| Количество известных терминов | 20 [ необходима проверка ] [ необходима цитата ] |
|---|---|
| Предполагаемый нет. условий | Бесконечный |
| Первые триместры | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199 |
| Самый большой известный термин | (10 270343 -1) / 9 |
| Индекс OEIS |
|
Перестановочно простой , также известный как анаграмматический расцвете , является простым число , которое, в данной базе , может иметь позиции его цифры переключается через любую перестановку и все еще быть простым числом. Ричерт , который предположительно первым изучил эти простые числа, назвал их перестановочными простыми числами [1], но позже они были также названы абсолютными простыми числами . [2]
В базе 10 известны все перестановочные простые числа с менее чем 49 081 цифрой.
- 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311, 337, 373, 733, 919, 991, R 19 (1111111111111111111), R 23 , R 317 , R 1031 , ... (последовательность A003459 в OEIS )
Из вышеперечисленного имеется 16 уникальных наборов перестановок с наименьшими элементами
- 2, 3, 5, 7, R 2 , 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R 19 , R 23 , R 317 , R 1031 , ... (последовательность A258706 в OEIS )
Примечание R n = - это повторная единица , число, состоящее только из n единиц (по основанию 10 ). Любое повторное простое число является перестановочным простым числом с указанным выше определением, но некоторые определения требуют как минимум двух различных цифр. [3]
Все перестановочные простые числа из двух или более цифр состоят из цифр 1, 3, 7, 9, потому что ни одно простое число, кроме 2, не является четным, и никакое простое число, кроме 5, не делится на 5. Доказано [4], что нет перестановочных чисел. существует простое число, которое содержит три различных из четырех цифр 1, 3, 7, 9, а также то, что не существует перестановочного простого числа, состоящего из двух или более каждой из двух цифр, выбранных из 1, 3, 7, 9.
Не существует n- значного перестановочного простого числа для 3 < n <6 · 10 175, которое не является повторной единицей. [1] Он предположил , что нет , не репьюнит перестановочен простые чисел, кроме тех , которые перечислены выше.
В базе 2 только повторные единицы могут быть перестановочными простыми числами, потому что любой 0, переставляемый в единицу, дает четное число. Следовательно, перестановочные простые числа с основанием 2 являются простыми числами Мерсенна . Можно безопасно сделать обобщение, что для любой позиционной системы счисления перестановочные простые числа с более чем одной цифрой могут иметь только цифры, взаимно простые с основанием системы счисления. Однозначные простые числа, означающие любое простое число ниже системы счисления, всегда тривиально перестановочны.
В базе 12 известны наименьшие элементы уникальных наборов перестановок перестановочных простых чисел с менее чем 9739 цифрами (с использованием перевернутых двух и трех для десяти и одиннадцати, соответственно)
- 2, 3, 5, 7, ɛ, R 2 , 15, 57, 5Ɛ, R 3 , 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R 5 , R 17 , R 81 , R 91 , R 225 , R 255 , R 4 ᘔ 5 ,. ..
Нет n- значного перестановочного простого числа в основании 12 для 4 < n <12 144, что не является повторным соединением. Предполагается, что не существует перестановочных простых чисел с основанием 12, отличных от перечисленных выше.
В основаниях 10 и 12 каждое перестановочное простое число является повторной единицей или почти повторной цифрой, то есть это перестановка целого числа P ( b , n , x , y ) = xxxx ... xxxy b ( n цифр, по основанию b ), где x и y - цифры, взаимно простые с b . Кроме того, x и y также должны быть взаимно простыми (поскольку если существует простое число p делит и x, и y , то p также делит число), поэтому если x= y , то x = y = 1. (Это верно не для всех оснований, но исключения редки и могут быть конечными для любой данной базы; единственными исключениями ниже 10 9 в базах до 20 являются: 139 11 , 36A 11 , 247 13 , 78A 13 , 29E 19 (M. Fiorentini, 2015).)
Пусть P ( b , n , x , y ) - перестановочное простое число в базе b, и пусть p - такое простое число, что n ≥ p . Если б это примитивный корень из р и р не делит й или | x - y |, то n делится на p - 1. (Поскольку b является примитивным корнем по модулю p, а p не делит | x - y|, То р число хххй ... XXXY , хххй ... xxyx , хххй ... xyxx , ..., хххй ... xyxx ... хххх (только б р -2 цифра у , другие все x ), xxxx ... yxxx ... xxxx (только цифра b p −1 - это y , все остальные - x ), xxxx ... xxxx ( повторная цифра сn x s) mod p все разные. То есть одно - 0, другое - 1, третье - 2, ..., другое - p - 1. Таким образом, поскольку первые p - 1 числа являются простыми числами, последнее число (повторная цифра с n x s) должно делиться на p . Поскольку p не делит x , p должен разделить повторную единицу на n 1. Поскольку b является примитивным корнем по модулю p , мультипликативный порядок n по модулю p равен p - 1. Таким образом, n должно делиться на p. - 1)
Таким образом, если b = 10, цифры взаимно простые с 10 равны {1, 3, 7, 9}. Поскольку 10 является примитивным корнем по модулю 7, то если n ≥ 7, то либо 7 делит x (в данном случае x = 7, поскольку x ∈ {1, 3, 7, 9}), либо | х - у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 3, 7, 9}. То есть простое число является повторным объединением) или n делится на 7 - 1 = 6. Аналогично, поскольку 10 является примитивным корнем по модулю 17, поэтому, если n ≥ 17, то либо 17 делит x (невозможно, поскольку x ∈ {1, 3, 7, 9}), либо | Икс- у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 3, 7, 9}. То есть простое число является повторным объединением) или n делится на 17 - 1 = 16. Кроме того, 10 также является примитивным корнем по модулю 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ..., поэтому n ≥ 17 очень невозможно (поскольку для это простое число p , если n ≥ p , то n делится на p - 1), а если 7 ≤ n <17, то x = 7 или n делится на 6 (единственное возможное n равно 12). Еслиb = 12, цифры, взаимно простые с 12, равны {1, 5, 7, 11}. Поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 5, то если n ≥ 5, то либо 5 делит x (в данном случае x = 5, поскольку x ∈ {1, 5, 7, 11}), либо | х - у | (в этом случае либо x = y = 1 (то есть простое число является повторной единицей), либо x = 1, y = 11 или x = 11, y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 5, 7, 11}.) Или n делится на 5 - 1 = 4. Аналогично, поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 7, поэтому, если n≥ 7, то либо 7 делит x (в данном случае x = 7, поскольку x ∈ {1, 5, 7, 11}), либо | х - у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x , y ∈ {1, 5, 7, 11}. То есть простое число является повторным объединением) или n делится на 7 - 1 = 6. Аналогично, поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 17, поэтому, если n ≥ 17, то либо 17 делит x (невозможно, поскольку x ∈ {1, 5, 7, 11}), либо | х - у | (в данном случае x = y = 1, поскольку x, y ∈ {1, 5, 7, 11}. То есть простое число - это повторная единица) или n кратно 17 - 1 = 16. Кроме того, 12 также является примитивным корнем по модулю 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, ..., поэтому n ≥ 17 очень невозможно (поскольку для этого простого числа p , если n ≥ p , то n делится на p - 1), и если 7 ≤ n <17, то x = 7 (в данном случае, поскольку 5 не делит x или x - y , поэтому n должно делиться на 4) или nделится на 6 (единственное возможное n равно 12).
Рекомендации
- ^ a b Ричерт, Ханс-Эгон (1951). «На сменном примталле». Norsk Matematiske Tiddskrift . 33 : 50–54. Zbl 0054.02305 .
- ^ Бхаргава, Теннесси; Дойл, PH (1974). «О существовании абсолютных простых чисел». Математика. Mag . 47 : 233. Zbl 0293.10006 .
- ^ Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: перестановочное число на Prime Pages .
- ^ А. В. Джонсон, «Абсолютные простые числа», Mathematics Magazine 50 (1977), 100–103.
