В математике , А единичный вектор в нормированном векторном пространстве является вектор (часто пространственный вектор ) от длины единичного вектора 1. А часто обозначается строчной буквой с диакритическим , или «шапкой», как и в (произносится «в- шляпа"). [1] [2]
Термин « вектор направления» используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления, и такие величины обычно обозначаются как d ; Представленные таким образом двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичной окружности . Та же конструкция используется для указания пространственных направлений в 3D, которые эквивалентны точке на единичной сфере .
Нормализуется вектор и из ненулевого вектора U представляет собой единичный вектор в направлении U , т.е.
где | u | - норма (или длина) u . [3] [4] Термин « нормализованный вектор» иногда используется как синоним единичного вектора .
Единичные векторы часто выбираются для формирования основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.
По определению, скалярное произведение двух единичных векторов в евклидовом пространстве является скалярным значением, равным косинусу меньшего подведенного угла. В трехмерном евклидовом пространстве перекрестное произведение двух произвольных единичных векторов является третьим вектором, ортогональным им обоим, длина которого равна синусу меньшего вложенного угла. Нормализованное перекрестное произведение корректирует эту изменяющуюся длину и дает взаимно ортогональный единичный вектор для двух входов, применяя правило правой руки для разрешения одного из двух возможных направлений.
Ортогональные координаты [ править ]
Декартовы координаты [ править ]
Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат равны
Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемых стандартным базисом в линейной алгебре .
Они часто обозначаются с использованием общей векторной записи (например, i или ), а не стандартной записи единичного вектора (например, ). В большинстве случаев можно предположить, что i , j и k (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения , , , или , с или без шляпы , также используются, [3] , особенно в условиях , когда я , J , K может привести к путанице с другим количеством (например , с индексом символов , таких как я , J , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).
Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовой системе счисления как линейная комбинация i , j , k , его три скалярных компонента могут называться направляющими косинусами . Значение каждого компонента равно косинусу угла, образованного единичным вектором - с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой линии, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).
Цилиндрические координаты [ править ]
Три ортогональных единичных вектора, соответствующих цилиндрической симметрии:
- (также обозначается или ), обозначающее направление, вдоль которого измеряется расстояние точки от оси симметрии;
- , представляющий направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
- , представляющий направление оси симметрии;
Они связаны с декартовой основой , , по:
- знак равно
- знак равно
Важно отметить, что и являются функциями , а не постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также оперировать этими единичными векторами. Производные по :
Сферические координаты [ править ]
Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии, следующие:, направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; , направление, в котором угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x увеличивается; и направление, в котором увеличивается угол от положительной оси z . Чтобы свести к минимуму избыточность представлений, полярный угол обычно принимается равным от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто меняются местами. Здесь американская "физическая" конвенция [5]используется. Это оставляет азимутальный угол таким же, как и в цилиндрических координатах. В декартовых отношения:
Сферические единичные векторы зависят от обоих и , следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Для более полного описания см. Матрица Якоби и определитель . Ненулевые производные:
Общие единичные векторы [ править ]
Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [6]
Единичный вектор | Номенклатура | Диаграмма |
---|---|---|
Касательный вектор к кривой / линии потока | Вектор нормали к плоскости, содержащий и определяемый вектором радиального положения и угловым тангенциальным направлением вращения , необходим, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения. | |
Нормально к касательной плоскости / плоскости поверхности, содержащей компонент радиального положения и угловой тангенциальный компонент | В полярных координатах ; | |
Бинормальный вектор к касательной и нормали | [7] | |
Параллельно какой-то оси / линии | Один единичный вектор выровнен параллельно главному направлению (красная линия), а перпендикулярный единичный вектор находится в любом радиальном направлении относительно главной линии. | |
Перпендикулярно некоторой оси / линии в некотором радиальном направлении | ||
Возможное угловое отклонение относительно некоторой оси / линии | Единичный вектор при остром угле отклонения φ (включая 0 или π / 2 рад) относительно главного направления. |
Криволинейные координаты [ править ]
В общем, система координат может быть однозначно указана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов [3] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного 3-мерного пространства эти векторы можно обозначать . Почти всегда удобно определять систему как ортонормированную и правую :
где - символ Кронекера (который равен 1 для i = j и 0 в противном случае) и является символом Леви-Чивиты (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ).
Правый Versor [ править ]
Единичный вектор в ℝ 3 был назван В. Р. Гамильтоном правым версором , когда он развил свои кватернионы ℍ ⊂ ℝ 4 . Фактически, он был создателем термина « вектор» , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v - единичный вектор в ℝ 3 , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, по формуле Эйлера , является версором в 3-сфере . Когда θ - прямой угол, версор является правым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в ℝ 3 .
См. Также [ править ]
Найдите единичный вектор в Викисловаре, бесплатном словаре. |
- Декартова система координат
- Система координат
- Криволинейные координаты
- Четырехскоростной
- Матрица Якоби и определитель
- Нормальный вектор
- Полярная система координат
- Стандартная основа
- Единичный интервал
- Единичный квадрат , куб , круг , сфера и гипербола
- Обозначение вектора
- Вектор из них
Заметки [ править ]
- ^ «Полный список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ "Единичный вектор" . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ a b c Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор» . mathworld.wolfram.com . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ "Единичные векторы | Блестящая математика и наука Wiki" . brilliant.org . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ Тевиан Дрей и Коринна А. Manogue, сферические координаты, Колледж Math Journal 34, 168-169 (2003).
- ^ Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия набросков Шаума) (5-е изд.). Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2.
- ^ MR Spiegel; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия набросков Шаума) (2-е изд.). Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
Ссылки [ править ]
- ГБ Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6.
- Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.