Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Квадратуры луны )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Луна Гиппократа - это верхняя левая заштрихованная область. Его площадь такая же, как у нижнего правого заштрихованного треугольника.

В геометрии , то луночка Гиппократ , названном в честь Гиппократ Хиоса , является луночкой ограниченной дугами двух окружностей, меньшими из которых имеют в качестве своего диаметра аккорд , охватывающего правого угол на большую окружность. Эквивалентно, это невыпуклая плоская область, ограниченная одной дугой окружности 180 градусов и одной дугой окружности 90 градусов. Это была первая изогнутая фигура, точная площадь которой рассчитана математически. [1]

История [ править ]

Гиппократ хотел решить классическую проблему квадрата круга , то есть построить квадрат с помощью линейки и циркуля , имеющий ту же площадь, что и данный круг . [2] [3] Он доказал, что лунка, ограниченная дугами, обозначенными E и F на рисунке, имеет ту же площадь, что и треугольник  ABO . Это давало некоторую надежду решить проблему квадрата окружности, поскольку луна ограничена только дугами окружностей. Хит заключает, что, доказывая свой результат, Гиппократ был также первым, кто доказал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. [2]

Гиппократа книга по геометрии , в которой этот результат кажется, элементы , было потеряно, но может быть сформирована модель для Euclid «s элементов . [3] Гиппократа доказательство было сохранено через истории геометрии , составленный Евдем Родосский , который также не выжила, но была взята на Simplicius Киликии в своем комментарии к Аристотелю «s физики . [2] [4]

Лишь в 1882 году, когда Фердинанд фон Линдеман доказал трансцендентность числа π , возведение круга в квадрат оказалось невозможным. [5]

Доказательство [ править ]

Результат Гиппократа можно доказать следующим образом: центр окружности, на которой лежит дуга AEB, - это точка D , которая является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника ABO . Следовательно, диаметр AC большей окружности ABC в √ 2 раза больше диаметра меньшей окружности, на которой проходит дуга AEB.ложь. Следовательно, меньший круг имеет половину площади большего круга, и, следовательно, четверть круга AFBOA равна площади полукруга AEBDA. Вычитание области AFBDA в форме полумесяца из четверти круга дает треугольник ABO, а вычитание такого же серпа из полукруга дает лунку. Поскольку треугольник и лунка образованы путем вычитания равных площадей из равной площади, они сами равны по площади. [2] [6]

Обобщения [ править ]

Луны Альхазена. Две синие лунки вместе имеют ту же площадь, что и зеленый прямоугольный треугольник.

Используя доказательство, аналогичное приведенному выше, арабский математик Хасан Ибн аль-Хайтам (латинизированное имя Альхазен , ок. 965 - ок. 1040) показал, что две лунки, образованные на двух сторонах прямоугольного треугольника , внешние границы которого представляют собой полукруги. и чьи внутренние границы образованы описанной окружностью треугольника, тогда площади этих двух лунок, сложенных вместе, равны площади треугольника. Луны, образованные таким образом из прямоугольного треугольника, известны как лунки Альхазена . [7] [8] Квадратура луны Гиппократа является частным случаем этого результата для равнобедренного прямоугольного треугольника . [9]

В середине 20 века два русских математика, Николай Чеботарев и его ученик Анатолий Дороднов, полностью классифицировали лунки, которые можно построить с помощью циркуля и линейки и которые имеют площадь, равную площади данного квадрата. Все такие лунки могут быть определены двумя углами, образованными внутренней и внешней дугами на их соответствующих кругах; в этом обозначении, например, луна Гиппократа будет иметь внутренний и внешний углы (90 °, 180 °). Гиппократ обнаружил две другие прямоугольные вогнутые лунки с углами приблизительно (107,2 °, 160,9 °) и (68,5 °, 205,6 °). Еще две прямоугольные вогнутые луны с углами приблизительно (46,9 °, 234,4 °) и (100,8 °, 168,0 °) были обнаружены в 1766 году Мартином Йоханом Валлениусом  [ ru ] и снова в 1840 году.Томас Клаузен . Как показали Чеботарев и Дороднов, эти пять пар углов дают единственные конструктивные сглаженные лунки; в частности, не существует конструктивных сжимаемых выпуклых лунок. [1] [8]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б Постников М.М. (2000), "Проблема квадрируемых двуугольников", American Mathematical Monthly , 107 (7): 645-651, DOI : 10,2307 / 2589121 , JSTOR  2589121. Перевод русской книги Постникова 1963 года по теории Галуа .
  2. ^ a b c d Хит, Томас Л. (2003), Руководство по греческой математике , Courier Dover Publications, стр. 121–132, ISBN 0-486-43231-9.
  3. ^ Б «Гиппократ Хиоса» , энциклопедический словарь Брокгауза , 2012 , извлекаться 2012-01-12.
  4. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Гиппократ Хиосский» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
  5. Перейти ↑ Jacobs, Konrad (1992), «2.1 Squaring the Circle», Invitation to Mathematics , Princeton University Press, pp. 11–13, ISBN 978-0-691-02528-5.
  6. ^ Бунт, Лукас Николаса Хендрик; Джонс, Филип С .; Бедиент, Джек Д. (1988), «4-2 Гиппократ Хиосский и квадратура луночек», Исторические корни элементарной математики , Courier Dover Publications, стр. 90–91, ISBN 0-486-25563-8.
  7. ↑ Hippocrates 'Squaring of the Lune at- cut-the knot , доступ 2012-01-12.
  8. ^ а б Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), «9.1 Squarable lunes», Очаровательные доказательства: Путешествие в элегантную математику , математические изложения Дольчиани, 42 , Математическая ассоциация Америки, стр. 137–144, ISBN 978-0-88385-348-1.
  9. ^ Anglin, WS (1994), "Гиппократ и луночек", Математика, История Сжатый и философия , М., стр. 51-53, ISBN 0-387-94280-7.