Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пифагорейская мозаика
Уличные музыканты у дверей , Якоб Охтервельт , 1665. Как заметил Нельсен [1], напольная плитка на этой картине выложена пифагорейской плиткой.

Пифагор облицовочного или два квадрат тесселяция является плиточной из евклидовой плоскости квадратов двух различных размеров, в котором каждый квадрат затрагивает четыре квадрата другого размера на четыре стороны. На нем основаны многие доказательства теоремы Пифагора [2], объясняющие ее название. [1] Обычно используется в качестве рисунка для напольной плитки . Когда он используется для этого, он также известен как образец классики [3] или образец вертушки , [4], но его не следует путать с математической мозаикой вертушки., несвязанный шаблон. [5]

Эта мозаика имеет четырехстороннюю симметрию вращения вокруг каждого квадрата. Когда отношение длин сторон двух квадратов является иррациональным числом, таким как золотое сечение , его поперечные сечения образуют апериодические последовательности с аналогичной рекурсивной структурой слова Фибоначчи . Также изучались обобщения этого разбиения на три измерения.

Топология и симметрия [ править ]

Пифагорова мозаика - это уникальная мозаика квадратами двух разных размеров, которая является как односторонней (у двух квадратов нет общей стороны), так и равнопереходной (каждые два квадрата одинакового размера могут быть сопоставлены друг с другом симметрией мозаики). [6]

Топологически мозаика Пифагора имеет ту же структуру, что и усеченная квадратная мозаика квадратами и правильными восьмиугольниками . [7] Меньшие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с четырьмя большими плитками, как и квадраты в усеченной квадратной мозаике, в то время как большие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с восемью соседями, которые чередуются между большими и маленькими, так же как восьмиугольники в усеченной квадратной мозаике. Однако эти две мозаики имеют разные наборы симметрии, потому что усеченная квадратная мозаика симметрична относительно зеркальных отражений, а мозаика Пифагора - нет. Математически это можно объяснить, сказав, что укороченная квадратная мозаика имеет двугранныйсимметрия вокруг центра каждой плитки, в то время как мозаика Пифагора имеет меньший циклический набор симметрий вокруг соответствующих точек, что придает ей симметрию p4 . [8] Это хиральный узор, что означает, что невозможно наложить его поверх зеркального изображения, используя только сдвиги и повороты.

Равномерное разбиение является черепицей , в которой каждая плитка представляет собой правильный многоугольник , и в котором каждая вершина может быть отображена на любую другую вершину с помощью симметрии черепицы. Обычно однородные мозаики дополнительно требуются для того, чтобы плитки соответствовали друг другу, но если это требование ослаблено, появляется восемь дополнительных однородных мозаик. Четыре образуются из бесконечных полос квадратов или равносторонних треугольников, а три - из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Остающийся - это мозаика Пифагора. [9]

Теорема Пифагора и разрезы [ править ]

Разрез из пяти частей, использованный в доказательствах Аль-Найризи и Табита ибн Курры (слева) и Генри Перигал (справа)

Эта мозаика называется пифагорейской мозаикой, потому что она использовалась в качестве основы для доказательства теоремы Пифагора исламскими математиками девятого века Аль-Найризи и Табитом ибн Куррой , а также британским математиком-любителем XIX века Генри Перигалем . [1] [10] [11] [12] Если стороны двух квадратов, образующих мозаику, - это числа a и b , то ближайшее расстояние между соответствующими точками на конгруэнтных квадратах равно c , где c - длина гипотенузы. о наличии прямоугольного треугольника со сторонамиа и б . [13] Например, на иллюстрации слева два квадрата в пифагорейской мозаике имеют длину стороны 5 и 12 единиц, а длина стороны тайлов в перекрывающей квадратной мозаике равна 13, на основе тройки Пифагора ( 5,12,13).

Наложив квадратную сетку со стороной c на мозаику Пифагора, можно сгенерировать разрезание из пяти частей двух неравных квадратов со сторонами a и b на один квадрат со стороной c , показывая, что два меньших квадрата имеют такая же площадь, как и у большего. Точно так же наложение двух пифагоровых мозаик можно использовать для создания разделения из шести частей двух неравных квадратов на два разных неравных квадрата. [10]

Апериодические сечения [ править ]

Апериодическая последовательность, образованная из мозаик двумя квадратами, длины сторон которых образуют золотое сечение.

Хотя мозаика Пифагора сама по себе является периодической (она имеет квадратную решетку трансляционных симметрий), ее поперечные сечения можно использовать для генерации одномерных апериодических последовательностей. [14]

В «конструкции Клотца» для апериодических последовательностей (Klotz - немецкое слово для обозначения блока) формируется пифагорова мозаика из двух квадратов, размеры которых выбираются так, чтобы соотношение между длинами двух сторон было иррациональным числом  x . Затем выбирается линия, параллельная сторонам квадратов, и формируется последовательность двоичных значений из размеров квадратов, пересекаемых линией: 0 соответствует пересечению большого квадрата, а 1 соответствует пересечению небольшой квадрат. В этой последовательности относительное соотношение нулей и единиц будет в соотношении x : 1. Эта пропорция не может быть достигнута с помощью периодической последовательности нулей и единиц, потому что она иррациональна, поэтому последовательность является апериодической. [14]

Если x выбран в качестве золотого сечения , последовательность нулей и единиц, сгенерированная таким образом, имеет ту же рекурсивную структуру, что и слово Фибоначчи : ее можно разбить на подстроки формы «01» и «0» (то есть не являются двумя последовательными), и если эти две подстроки последовательно заменяются более короткими строками «0» и «1», то получается другая строка с такой же структурой. [14]

Похожие результаты [ править ]

Согласно гипотезе Келлера , любое замощение плоскости равными квадратами должно включать два квадрата, пересекающихся от края до края. [15] Ни один из квадратов в пифагоровом замощении не пересекается от края до края, [6] но этот факт не нарушает гипотезу Келлера, потому что плитки имеют разные размеры, поэтому не все они конгруэнтны друг другу.

Пифагорова мозаика может быть обобщена до трехмерной мозаики евклидова пространства кубами двух разных размеров, которая также является односторонней и равнопереходной. Аттила Бёльчкей называет эту трехмерную мозаику заполнением Роджерса . Он предполагает, что в любом измерении больше трех снова существует уникальный односторонний и равнопереходный способ замощения пространства гиперкубами двух разных размеров. [16]

Бернс и Ригби нашли несколько прототипов , в том числе снежинку Коха , которую можно использовать для мозаики самолета, только используя копии прототипа двух или более разных размеров. [17] В более ранней статье Данцера, Грюнбаума и Шепарда приводится другой пример - выпуклый пятиугольник, который покрывает плоскость плиткой только в сочетании двух размеров. [18] Хотя в пифагорейской мозаике используются квадраты двух разных размеров, квадрат не обладает тем же свойством, что и эти прототипы, - мозаикой только по сходству, потому что также можно мозаить плоскость, используя только квадраты одного размера.

Заявление [ править ]

Раннее структурное применение пифагорейской плитки появилось в работах Леонардо да Винчи , который рассматривал ее среди нескольких других потенциальных образцов для перекрытий перекрытий . [19] Эта плитка также долгое время использовалась в декоративных целях для напольной плитки или других подобных узоров, как, например, можно увидеть на картине Якоба Охтервельта « Уличные музыканты у дверей» (1665). [1] Было высказано предположение, что видение подобной плитки во дворце Поликрата могло дать Пифагору первоначальное вдохновение для его теоремы. [13]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б с д Нельсен, Роджер Б. (ноябрь 2003 г.), "Картины, плоские тайлинги, и доказательства" (PDF) , Математика горизонты , 11 (2): 5-8, DOI : 10,1080 / 10724117.2003.12021741 , S2CID  126000048. Перепечатано в Haunsperger, Deanna; Кеннеди, Стивен (2007), Край Вселенной: Празднование десяти лет математических горизонтов , Серия Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 295–298, ISBN 978-0-88385-555-3. См. Также Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , Математические изложения Дольчиани, 42 , Математическая ассоциация Америки, стр. 168–169, ISBN 978-0-88385-348-1.
  2. ↑ Уэллс, Дэвид (1991), «Тесселяция двух квадратов», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Нью-Йорк: Penguin Books, стр.  260–261 , ISBN 0-14-011813-6.
  3. ^ "How to Install Hopscotch Pattern Tiles" , Home Guides, San Francisco Chronicle , извлечено 12 декабря 2016 г..
  4. ^ Редакторы Fine Homebuilding (2013), Ремонт ванной комнаты , Taunton Press, стр. 45, ISBN 978-1-62710-078-6CS1 maint: extra text: authors list (link). Принципиальная схема, иллюстрирующая этот узор напольной плитки, представлена ​​ранее на стр. 42.
  5. ^ Радин, C. (1994), "вертушки разбиения плоскости", Анналы математики , 139 (3): 661-702, DOI : 10,2307 / 2118575 , JSTOR 2118575 
  6. ^ а б Мартини, Хорст; Макай, Эндре; Солтан, Валериу (1998), "Односторонние мозаики плоскости квадратами трех размеров" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 39 (2): 481–495, MR 1642720 .
  7. ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987), Плитки и узоры , WH Freeman, стр. 171.
  8. ^ Грюнбаум и Шепард (1987) , стр. 42.
  9. ↑ Grünbaum & Shephard (1987) , стр. 73–74.
  10. ^ a b Фредериксон, Грег Н. (1997), Dissections: Plane & Fancy , Cambridge University Press, стр. 30–31.
  11. ^ Aguiló, Francesc; Фиол, Микель Анхель; Фиоль, Мария Lluï (2000), "Периодические тайлинги как методы рассечения", Американский математический в месяц , 107 (4): 341-352, DOI : 10,2307 / 2589179 , JSTOR 2589179 , МР 1763064  .
  12. ^ Грюнбаум и Шепард (1987) , стр. 94.
  13. ^ a b Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), «Фалес и Пифагор», Геометрия по ее истории , Тексты для студентов по математике, Springer, стр. 3–26, DOI : 10.1007 / 978-3-642-29163-0_1. См., В частности, стр. 15–16 .
  14. ^ a b c Steurer, Уолтер; Deloudi, София (2009), "3.5.3.7 Klotz строительство", кристаллографии квазикристаллов: концепции, методы и структуры , Springer серии в области материаловедения, 126 , Springer, С. 91-92,. DOI : 10.1007 / 978-3- 642-01899-2 , ISBN 978-3-642-01898-5.
  15. ^ Истинность его гипотезы для двумерных мозаик была известна уже Келлеру, но с тех пор она оказалась ложной для размерностей восемь и выше. Недавний обзор результатов, связанных с этой гипотезой, см. В Zong, Chuanming (2005), «Что известно об единичных кубах», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 42 (2): 181–211, doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01050-5 , Руководство по ремонту 2133310 .
  16. ^ Bölcskei, Аттила (2001), "Заполнение пространства с кубиками двух размеров", Publicationes Mathematicae Дебрецен , 59 (3-4): 317-326, МР 1874434 . См. Также Доусон (1984) , который включает иллюстрацию трехмерной мозаики, приписываемой «Роджерсу», но цитируемой в статье Ричарда К. Гая 1960 года : Доусон, RJM (1984), «О заполнении пространства различными целочисленными кубами. », Журнал комбинаторной теории, Series A , 36 (2): 221-229, DOI : 10,1016 / 0097-3165 (84) 90007-4 , МР 0734979 .
  17. ^ Бернс, Эйдан (1994), "78.13" фрактальные тайлинги, Математический вестник , 78 (482): 193-196, DOI : 10,2307 / 3618577 , JSTOR 3618577 . Rigby, Джон (1995), "79,51 Черепица плоскости с аналогичными многоугольниками двух размеров", Математический вестник , 79 (486): 560-561, DOI : 10,2307 / 3618091 , JSTOR 3618091 .
  18. ^ Рисунок 3 Данцера, Людвига; Грюнбаум, Бранко ; Шеппард, GC (1982), "Нерешенные проблемы: Может все плитки тайлинга Have пятикратное Symmetry?", Американский Математический Месячный , 89 (8): 568-570 + 583-585, DOI : 10,2307 / 2320829 , JSTOR 2320829 , Руководство по ремонту 1540019  .
  19. ^ Санчес, Хосе; Escrig, Феликс (декабрь 2011), "Рамка , разработанные Леонардо с короткими частями: аналитический подход", Международный журнал космических конструкций , 26 (4): 289-302, DOI : 10,1260 / 0266-3511.26.4.289 , S2CID 108639647 .