Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с Predicativism )
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Предикативизм» перенаправляется сюда. О другой школе философии, также известной как предикативизм, см. Ультрафинитизм .

В математике , логике и философии математики нечто непредикативное - это определение, ссылающееся на себя . Грубо говоря, определение является непредсказуемым, если оно вызывает (упоминает или дает количественную оценку) определяемый набор или (чаще) другой набор, содержащий определяемый объект. Нет общепринятого точного определения того, что значит быть предикативным или непредикативным. Авторы дали разные, но близкие определения.

Противоположностью отрицательности является предсказуемость, которая, по сути, влечет за собой построение стратифицированных (или разветвленных) теорий, в которых количественная оценка на более низких уровнях приводит к переменным некоторого нового типа, отличным от более низких типов, в которых колеблется переменная. Прототипическим примером является интуиционистская теория типов , которая сохраняет разветвленность, чтобы исключить отрицательность.

Парадокс Рассела - это известный пример импредикативной конструкции, а именно множества всех множеств, которые не содержат самих себя. Парадокс в том , что такое множество не может существовать: если она будет существовать, то вопрос можно , содержит ли он сам или нет - если это произойдет , то оно по определению не должно, а если это не то , по определению должно быть.

Точная нижняя грань некоторого множества X , GLB ( X ) , также имеет непредикативных определение: у = GLB ( Х ) , если и только если для всех элементов х из X , Y меньше или равна х , и любой г меньше , чем или равно всем элементам X меньше или равно y . Это определение дает количественную оценку по набору (потенциально бесконечному , в зависимости от рассматриваемого порядка ), члены которого являются нижними границами X, одним из которых является сам glb. Следовательно, предикативизм отвергнет это определение. [1]

История [ править ]

Нормы (содержащие одну переменную), которые не определяют классы, которые я предлагаю назвать непредикативными ; те, которые действительно определяют классы, я буду называть предикативными .

( Russell 1907 , p.34) (Рассел использовал «норму» для обозначения пропозиции: примерно то, что может принимать значения «истинно» или «ложно».)

Термины «предикативный» и «непредикативный» были введены Расселом (1907) , хотя с тех пор их значение немного изменилось.

Соломон Феферман дает исторический обзор предсказуемости, связывая его с текущими нерешенными исследовательскими проблемами. [2]

Принцип порочного круга был предложен Анри Пуанкаре (1905-6, 1908) [3] и Бертраном Расселом после парадоксов как требование к законным спецификациям множества. Наборы, не соответствующие требованиям, называются непредикативными .

Первый современный парадокс появился в 1897 году в книге Чезаре Бурали-Форти « Вопрос о трансфинитных числах» [4] и впоследствии стал известен как парадокс Бурали-Форти . Кантор, по-видимому, обнаружил тот же парадокс в своей (Канторовской) «наивной» теории множеств, и это стало известно как парадокс Кантора . Осведомленность Рассела о проблеме возникла в июне 1901 г. [5], когда он прочитал трактат Фреге по математической логике, его Begriffsschrift 1879 г . ; Оскорбительное предложение у Фреге следующее:

С другой стороны, также может быть, что аргумент определен, а функция - неопределенна. [6]

Другими словами, при заданном f ( a ) функция f является переменной, а a - инвариантной частью. Так почему бы не заменить значение п ( а ) для е само по себе? Рассел тут же написал Фреге письмо, в котором указывал:

Вы утверждаете ... что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я верил в это, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатом сам по себе. Можно ж быть предикат себя? Из каждого ответа следует обратное. Отсюда мы должны заключить, что w не является предикатом. Точно так же не существует класса (как совокупности) тех классов, каждый из которых, взятый как совокупность, не принадлежал бы самим себе. Из этого я делаю вывод, что при определенных обстоятельствах определяемая коллекция не образует целостности. [7]

Фреге сразу же ответил Расселу, признав наличие проблемы:

Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы сказал, ужас, поскольку оно пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику. [8]

Хотя проблема имела неблагоприятные личные последствия для обоих мужчин (у обоих были работы в типографии, которые необходимо было исправить), ван Хейеноорт отмечает, что «парадокс потряс мир логиков, и грохот все еще ощущается сегодня ... Парадокс Рассела. , который использует голые понятия множества и элемента, попадает прямо в область логики. Парадокс был впервые опубликован Расселом в Принципах математики (1903) и обсуждается там очень подробно ... ». [9] Рассел, после шести лет неудачных попыток, в конечном итоге ответил на этот вопрос своей теорией типов 1908 года, «предложив свою аксиому сводимости . В ней говорится, что любая функция является коэкстенсивной с тем, что он называет предикативным.функция: функция, в которой типы очевидных переменных не выше, чем типы аргументов ». [10] Но эта« аксиома »встретила сопротивление со всех сторон.

Отказ от непредикативно определенных математических объектов (при принятии натуральных чисел в классическом понимании) приводит к позиции в философии математики, известной как предикативизм, отстаиваемый Анри Пуанкаре и Германом Вейлем в его Das Kontinuum . Пуанкаре и Вейль утверждали, что непредикативные определения проблематичны только тогда, когда одно или несколько базовых множеств бесконечны.

Эрнст Цермело в своем 1908 году «Новое доказательство возможности правильного упорядочивания» [ требуется полная цитата ] представляет целый раздел «б. Возражение относительно непредикативного определения », где он выступал против «Пуанкаре (1906, стр. 307) [который заявляет, что] определение является «предикативным» и логически допустимым только в том случае, если оно исключает все объекты, которые зависят от определенного понятия, то есть которые могут каким-либо образом определяться им ». [11] Он приводит два примера импредикативных определений - (i) понятие цепочек Дедекинда и (ii) «в анализе, где бы ни был максимум или минимум ранее определенного« завершенного »набора чисел Zиспользуется для дальнейших выводов. Это происходит, например, в хорошо известном доказательстве Коши ... » [12]. Он заканчивает свой раздел следующим наблюдением:« Определение вполне может опираться на понятия, эквивалентные определяемому; действительно, в каждом определении Definiens и Definiendum являются эквивалентными понятиями, и строгое соблюдение требования Пуанкаре сделало бы любое определение, а значит, и всю науку, невозможным ». [13]

Пример Зермело минимума и максимума ранее определенного «завершенного» набора чисел снова появляется в Kleene 1952: 42-42, где Клини использует пример наименьшей верхней границы в своем обсуждении непредикативных определений; Kleene не решает эту проблему. В следующих параграфах он обсуждает попытку вейлевскую в его 1918 Das Kontinuum ( континууме ) , чтобы устранить непредикативных определения и его неспособность сохранить «теорему о том , что произвольное непустое множество М из действительных чисел , имеющее верхнюю границу имеет точную верхнюю грань ( см. также Weyl 1919) ». [14]

Рэмси утверждал, что «непредикативные» определения могут быть безвредными: например, определение «самый высокий человек в комнате» является непредикативным, поскольку оно зависит от набора вещей, элементом которого он является, а именно от набора всех людей в комнате. комната. Что касается математики, примером импредикативного определения является наименьшее число в наборе, которое формально определяется как: y = min ( X ) тогда и только тогда, когда для всех элементов x из X , y меньше или равно x , и у в X .

Burgess (2005) обсуждает предикативную и непредикативную теорию довольно подробно, в контексте Фрег логики «s, арифметики Пеано , арифметики второго порядка , и аксиоматической теории множеств .

См. Также [ править ]

  • Гедель, Эшер, Бах
  • Импредикативный полиморфизм
  • Логика
  • Парадокс ричарда

Примечания [ править ]

  1. Перейти ↑ Kleene 1952: 42–43
  2. ^ Соломон Феферман, " предикативность " (2002)
  3. ^ даты взяты из Клини 1952: 42
  4. ^ Комментарии Хейенорта перед (1897 г.) Бурали-Фортите вопрос о числах трансфинитных в Хейенорте 1967: 104; см. также его комментарий перед письмом Георга Кантора (1899) к Дедекинду в van Heijenoort 1967: 113
  5. ^ Комментарий Хейенорта передБертраном Рассела Трибуна к Фрегу в Хейенорте 1967: 124
  6. ↑ Готтлоб Фреге (1879) Begriffsschrift in van Heijenoort 1967: 23
  7. ^ Бертран Рассел 1902 Письмо Фрега в Хейенорте 1967: 124-125
  8. ^ Готтлоба Фреге (1902) Письмо Рассела в ван Hiejenoort 1967: 127
  9. ^ Комментарий Хейенорта перед Бертрана Рассела (1902) Письмо Фреге 1967: 124
  10. ^ Комментарий Уилларда В. Куайна перед Математической логикой Бертрана Рассела 1908 года, основанной на теории типов
  11. ^ Хейенорта 1967: 190
  12. ^ Хейенорта 1967: 190-191
  13. ^ Хейенорта 1967: 191
  14. ^ Клини 1952: 43

Ссылки [ править ]

  • «Предикативные и импредикативные определения» . Интернет-энциклопедия философии .
  • Статья PlanetMath о предикативизме
  • Джон Берджесс , 2005. Исправление Фреге . Princeton Univ. Нажмите.
  • Соломон Феферман , 2005, « Предикативность » в Оксфордском Справочнике философии математики и логики . Oxford University Press: 590–624.
  • Рассел Б. (1907), "О некоторых трудностях теории трансфинитных чисел и порядковых типов" , Proc. Лондонская математика. Soc. , S2-4 (1): 29-53, DOI : 10.1112 / PLMS / s2-4.1.29
  • Стивен К. Клини 1952 (издание 1971 г.), Введение в метаматематику , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 . В частности, ср. его §11 Парадоксы (стр. 36–40) и §12 Первые выводы из парадоксов ИМПРЕДИКАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ (стр. 42). Он заявляет, что его 6 или около того (знаменитых) примеров парадоксов (антиномий) являются примерами непредикативного определения, и говорит, что Пуанкаре (1905–6, 1908) и Рассел (1906, 1910) «изложили причину парадоксов во лжи. в этих косвенных определениях »(стр. 42), однако,« части математики, которые мы хотим сохранить, в частности анализ, также содержат непредикативные определения ». (там же). Вейль в своем 1918 году («Das Kontinuum») попытался вывести как можно больше анализа без использования импредикативных определений, «но не теорему о том, что произвольное непустое множество действительных чисел M, имеющее верхнюю границу, имеет наименьшее верхняя граница (CF. также Weyl 1919) »(стр. 43).
  • Ханс Райхенбах 1947, Элементы символической логики , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, ISBN 0-486-24004-5 . Ср. его §40. Антиномии и теория типов (стр. 218, где он демонстрирует, как создавать антиномии, включая определение самого непредсказуемого («Является ли определение« непредсказуемого »непредсказуемым?»). Он утверждает, что показывает методы устранения «парадоксов». синтаксиса »(« логические парадоксы ») - с помощью теории типов - и« парадоксы семантики »- с помощью метаязыка (его« теория уровней языка »). Он приписывает предположение об этом понятии Рассел, а конкретнее Рэмси. 
  • Jean van Heijenoort 1967, третье издание 1976 г., From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)