Пифагорейская запятая

Пифагорейская запятая (531441: 524288) на C Play ( справка · информация ) . 

Пифагорейская запятая ( PC ) определяется в пифагорейской настройке как разница между полутонами (A1 - m2) или интервал между энгармонически эквивалентными нотами (от D ♭ до C ♯ ). Уменьшенная второй имеет такую же ширину , но в направление , противоположное (от C до ♯ к D ♭ ).

В музыкальной настройке , в Пифагоре запятой (или ditonic запятой ^[а] ), названной в честь древнего математика и философа Пифагора , является малым интервал (или запятая ) , существующий в настройке Пифагора между двумя энгармонический эквивалентными нотами , такими как C и B ♯ ( Play ( помощь · информация ) ), или D ♭ и C ♯ . ^[1] Это равно отношению частот ^{(1,5) 12} / _{2 ⁷} = ^{Пятьсот тридцать один тысяча четыреста сорок-одно} / ₅₂₄₂₈₈ ≈ 1,01364, или около 23.46 центов , примерно на четверти полутона (в периоде между 75:74 и 74:73 ^[2] ). Запятая, которую музыкальные темпераменты часто называют темперированием, - это пифагорейская запятая. ^[3]

Пифагор запятая может быть также определена как разница между Пифагора apotome и Пифагора limma ^[4] (т.е. между хроматическим и диатоническим полутоном , как определенно в настройке Пифагора), или разницу между двенадцатью просто квинтами и семью октав , или разница между тремя пифагорейскими дитонами и одной октавой (по этой причине пифагорейская запятая также называется дитонической запятой ).

Уменьшенная второй , в пифагорейской настройки, определяется как разница между limma и apotome. Следовательно, он совпадает с противоположностью пифагорейской запятой и может рассматриваться как нисходящая пифагорейская запятая (например, от C ♯ до D ♭ ), равная примерно -23,46 цента.

Вывод [ править ]

Как описано во введении, запятая Пифагора может быть получена несколькими способами:

• Разница между двумя энгармонически эквивалентными нотами пифагорейской гаммы, такими как C и B ♯ ( Игра ( помощь · информация ) ) или D ♭ и C ♯ (см. Ниже ). 
• Разница между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой .
• Разница между двенадцатью идеальными квинтами и семью октавами .
• Разница между тремя пифагорейскими дитонами ( мажорными третями ) и одной октавой.

Просто идеальная квинта имеет соотношение частот 3: 2. Он используется в настройке Пифагора вместе с октавой как критерий для определения соотношения частот любой другой ноты относительно данной начальной ноты.

Апотом и лимма - два вида полутонов, определенных в пифагорейской настройке. А именно, apotome (около 113.69 центов, например , от C до C ♯ ) является хроматическим полутоном или дополненной унисон (А1), в то время как limma (около 90,23 центов, например , от C до D ♭ ) является диатоническим полутоном, или минора второй (м2).

Дитон (или большая треть ) - это интервал, образованный двумя основными тонами . В пифагорейской настройке размер основного тона составляет около 203,9 цента (соотношение частот 9: 8), таким образом, пифагорейский дитон составляет около 407,8 цента.

Размер [ править ]

Размер пифагорейской запятой, измеренный в центах , равен

${\ displaystyle {\ hbox {apotome}} - {\ hbox {limma}} \ приблизительно 113,69-90,23 \ приблизительно 23,46 ~ {\ hbox {центов}} \!}$

или, точнее, с точки зрения соотношения частот :

${\ displaystyle {\ frac {\ hbox {apotome}} {\ hbox {limma}}} = {\ frac {3 ^ {7} / 2 ^ {11}} {2 ^ {8} / 3 ^ {5} }} = {\ frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} = {\ frac {531441} {524288}} = 1.0136432647705078125 \!}$

Круг квинт и энгармоническое изменение [ править ]

Пифагорейскую запятую также можно рассматривать как несоответствие между двенадцатью точно настроенными идеальными квинтами (соотношение 3: 2) ( игра ( помощь · информация ) ) и семью октавами (соотношение 2: 1): 

${\displaystyle {\frac {\hbox{twelve fifths}}{\hbox{seven octaves}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

В следующей таблице музыкальных гамм в круге квинт пифагорова запятая видна как небольшой интервал между, например, F ♯ и G ♭ .

Шкалы 6 ♭ и 6 ♯ * не идентичны, хотя они и находятся на клавиатуре фортепиано, но шкалы ♭ на одну пифагоровую запятую ниже. Игнорирование этой разницы приводит к энгармоническому изменению .

* Шкалы 7 ♭ и 5 ♯ , соответственно, 5 ♭ и 7 ♯ отличаются одинаковым образом одной пифагоровой запятой. Весы с семью случайностями используются редко, поскольку шкалы энгармонии с пятью случайностями рассматриваются как эквивалентные.

Этот интервал имеет серьезные последствия для различных схем настройки хроматической гаммы , потому что в западной музыке 12 идеальных квинт и семь октав рассматриваются как один и тот же интервал. Равномерная темперация , которая сегодня является наиболее распространенной системой настройки, используемой на Западе, решила это, сглаживая каждую пятую часть на двенадцатую пифагорейскую запятую (примерно 2 цента), создавая таким образом идеальные октавы.

Другой способ выразить это: только квинта имеет соотношение частот (по сравнению с тоникой) 3: 2 или 1,5 к 1, тогда как седьмой полутон (основанный на 12 равных логарифмических делениях октавы) является седьмой степенью корень двенадцатой степени из двух или 1,4983 ... к 1, что не совсем то же самое (примерно на 0,1%). Возьмите пятую часть в двенадцатую степень, затем вычтите семь октав, и вы получите пифагорейскую запятую (разница примерно 1,4%).

История [ править ]

Первым, кто упомянул пропорцию запятой 531441: 524288, был Евклид , который взял за основу весь тон пифагорейской настройки с соотношением 9: 8, октаву с соотношением 2: 1 и число A = 262144. Он заключает, что увеличение этого числа на шесть полных тонов дает значение G, которое больше, чем значение, полученное при повышении его на октаву (в два раза больше A). Он дает G равным 531441. ^[5] Необходимые вычисления гласят:

Расчет G:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}$

Вычисление двойника A:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}$

Китайские математики знали о Пифагора запятой еще в 122 г. до н.э. (его расчет подробно в Хуайнань-цзы ), и около 50 г. до н.э., Ching Fang обнаружил , что если цикл квинт были продолжены за 12 вплоть до 53, в разница между этим 53-м шагом и начальным шагом будет намного меньше, чем пифагорейская запятая. Этот гораздо меньший интервал позже был назван запятой Меркатора ( см .: История 53 равных темпераментов ).

В лидийской хроматической концепции тональной организации Джорджа Рассела (1953) полушаг между лидийской тоникой и ♭ 2 в его измененных мажорных и вспомогательных уменьшенных блюзовых гаммах теоретически основан на интервале пифагорейской запятой. ^[6]

См. Также [ править ]

• Синтоническая запятая
• Раскол
• Запятая холдриана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]