Фазовая скорость

Частотная дисперсия в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. В красный квадрат движется с фазовой скоростью , а      зеленые кружки - с групповой скоростью . В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза больше групповой скорости . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.

Новые волны, кажется, возникают позади группы волн, растут по амплитуде, пока не окажутся в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.

Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.

Распространение волнового пакета с фазовой скоростью, превышающей групповую, без дисперсии.

Это показывает волну с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущую в разных направлениях. Групповая скорость положительна, а фазовая скорость отрицательна. ^[1]

Фазовая скорость из волны является скорость , при которой волна распространяется в некоторой среде . Это скорость, с которой распространяется фаза любого частотного компонента волны. Для такого компонента будет казаться , что любая данная фаза волны (например, гребень ) движется с фазовой скоростью. Фазовая скорость задается через длину волны λ (лямбда) и период времени T как

${\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ lambda} {T}}.}$

Эквивалентно, в терминах угловой частоты волны ω , которая определяет угловое изменение в единицу времени, и волнового числа (или углового волнового числа) k , которое представляет собой пропорциональность между угловой частотой ω и линейной скоростью (скоростью распространения) ν _p ,

${\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}$

Для того, чтобы понять , где это уравнение приходит, рассмотрит основную волну косинуса ,  соз ( ое - ωt ) . По истечении времени t источник произвел колебания ωt / 2π = ft . По прошествии того же времени начальный фронт волны распространился от источника через пространство на расстояние x, чтобы соответствовать тому же количеству колебаний, kx  =  ωt .

Таким образом, скорость распространения v равна v  =  x / t  =  ω / k . Волна должна распространяться быстрее, если более высокочастотные колебания распространяются менее плотно в пространстве, если длина волны не будет компенсаторно сокращена. ^[2] Формально Φ  =  kx - ωt - фаза, где

${\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial \ Phi / \ partial t} {\ partial \ Phi / \ partial x}}.}$

Поскольку ω  = −d Φ / d t и k  = + d Φ / d x , скорость волны равна v  = d x / d t  =  ω / k .

Связь с групповой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи [ править ]

Суперпозиция одномерных плоских волн (синие), каждая из которых движется с разной фазовой скоростью (обведена синими точками), дает гауссовский волновой пакет (красный), который распространяется с групповой скоростью (обведен красной линией).

Поскольку чистая синусоида не может передавать никакой информации, требуется некоторое изменение амплитуды или частоты, известное как модуляция . Комбинируя два синуса с немного разными частотами и длинами волн,

${\ Displaystyle {\ begin {align} & \ cos [(k- \ Delta k) x - (\ omega - \ Delta \ omega) t] \; + \; \ cos [(k + \ Delta k) x- ( \ omega + \ Delta \ omega) t] \\ & = 2 \; \ cos (\ Delta kx- \ Delta \ omega t) \; \ cos (kx- \ omega t), \ end {align}}}$

амплитуда становится синусоидой с фазовой скоростью Δ ω / Δ k . Именно эта модуляция представляет собой содержание сигнала. Поскольку каждая амплитуда огибающей содержит группу внутренних волн, эта скорость обычно называется групповой скоростью , v _г . ^[2]

В данной среде частота является некоторой функцией ω ( k ) волнового числа, поэтому в общем случае фазовая скорость v _p  =  ω / k и групповая скорость v _g  = d ω / d k зависят от частоты и от средний. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью v _p известно как показатель преломления , n  =  c / v _p  =  ck / ω .

Взяв производную от ω  =  ck / n по k , мы получим групповую скорость :

${\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} \ omega} {{\ text {d}} k}} = {\ frac {c} {n}} - {\ frac {ck} {n ^ { 2}}} \ cdot {\ frac {{\ text {d}} n} {{\ text {d}} k}} ~.}$

за исключением того, что нельзя создать группу только с конечным числом волновых частот / волновых векторов. (То есть: огибающая в такой ситуации меняет форму так быстро, что групповая скорость теряет свой смысл.) Отмечая, что c / n  =  v _p , указывает, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления является постоянным d n / d k  = 0 , и в этом случае фазовая скорость и групповая скорость не зависят от частоты, ω / k = d ω / d k = c / n . ^[2]

В противном случае и фазовая скорость, и групповая скорость меняются с частотой, и среда называется дисперсионной ; соотношение ω = ω ( k ) известно как дисперсионное соотношение среды.

Групповая скорость электромагнитного излучения может - при определенных обстоятельствах (например, аномальная дисперсия ) - превышать скорость света в вакууме, но это не указывает на сверхсветовую информацию или передачу энергии. ^{[ необходима цитата ]} Это было теоретически описано физиками, такими как Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Сноски [ править ]

Библиография [ править ]