В математике , фундаментальная пара периодов является упорядоченной парой из комплексных чисел , определяющих решетку в комплексной плоскости . Этот тип решетки является базовым объектом, с помощью которого определяются эллиптические функции и модульные формы .
Хотя концепция двумерной решетки довольно проста, в математической литературе имеется значительное количество специальных обозначений и терминологии, касающихся решетки. В данной статье делается попытка пересмотреть эти обозначения, а также представить некоторые теоремы, характерные для двумерного случая.
Определение
Фундаментальная пара периодов является пара комплексных чиселтакое, что их отношение ω 2 / ω 1 не является действительным. Другими словами, рассматриваемые как векторы в, эти два не коллинеарны . Решетка, порожденная ω 1 и ω 2, есть
Эту решетку также иногда обозначают как Λ (ω 1 , ω 2 ), чтобы пояснить, что она зависит от ω 1 и ω 2 . Иногда его также обозначают Ω или Ω (ω 1 , ω 2 ) или просто 〈ω 1 , ω 2〉. Два образующих ω 1 и ω 2 называются базисом решетки .
Параллелограмм определяется вершинами 0, а также называется фундаментальным параллелограммом .
Важно отметить, что в то время как фундаментальная пара порождает решетку, решетка не имеет единственной фундаментальной пары, то есть многие (фактически бесконечное число) фундаментальных пар соответствуют одной и той же решетке.
Алгебраические свойства
Получить ряд свойств, перечисленных ниже.
Эквивалентность
Две пары комплексных чисел (ω 1 , Q 2 ) и (α 1 , α 2 ) называются эквивалентны , если они порождают ту же решетку: то есть, если ⟨ω 1 , ω 2 ⟩ = ⟨α 1 , α 2 ⟩.
Нет внутренних точек
Основной параллелограмм не содержит дополнительных точек решетки внутри или на границе. И наоборот, любая пара точек решетки с этим свойством составляет фундаментальную пару и, кроме того, порождает одну и ту же решетку.
Модульная симметрия
Две пары а также эквивалентны тогда и только тогда, когда существует матрица 2 × 2 с целыми элементами a , b , c и d и определителем ad - bc = ± 1 такими, что
то есть так, чтобы
а также
Заметим , что эта матрица принадлежит к матричной группе , которая, с небольшим злоупотреблением терминологией, известна как модульная группа . Эту эквивалентность решеток можно рассматривать как лежащую в основе многих свойств эллиптических функций (особенно эллиптических функций Вейерштрасса ) и модулярных форм.
Топологические свойства
Абелева группа отображает комплексную плоскость в основной параллелограмм. То есть каждая точка можно записать как для целых чисел m , n с точкой p в основном параллелограмме.
Так как это отображение выявляет противоположные стороны параллелограмма , как к тому же, фундаментальный параллелограмм имеет топологию в виде тора . Эквивалентно говорят, что фактормногообразие это тор.
Фундаментальный регион
Определим τ = ω 2 / ω 1 как отношение полупериодов . Тогда базис решетки всегда можно выбрать так, чтобы τ лежал в особой области, называемой фундаментальной областью . С другой стороны, всегда существует элемент PSL (2, Z ), который отображает базис решетки в другой базис, так что τ лежит в фундаментальной области.
Фундаментальная область задается множеством D , которое состоит из множества U плюс часть границы U :
где H - верхняя полуплоскость .
Затем строится фундаментальная область D , добавляя границу слева и половину дуги снизу:
Речь идет о трех случаях:
- Если а также , то в фундаментальной области имеется ровно два базиса решетки с одинаковым τ: а также
- Если , то четыре базиса решетки имеют одинаковое τ: указанные выше два , а также ,
- Если , то имеется шесть оснований решетки с одинаковым τ: , , и их негативы.
Обратите внимание, что при закрытии основного домена: а также
Смотрите также
- Существует ряд альтернативных обозначений для решетки и фундаментальной пары, которые часто используются вместо них. См., Например, статьи о номинале , эллиптическом модуле , четверти периода и соотношении полупериодов .
- Эллиптическая кривая
- Модульная форма
- Серия Эйзенштейна
Рекомендации
- Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97127-0 (См. Главы 1 и 2.)
- Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (См. Главу 2.)