдообратного интегрального оператора в 1903 году. При обращении к матрице термин псевдообратный , без дальнейшего уточнения, часто используется для обозначения обратного Мура – Пенроуза. Термин обобщенная обратная иногда используется как синоним псевдообратного.
Обычно псевдообратное выражение используется для вычисления "наилучшего соответствия" ( методом наименьших квадратов ) решения системы линейных уравнений , не имеющей решения (см. Ниже в разделе "Приложения" ). Другое использование - найти решение с минимальной ( евклидовой ) нормой для системы линейных уравнений с несколькими решениями. Псевдообратная матрица упрощает формулировку и доказательство результатов линейной алгебры.
Псевдообратная матрица определена и уникальна для всех матриц, элементы которых являются действительными или комплексными числами. Его можно вычислить с помощью разложения по сингулярным числам .
Обозначение
В нижеследующем обсуждении приняты следующие условные обозначения.
- будет обозначать одно из полей действительных или комплексных чисел, обозначаемых, , соответственно. Векторное пространство матрицы над обозначается .
- Для , а также обозначают транспонирование и эрмитово транспонирование (также называемое сопряженным транспонированием ) соответственно. Если, тогда .
- Для , (что означает " диапазон ") обозначает пространство столбца (изображение) (пространство, покрытое векторами-столбцами ) а также обозначает ядро (пустое пространство).
- Наконец, для любого положительного целого числа , обозначает единичная матрица .
Определение
Для псевдообратная к A определяется как матрицаудовлетворяет всем следующим четырем критериям, известным как условия Мура – Пенроуза: [7] [8]
- не обязательно должна быть общей единичной матрицей, но она отображает все векторы-столбцы матрицы A на себя;
- действует как слабый инверс ;
- это эрмитова ;
- тоже эрмитский.
существует для любой матрицы A , но, когда последняя имеет полный ранг (т. е. ранг матрицы A равен), тогда можно выразить в виде простой алгебраической формулы.
В частности, когда имеет линейно независимые столбцы (и, следовательно, матрица обратима), можно вычислить как
Этот конкретный псевдообратный вариант представляет собой левый обратный , поскольку в этом случае.
Когда A имеет линейно независимые строки (матрица обратима), можно вычислить как
Это прямо обратное , так как.
Характеристики
Существование и уникальность
Псевдообратная матрица существует и единственна: для любой матрицы , имеется ровно одна матрица , который удовлетворяет четырем свойствам определения. [8]
Матрица, удовлетворяющая первому условию определения, называется обобщенной обратной. Если матрица также удовлетворяет второму определению, она называется обобщенно рефлексивной обратной . Обобщенные инверсии существуют всегда, но в общем случае они не уникальны. Уникальность - следствие двух последних условий.
Основные свойства
- Если есть настоящие записи, значит, тоже .
- Если является обратимым , его Псевдообратным является обратным. Это,. [9] : 243
- Псевдообратной нулевой матрицы является ее транспонирование.
- Псевдообратная псевдообратная матрица - это исходная матрица: . [9] : 245
- Псевдообращение коммутирует с транспонированием, комплексным сопряжением и выполнением сопряженного транспонирования: [9] : 245
- , , .
- Псевдообратная скалярная величина, кратная является обратным кратным :
- для .
Идентичности
Следующие идентификаторы могут использоваться для отмены определенных подвыражений или раскрытия выражений, содержащих псевдообратные символы. Доказательства этих свойств можно найти на подстранице доказательств .
Приведение к эрмитовскому регистру
Вычисление псевдообратного преобразования сводится к его построению в эрмитовом случае. Это возможно благодаря эквивалентностям:
в виде а также эрмитские.
Продукты
Предполагать . Тогда следующие варианты эквивалентны: [10]
Ниже приведены достаточные условия для :
- имеет ортонормированные столбцы (тогда ), или же
- имеет ортонормированные строки (тогда ), или же
- имеет линейно независимые столбцы (тогда ) а также имеет линейно независимые строки (тогда ), или же
- , или же
- .
Следующее является необходимым условием для :
Последнее достаточное условие дает равенства
NB: равенство не держит в общем. См. Контрпример:
Проекторы
а также являются операторами ортогонального проектирования , то есть, они являются эрмитовы (, ) и идемпотентный ( а также ). Следующее имеет место:
- а также
- является ортогональным проектором на диапазон от(что равно ортогональному дополнению ядра).
- ортогональный проектор на диапазон (что равно ортогональному дополнению ядра ).
- ортогональный проектор на ядро .
- ортогональный проектор на ядро . [8]
Последние два свойства подразумевают следующие тождества:
Другое свойство следующее: если эрмитово и идемпотентно (истинно тогда и только тогда, когда оно представляет собой ортогональную проекцию), то для любой матрицы выполняется следующее уравнение: [11]
Это можно доказать, задав матрицы , , и проверяя, что действительно является псевдообратной для путем проверки того, что определяющие свойства псевдообратной верны, когда эрмитово и идемпотентно.
Из последнего свойства следует, что если эрмитово и идемпотентно для любой матрицы
Наконец, если является ортогональной проекционной матрицей, то ее псевдообратная матрица тривиально совпадает с самой матрицей, т. е. .
Геометрическая конструкция
Если рассматривать матрицу как линейную карту над полем тогда можно разложить следующим образом. Мы пишемна прямую сумму ,для ортогонального дополнения ,для ядра карты идля изображения карты. Заметь а также . Ограничениетогда является изоморфизмом. Это означает, что на является обратным к этому изоморфизму и равен нулю на
Другими словами: найти для данного в , первый проект перпендикулярно диапазону , найти точку В диапазоне. Затем сформируйте, то есть найти эти векторы в что отправляет в . Это будет аффинное подпространство в параллельно ядру . Элемент этого подпространства, имеющий наименьшую длину (то есть ближайший к началу координат), является ответоммы ищем. Его можно найти, взяв произвольный член и проецируя его ортогонально на ортогональное дополнение ядра .
Это описание тесно связано с решением минимальной нормы линейной системы .
Подпространства
Ограничить отношения
Псевдообратные ограничения:
Непрерывность
В отличие от обычного обращения матриц, процесс взятия псевдообратных матриц не является непрерывным : если последовательность сходится к матрице (в максимальной норме или , скажем, в норме Фробениуса ), то не нужно сходиться к . Однако если все матрицы иметь тот же ранг, что и , сведется к . [12]
Производная
Производная вещественнозначной псевдообратной матрицы, которая имеет постоянный ранг в точке можно вычислить через производную исходной матрицы: [13]
Примеры
Поскольку для обратимых матриц псевдообратная матрица равна обычной обратной, ниже рассматриваются только примеры необратимых матриц.
- Для псевдообратная (Обычно псевдообратной нулевой матрицей является ее транспонирование.) Уникальность этой псевдообратной матрицы видна из требования , поскольку умножение на нулевую матрицу всегда дает нулевую матрицу.
- Для псевдообратная
Действительно, и поэтому
По аналогии, и поэтому - Для
- Для (Знаменатели .)
- Для
- Для псевдообратная Для этой матрицы существует левая обратная, поэтому она равна, действительно,
Особые случаи
Скаляры
Также возможно определить псевдообратную форму для скаляров и векторов. Это равносильно обращению с ними как с матрицами. Псевдообратная к скаляру равно нулю, если равен нулю, и величина, обратная иначе:
Векторы
Псевдообратный нулевой вектор (полностью нулевой) - это транспонированный нулевой вектор. Псевдообратное значение ненулевого вектора - это сопряженный транспонированный вектор, деленный на его квадрат величины:
Линейно независимые столбцы
Если столбцы вявляются линейно независимыми (так , что), тогда обратимо. В этом случае явная формула: [14]
Следует, что тогда является левым обратным к : .
Линейно независимые строки
Если строки из линейно независимы (так что ), тогда обратимо. В этом случае явная формула:
Следует, что это правая инверсия : .
Ортонормированные столбцы или строки
Это частный случай либо полного ранга столбца, либо полного ранга строки (рассмотренного выше). Если имеет ортонормированные столбцы () или ортонормированные строки (), тогда:
Нормальные матрицы
Если - нормальная матрица ; то есть коммутирует со своим сопряженным транспонированием; тогда его псевдообратное значение может быть вычислено путем его диагонализации, отображения всех ненулевых собственных значений в их обратные и отображения нулевых собственных значений в ноль. Следствие состоит в том, что коммутация с его транспонированием подразумевает, что он коммутирует со своим псевдообратным.
Ортогональные проекционные матрицы
Это частный случай нормальной матрицы с собственными значениями 0 и 1. Если ортогональная проекционная матрица, т. е. а также , то псевдообратная матрица тривиально совпадает с самой матрицей:
Циркулянтные матрицы
Для циркулянтной матрицы , разложение по сингулярным числам задается преобразованием Фурье , то есть сингулярные значения являются коэффициентами Фурье. Позволятьбыть дискретным преобразованием Фурье матрицы (ДПФ) , то [15]
Строительство
Разложение по рангу
Позволять обозначим ранг в. потомможно (ранг) разложить как где а также имеют ранг . потом.
QR-метод
Для вычисление продукта или же а их обратные значения на практике часто являются источником ошибок округления числовых значений и вычислительных затрат. Альтернативный подход с использованием QR - разложение по может использоваться вместо этого.
Рассмотрим случай, когда имеет полный ранг столбца, так что . Тогда разложение Холецкого , где - верхняя треугольная матрица , может использоваться. Умножение на обратное затем легко выполняется путем решения системы с несколькими правыми частями,
которая может быть решена прямой заменой с последующей обратной заменой .
Разложение Холецкого можно вычислить без формирования явно, с помощью альтернативно с помощью QR - разложения в, где имеет ортонормированные столбцы, , а также верхнетреугольный. потом
так фактор Холецкого .
Случай полного ранга строки рассматривается аналогично с использованием формулы и используя аналогичный аргумент, поменяв ролями а также .
Разложение по сингулярным числам (SVD)
Простым и точным в вычислительном отношении способом вычислить псевдообратное значение является использование разложения по сингулярным числам . [14] [8] [16] Если является сингулярным разложением , тогда . Для прямоугольной диагональной матрицы, такой как, мы получаем псевдообратную величину, взяв величину, обратную каждому ненулевому элементу на диагонали, оставляя нули на месте, а затем транспонируя матрицу. При численных вычислениях ненулевыми считаются только элементы, превышающие некоторый небольшой допуск, а остальные заменяются нулями. Например, в функциях pinv MATLAB , GNU Octave или NumPy допуск принимается равным t = ε⋅max ( m , n ) ⋅max (Σ) , где ε - машинный эпсилон .
В стоимости вычислений этого метода преобладает стоимость вычисления SVD, которая в несколько раз выше, чем умножение матрицы на матрицу, даже если используется современная реализация (например, LAPACK ).
Вышеупомянутая процедура показывает, почему взятие псевдообратной матрицы не является непрерывной операцией: если исходная матрица имеет сингулярное значение 0 (диагональный элемент матрицы выше), затем изменив немного может превратить этот ноль в крошечное положительное число, тем самым резко влияя на псевдообратную матрицу, поскольку теперь мы должны взять обратную величину крошечного числа.
Блочные матрицы
Оптимизированные подходы существуют для вычисления псевдообратной матрицы блочно-структурированных матриц.
Итерационный метод Бен-Исраэля и Коэна
Другой метод вычисления псевдообратной формулы (см. Инверсию Дразина ) использует рекурсию
что иногда называют последовательностью сверхмощности. Эта рекурсия дает последовательность, квадратично сходящуюся к псевдообратной к если он запущен соответствующим удовлетворение . Выбор (где , с участием обозначающий наибольшее сингулярное значение ) [17] утверждалось, что он не может конкурировать с методом, использующим SVD, упомянутым выше, потому что даже для умеренно плохо обусловленных матриц требуется много времени, прежде чемвходит в область квадратичной сходимости. [18] Однако, если начать с уже близко к обратному преобразованию Мура – Пенроуза и , Например , сходимость быстрая (квадратичная).
Обновление псевдообратной
Для случаев, когда имеет полный ранг строки или столбца и обратную матрицу корреляции ( для с полным рангом строки или для полного ранга столбца), псевдообратная для матриц, связанных с можно вычислить, применив формулу Шермана – Моррисона – Вудбери для обновления обратной корреляционной матрицы, что может потребовать меньше усилий. В частности, если связанная матрица отличается от исходной только измененной, добавленной или удаленной строкой или столбцом, существуют дополнительные алгоритмы, которые используют взаимосвязь. [19] [20]
Точно так же можно обновить коэффициент Холецкого при добавлении строки или столбца без явного создания обратной корреляционной матрицы. Однако обновление псевдообратной матрицы в общем случае недостаточного ранга намного сложнее. [21] [22]
Программные библиотеки
Качественные реализации SVD, QR и обратной подстановки доступны в стандартных библиотеках , таких как LAPACK . Написание собственной реализации SVD - это крупный проект в области программирования, требующий значительного опыта работы с числами . Однако в особых обстоятельствах, таких как параллельные вычисления или встроенные вычисления , могут быть предпочтительны альтернативные реализации с помощью QR или даже использование явного обратного, и пользовательские реализации могут быть неизбежны.
Пакет Python NumPy обеспечивает псевдообратное вычисление через свои функции matrix.I
и linalg.pinv
; он pinv
использует алгоритм на основе SVD. SciPy добавляет функцию, scipy.linalg.pinv
которая использует решатель наименьших квадратов.
Пакет MASS для R обеспечивает вычисление обратной ginv
функции Мура – Пенроуза через функцию. [23]ginv
функция вычисляет Псевдообращение , используя разложение по сингулярным значениям , представленную svd
функции в пакете базового R. Альтернативой является использование pinv
функции, доступной в пакете pracma.
Язык программирования Octave обеспечивает псевдообратное обращение через стандартную функцию пакета pinv
и pseudo_inverse()
метод.
В Julia (язык программирования) пакет LinearAlgebra стандартной библиотеки обеспечивает реализацию обратного преобразования Мура-Пенроуза, pinv()
реализованного посредством разложения по сингулярным числам. [24]
Приложения
Линейный метод наименьших квадратов
Псевдообратная матрица дает решение системы линейных уравнений методом наименьших квадратов . [25] Для, заданной системой линейных уравнений
в общем, вектор это решает, что система может не существовать, или, если она существует, она не может быть уникальной. Псевдообратная матрица решает проблему наименьших квадратов следующим образом:
- , у нас есть где а также обозначает евклидову норму . Это слабое неравенство выполняется с равенством тогда и только тогда, когда для любого вектора ; это обеспечивает бесконечное количество решений по минимизации, если только имеет полный ранг столбца, и в этом случае - нулевая матрица. [26] Решение с минимальной евклидовой нормой:[26]
Этот результат легко распространяется на системы с несколькими правыми частями, когда евклидова норма заменяется нормой Фробениуса. Позволять.
- , у нас есть где а также обозначает норму Фробениуса .
Получение всех решений линейной системы
Если линейная система
имеет любые решения, все они даются [27]
для произвольного вектора . Решение (я) существует тогда и только тогда, когда. [27] Если верно последнее, то решение единственно тогда и только тогда, когда имеет полный ранг столбца, и в этом случае - нулевая матрица. Если решения существуют, ноне имеет полного столбца ранга, то мы имеем неопределенную систему , все бесконечные решения которой даются этим последним уравнением.
Решение с минимальной нормой линейной системы
Для линейных систем с неуникальными решениями (такими как недоопределенные системы), псевдообратная матрица может использоваться для построения решения минимальной евклидовой нормы среди всех решений.
- Если выполнимо, вектор является решением и удовлетворяет для всех решений.
Этот результат легко распространяется на системы с несколькими правыми частями, когда евклидова норма заменяется нормой Фробениуса. Позволять.
- Если выполнима матрица является решением и удовлетворяет для всех решений.
Номер условия
Используя псевдообратную матрицу и матричную норму , можно определить число обусловленности для любой матрицы:
Большое число обусловленности означает, что проблема нахождения решений методом наименьших квадратов соответствующей системы линейных уравнений плохо обусловлена в том смысле, что небольшие ошибки в элементах может привести к огромным ошибкам при вводе решения. [28]
Обобщения
Помимо матриц над действительными и комплексными числами, условия выполняются для матриц над бикватернионами , также называемыми «комплексными кватернионами». [29]
Чтобы решить более общие задачи наименьших квадратов, можно определить обратные Мура – Пенроуза для всех непрерывных линейных операторов между двумя гильбертовыми пространствами а также , используя те же четыре условия, что и в нашем определении выше. Оказывается, не всякий линейный непрерывный оператор имеет в этом смысле непрерывный линейный псевдообратный оператор. [28] Это как раз те, чей диапазон замкнут в.
Понятие псевдообратной существует для матриц над произвольным полем, снабженных произвольным инволютивным автоморфизмом . В этом более общем случае данная матрица не всегда имеет псевдообратную форму. Необходимым и достаточным условием существования псевдообратной матрицы является то, что где обозначает результат применения операции инволюции к транспонированию . Когда он существует, он уникален. [30] Пример : рассмотрим поле комплексных чисел, снабженное тождественной инволюцией (в отличие от инволюции, рассматриваемой в другом месте статьи); существуют ли матрицы, не имеющие псевдообратных в этом смысле? Рассмотрим матрицу. Заметьте, что пока . Таким образом, эта матрица не имеет псевдообратной матрицы в этом смысле.
В абстрактной алгебре обратный Мура – Пенроуза может быть определен на * -регулярной полугруппе . Это абстрактное определение совпадает с определением линейной алгебры.
Смотрите также
- Доказательства обратного преобразования Мура – Пенроуза.
- Инверсия Дразина
- Матрица шляп
- Обратный элемент
- Линейный метод наименьших квадратов (математика)
- Псевдодетерминант
- Регулярное кольцо фон Неймана
Заметки
- Перейти ↑ Ben-Israel & Greville 2003 , p. 7.
- Перейти ↑ Campbell & Meyer, Jr. 1991 , p. 10.
- Перейти ↑ Nakamura 1991 , p. 42.
- Перейти ↑ Rao & Mitra 1971 , p. 50–51.
- ^ Мур, EH (1920). «Об обратной общей алгебраической матрице» . Бюллетень Американского математического общества . 26 (9): 394–95. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1920-03322-7 .
- ^ Бьерхаммар, Арне (1951). «Применение исчисления матриц к методу наименьших квадратов; со специальными ссылками на геодезические расчеты». Пер. Рой. Inst. Tech. Стокгольм . 49 .
- ^ а б Пенроуз, Роджер (1955). «Обобщенная инверсия для матриц» . Труды Кембриджского философского общества . 51 (3): 406–13. Bibcode : 1955PCPS ... 51..406P . DOI : 10.1017 / S0305004100030401 .
- ^ а б в г д Голуб, Джин Х .; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления (3-е изд.). Балтимор: Джонс Хопкинс. стр. 257 -258. ISBN 978-0-8018-5414-9.
- ^ а б в Стоер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002). Введение в численный анализ (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95452-3..
- ^ Гревиль, Теннесси (1966-10-01). «Замечание об обобщенном обратном матричном произведении» . SIAM Обзор . 8 (4): 518–521. DOI : 10.1137 / 1008107 . ISSN 0036-1445 .
- ^ Maciejewski, Anthony A .; Кляйн, Чарльз А. (1985). «Предотвращение препятствий для кинематически избыточных манипуляторов в динамически изменяющихся средах». Международный журнал исследований робототехники . 4 (3): 109–117. DOI : 10.1177 / 027836498500400308 . ЛВП : 10217/536 . S2CID 17660144 .
- ^ Ракочевич, Владимир (1997). «О непрерывности обратных преобразований Мура – Пенроуза и Дразина» (PDF) . Matematički Vesnik . 49 : 163–72.
- ^ Голуб, Г.Х .; Перейра, В. (апрель 1973 г.). «Дифференциация псевдообратных и нелинейных задач наименьших квадратов, в которых переменные разделяются». Журнал СИАМ по численному анализу . 10 (2): 413–32. Bibcode : 1973SJNA ... 10..413G . DOI : 10.1137 / 0710036 . JSTOR 2156365 .
- ^ а б Бен-Исраэль и Гревиль 2003 .
- ^ Сваливание, WT ; Буллион, Т.Л. (1972). «Псевдообратная r -циркулянтная матрица». Труды Американского математического общества . 34 (2): 385–88. DOI : 10.2307 / 2038377 . JSTOR 2038377 .
- ^ Линейные системы и псевдообратные
- ^ Бен-Исраэль, Ади; Коэн, Дэн (1966). «Об итерационном вычислении обобщенных обратных и связанных проекций». Журнал СИАМ по численному анализу . 3 (3): 410–19. Bibcode : 1966SJNA .... 3..410B . DOI : 10.1137 / 0703035 . JSTOR 2949637 .pdf
- ^ Седерстрём, Торстен; Стюарт, GW (1974). "О численных свойствах итерационного метода вычисления обобщенного обратного Мура – Пенроуза". Журнал СИАМ по численному анализу . 11 (1): 61–74. Bibcode : 1974SJNA ... 11 ... 61S . DOI : 10.1137 / 0711008 . JSTOR 2156431 .
- ^ Грамс, Тино (1992). Worterkennung mit einem künstlichen neuroonalen Netzwerk (докторская диссертация). Георг-Август-Universität zu Göttingen. OCLC 841706164 .
- ^ Эмтияз, Мохаммад (27 февраля 2008 г.). «Обновление инверсии матрицы при добавлении / удалении столбца» (PDF) . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Мейер-младший, Карл Д. (1973). «Обобщенные инверсии и ранги блочных матриц». SIAM J. Appl. Математика . 25 (4): 597–602. DOI : 10.1137 / 0125057 .
- ^ Мейер-младший, Карл Д. (1973). «Обобщенное обращение модифицированных матриц». SIAM J. Appl. Математика . 24 (3): 315–23. DOI : 10.1137 / 0124033 .
- ^ «R: Обобщенная обратная матрица» .
- ^ "Линейная Алгебра.пинв" .
- ^ Пенроуз, Роджер (1956). «О наилучшем приближенном решении линейных матричных уравнений». Труды Кембриджского философского общества . 52 (1): 17–19. Bibcode : 1956PCPS ... 52 ... 17P . DOI : 10.1017 / S0305004100030929 .
- ^ а б Планиц, М. (октябрь 1979 г.). «Несогласованные системы линейных уравнений». Математический вестник . 63 (425): 181–85. DOI : 10.2307 / 3617890 . JSTOR 3617890 .
- ^ а б Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенное обратное». Математический вестник . 62 (420): 109–14. DOI : 10.1017 / S0025557200086460 .
- ^ а б Хаген, Роланд; Рох, Штеффен; Зильберманн, Бернд (2001). «Раздел 2.1.2». C * -алгебры и численный анализ . CRC Press.
- ^ Тиан, Юнге (2000). "Матричная теория над комплексной алгеброй кватернионов". с.8, теорема 3.5. arXiv : математика / 0004005 .
- ^ Перл, Мартин Х. (1968-10-01). «Обобщенные инверсии матриц с элементами, взятыми из произвольного поля» . Линейная алгебра и ее приложения . 1 (4): 571–587. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (68) 90028-1 . ISSN 0024-3795 .
Рекомендации
- Бен-Исраэль, Ади ; Гревиль, Томас NE (2003). Обобщенные обратные: Теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. DOI : 10.1007 / b97366 . ISBN 978-0-387-00293-4.
- Кэмпбелл, SL; Мейер-младший, компакт-диск (1991). Обобщенные инверсии линейных преобразований . Дувр. ISBN 978-0-486-66693-8.
- Накамура, Ёсихико (1991). Продвинутая робототехника: резервирование и оптимизация . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0201151985.
- Рао, Ч. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 240 . ISBN 978-0-471-70821-6.
Внешние ссылки
- Псевдообратная на PlanetMath
- Интерактивная программа и учебник Псевдообратной Вселенной Мура – Пенроуза
- «Обратное Мура – Пенроуза» . PlanetMath .
- Вайсштейн, Эрик В. «Псевдообратная» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Обратное преобразование Мура – Пенроуза» . MathWorld .
- Псевдообратная матрица Мура – Пенроуза. Учебный обзор теории
- Онлайн калькулятор обратного преобразования Мура-Пенроуза