В математике модуль Галуа — это G - модуль , где G — группа Галуа некоторого расширения полей . Термин представление Галуа часто используется, когда G - модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений , но также может использоваться как синоним для G - модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповых когомологийявляется важным инструментом в теории чисел .
Пусть K — нормированное поле (с нормированием, обозначенным v ), и пусть L / K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G . Для расширения w группы v на L обозначим через I w ее группу инерции . Модуль Галуа ρ : G → Aut( V ) называется неразветвленным , если ρ( I w ) = {1}.
В классической алгебраической теории чисел пусть L — расширение Галуа поля K , а G — соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо O L целых алгебраических чисел L можно рассматривать как O K [ G ] -модуль, и можно спросить, какова его структура. Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L является свободным K [ G ]-модулем ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, это эквивалентно существованию нормального целочисленного базиса, т . е. α в OL такой, что его элементы, сопряженные относительно G , дают свободный базис для OL над O K . Это интересный вопрос даже (возможно, особенно), когда K — поле рациональных чисел Q .
Например, если L = Q ( √ −3 ), существует ли нормальный интегральный базис? Ответ положительный, как можно увидеть, отождествив его с Q ( ζ ), где
На самом деле все подполя круговых полей для p -го корня из единицы для p простого числа имеют нормальные целочисленные базисы (над Z ), как можно вывести из теории гауссовских периодов ( теорема Гильберта-Шпайзера ). С другой стороны, гауссово поле — нет. Это пример необходимого условия, найденного Эмми Нётер ( возможно, известного ранее? ). Здесь важно ручное разветвление . С точки зрения дискриминанта D группы L, и принимая все еще K = Q , ни одно простое число p не должно делить D в степени p . Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того , чтобы OL был проективным модулем над Z [ G ]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы он был свободным модулем. Остается вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого сейчас построена большая теория.
Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта , состоит в том, что ручно разветвленное поле абелевых чисел имеет нормальный целочисленный базис. Это можно увидеть, используя теорему Кронекера-Вебера для встраивания абелева поля в круговое поле. [1]