Двухуровневая система - это система с двумя возможными уровнями энергии. Эти два уровня являются основным состоянием с более низкой энергией и возбужденным состоянием с более высокой энергией. Если уровни энергии не вырождены (т.е. не имеют равных энергий), система может поглотить квант энергии и перейти из основного состояния в «возбужденное» состояние. Когда атом (или какая-либо другая двухуровневая система ) освещается когерентным пучком фотонов , он циклически поглощает фотоны и переизлучает их с помощью вынужденного излучения . Один такой цикл называется циклом Раби, а обратная его длительности - частотой Раби пучка фотонов. Эффект можно смоделировать с помощьюМодель Джейнса – Каммингса и векторный формализм Блоха .
Подробное математическое описание эффекта можно найти на странице задачи Раби . Например, для атома с двумя состояниями (атом, в котором электрон может находиться либо в возбужденном, либо в основном состоянии) в электромагнитном поле с частотой, настроенной на энергию возбуждения, находится вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии из уравнений Блоха быть:
,
где - частота Раби.
В более общем плане можно рассматривать систему, в которой два рассматриваемых уровня не являются собственными состояниями энергии . Следовательно, если система инициализируется на одном из этих уровней, временная эволюция заставит населенность каждого из уровней колебаться с некоторой характеристической частотой, угловая частота которой [1] также известна как частота Раби. Состояние квантовой системы с двумя состояниями может быть представлено как векторы двумерного комплексного гильбертова пространства , что означает, что каждый вектор состояния представлен хорошими комплексными координатами.
Как подготовить колебательный эксперимент в квантовой системе [ править ]
Осцилляционный эксперимент можно построить, выполнив следующие шаги: [3]
Подготовить систему в фиксированном состоянии; Например,
Пусть состояние свободно эволюционирует под действием гамильтониана H за время t
Найти вероятность P (t) того, что состояние находится в
Если - собственное состояние H, P (t) = 1 и колебаний не будет. Также, если два состояния и являются вырожденными, каждое состояние, включая их, является собственным состоянием H. В результате не будет колебаний.
С другой стороны, если H не имеет вырожденных собственных состояний и начальное состояние не является собственным состоянием, тогда будут колебания. Дается наиболее общий вид гамильтониана системы с двумя состояниями.
здесь и являются действительными числами. Эта матрица может быть разложена как,
Матрица - это единичная матрица 2 2, а матрицы - это матрицы Паули . Это разложение упрощает анализ системы, особенно в случае, когда значения и являются константами, не зависящими от времени . Рассмотрим случай частицы со спином 1/2 в магнитном поле . Гамильтониан взаимодействия для этой системы равен
, ,
где - величина магнитного момента частицы , - гиромагнитное отношение и - вектор матриц Паули . Здесь собственные состояния гамильтониана являются собственными состояниями , то есть и с соответствующими собственными значениями . Вероятность того, что система в состоянии может быть найдена в произвольном состоянии, равна .
Пусть система будет подготовлена в определенное время . Обратите внимание, что это собственное состояние :
.
Здесь гамильтониан не зависит от времени. Таким образом, решая стационарное уравнение Шредингера, состояние после времени t определяется выражением с полной энергией системы . Таким образом, состояние после времени t определяется выражением:
.
Теперь предположим, что вращение измеряется в направлении x в момент времени t. Вероятность обнаружения раскрутки определяется по формуле:
где - характерная угловая частота, определяемая как , где предполагалось, что . [4] Таким образом, в этом случае вероятность обнаружения вращения в направлении x колеблется во времени, когда система изначально вращается в этом направлении. Точно так же, если мы измеряем спин в -направлении, вероятность измерения спина как для системы равна . В вырожденном случае , когда характеристическая частота равна 0 и колебания отсутствуют.
Обратите внимание, что если система находится в собственном состоянии данного гамильтониана , система остается в этом состоянии.
Это верно даже для гамильтонианов, зависящих от времени. Взять, к примеру ; если начальное состояние спина системы равно , то вероятность того, что измерение спина в направлении y приведет к моменту времени, равна . [5]
Пример колебания Раби между двумя состояниями в ионизированной молекуле водорода.
Ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов и и одного электрона. Два протона из-за их больших масс можно считать фиксированными. Назовем R-расстояние между ними и и состояний , где электрон локализуется вокруг или . Предположим, что в определенный момент электрон локализован около протона . Согласно результатам предыдущего раздела мы знаем, что он будет колебаться между двумя протонами с частотой, равной частоте Бора, связанной с двумя стационарными состояниями и молекулой.
Это колебание электрона между двумя состояниями соответствует колебанию среднего значения электрического дипольного момента молекулы. Таким образом, когда молекула не находится в стационарном состоянии, может возникнуть осциллирующий электрический дипольный момент. Такой колеблющийся дипольный момент может обмениваться энергией с электромагнитной волной той же частоты. Следовательно, эта частота должна присутствовать в спектре поглощения и излучения ионизированной молекулы водорода.
Вывод формулы Раби в непертурбативной процедуре с помощью матриц Паули [ править ]
Рассмотрим гамильтониан вида
Собственные значения этой матрицы имеют вид
а также
,
где и , так что можем взять .
Теперь собственные векторы для могут быть найдены из уравнения
.
Так
.
Применяя условие нормировки на собственные векторы, . Так
.
Пусть и . Итак .
Итак, получаем . То есть . Взяв произвольный фазовый угол , мы можем написать . Аналогично .
Таким образом, собственный вектор для собственного значения определяется выражением
.
Поскольку общая фаза несущественна, мы можем написать
.
Аналогично, собственный вектор для собственной энергии
есть .
Из этих двух уравнений мы можем написать
и .
Предположим, что система запускается в состоянии в момент времени ; это,
.
По прошествии времени t состояние эволюционирует как
.
Если система находится в одном из собственных состояний или , она останется в том же состоянии. Однако для общего начального состояния, как показано выше, эволюция во времени нетривиальна.
Амплитуда вероятности нахождения системы в момент времени t в состоянии определяется выражением .
Теперь вероятность того, что система в состоянии окажется в произвольном состоянии
дан кем-то
Это можно упростить до
......... (1).
Это показывает, что существует конечная вероятность нахождения системы в состоянии, когда система изначально находится в этом состоянии . Вероятность колеблется с угловой частотой , которая является просто уникальной частотой Бора системы и также называется частотой Раби . Формула (1) известна как формула Раби . Теперь по прошествии времени t вероятность того, что система находится в состоянии , определяется выражением , которое также является колебательным.
Эти типы колебаний двухуровневых систем называются колебаниями Раби, которые возникают во многих задачах, таких как колебания нейтрино , ионизированная молекула водорода , квантовые вычисления , мазер аммиака и т. Д.
Осцилляция Раби в квантовых вычислениях [ править ]
Любую квантовую систему с двумя состояниями можно использовать для моделирования кубита . Рассмотрим спин - системы с магнитным моментом , помещенной в классическом магнитном поле . Позвольте быть гиромагнитным отношением для системы. Магнитный момент таков . Гамильтониан этой системы тогда определяется как где и . Собственные значения и собственные векторы этого гамильтониана можно найти с помощью вышеупомянутой процедуры. Теперь позвольте кубиту быть в состоянии во время . Тогда в какой-то момент вероятность того, что он будет найден в состоянии , определяется как где. Это явление называется колебанием Раби. Таким образом, кубит колеблется между и состояниями. Максимальная амплитуда колебаний достигается при , что является условием резонанса . В резонансе вероятность перехода равна . Для перехода из состояния в состояние достаточно настроить время, в течение которого вращающееся поле действует так, чтобы или . Это называется пульсом. Если выбрать промежуточное время между 0 и , мы получим суперпозицию и . В частности , у нас есть импульс, который действует как:. Эта операция имеет решающее значение в квантовых вычислениях. Уравнения по существу идентичны в случае двухуровневого атома в поле лазера, когда используется обычно хорошо удовлетворяемое приближение вращающейся волны. Тогда это разность энергий между двумя атомными уровнями, является частота лазерной волны и частоты Раби пропорциональна произведению переходного электрического дипольного момента атома и электрического поля лазерной волны , которая является . Таким образом, осцилляции Раби - это основной процесс, используемый для управления кубитами. Эти колебания получаются путем воздействия на кубиты периодических электрических или магнитных полей в течение подходящих временных интервалов. [6]
См. Также [ править ]
Атомная когерентность
Сфера Блоха
Лазерная накачка
Оптическая накачка
Проблема раби
Вакуумные колебания Раби
Колебания нейтральной частицы
Ссылки [ править ]
^ Энциклопедия лазерной физики и техники - осцилляции Раби, частота Раби, вынужденное излучение
^ Гриффитс, Дэвид (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). п. 341 .
^ Sourendu Гупта (27 августа 2013). «Физика систем с двумя состояниями» (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата.
^ Гриффитс, Дэвид (2012). Введение в квантовую механику (2-е изд.) С. 191.
^ Гриффитс, Дэвид (2012). Введение в квантовую механику (2-е изд.) С. 196 ISBN 978-8177582307
^ Краткое введение в квантовую информацию и квантовые вычисления Мишеля Ле Беллака, ISBN 978-0521860567
Квантовая механика, том 1, К. Коэн-Таннуджи, Бернард Диу, Фрэнк Лало, ISBN 9780471164333
Краткое введение в квантовую информацию и квантовые вычисления Мишеля Ле Беллака, ISBN 978-0521860567
Лекции Фейнмана по физике Том 3, Ричард П. Фейнман и РБ Лейтон, ISBN 978-8185015842
Современный подход к квантовой механике Джона С. Таунсенда, ISBN 9788130913148
Внешние ссылки [ править ]
Java-апплет, который визуализирует циклы Раби систем с двумя состояниями (управляемыми лазером)
расширенная версия апплета. Включает электрон-фононное взаимодействие