1 22 | Ректифицированный 1 22 | Двунаправленный 1 22 |
2 21 | Ректифицированный 2 21 | |
ортогональные проекции в плоскости Кокстера E 6 |
---|
В 6-мерной геометрии , то - 22 многогранник является однородным многогранник , построенное из Й 6 группы. Впервые он был опубликован в списке полуправильных многогранников EL Elte за 1912 год, названном V 72 (из-за 72 вершин). [1]
Его символ Кокстера - 1 22 , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности с 1 узлом. Есть два исправления 1 22 , построенные путем позиционирования точек на элементах 1 22 . Выпрямляются 1 22 построены по точкам в середине краях - 22 . Birectified 1 22 строится по точкам на треугольник лицевых центров 1 22 .
Эти многогранники принадлежат к семейству из 39 выпуклых однородных многогранников в шести измерениях , состоящих из граней однородных многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.
1_22 многогранник
1 22 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Семья | 1 многогранник k2 |
Символ Шлефли | {3,3 2,2 } |
Символ Кокстера | 1 22 |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 54: 27 1 21 27 1 21 |
4-гранный | 702: 270 1 11 432 1 20 |
Клетки | 2160: 1080 1 10 1080 {3,3} |
Лица | 2160 {3} |
Края | 720 |
Вершины | 72 |
Фигура вершины | Биректифицированный 5-симплекс : 0 22 |
Многоугольник Петри | Додекагон |
Группа Кокстера | E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680 |
Характеристики | выпуклый , изотопный |
Многогранник 1_22 содержит 72 вершины и 54 5-полукубических грани. Он имеет двунаправленную 5-симплексную вершинную фигуру . Его 72 вершины представляют собой корневые векторы простой группы Ли E 6 .
Альтернативные имена
- Пентаконтатетра-петон (Акроним Мо) - 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс) [2]
Изображений
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | |
---|---|---|---|
(1,2) | (1,3) | (1,9,12) | |
B6 [12/2] | A5 [6] | A4 [[5]] = [10] | A3 / D3 [4] |
(1,2) | (2,3,6) | (1,2) | (1,6,8,12) |
Строительство
Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 6 гиперплоскостных зеркал в 6-мерном пространстве.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.
Удаление узла на любой из двух ветвей длины оставляет 5-полукуб , 1 31 ,.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает двунаправленный 5-симплекс , 0 22 ,.
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . [3]
E 6 | к-лицо | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | k -фигура | заметки | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 5 | () | f 0 | 72 | 20 | 90 | 60 | 60 | 15 | 15 | 30 | 6 | 6 | г {3,3,3} | E 6 / A 5 = 72 * 6! / 6! = 72 | |
А 2 А 2 А 1 | {} | f 1 | 2 | 720 | 9 | 9 | 9 | 3 | 3 | 9 | 3 | 3 | {3} × {3} | E 6 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720 | |
А 2 А 1 А 1 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 2160 | 2 | 2 | 1 | 1 | 4 | 2 | 2 | с {2,4} | E 6 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160 | |
А 3 А 1 | {3,3} | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 1080 | * | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 | {} ∨ () | E 6 / A 3 A 1 = 72 * 6! / 4! / 2 = 1080 | |
4 | 6 | 4 | * | 1080 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | ||||||
А 4 А 1 | {3,3,3} | ж 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 0 | 216 | * | * | 2 | 0 | {} | E 6 / A 4 A 1 = 72 * 6! / 5! / 2 = 216 | |
5 | 10 | 10 | 0 | 5 | * | 216 | * | 0 | 2 | ||||||
D 4 | ч {4,3,3} | 8 | 24 | 32 | 8 | 8 | * | * | 270 | 1 | 1 | E 6 / D 4 = 72 * 6! / 8/4! = 270 | |||
D 5 | ч {4,3,3,3} | ж 5 | 16 | 80 | 160 | 80 | 40 | 16 | 0 | 10 | 27 | * | () | E 6 / D 5 = 72 * 6! / 16/5! = 27 | |
16 | 80 | 160 | 40 | 80 | 0 | 16 | 10 | * | 27 |
Связанный сложный многогранник
Регулярный комплекс многогранник 3 {3} 3 {4} 2 ,, в имеет вещественное представление как многогранник 1 22 в 4-мерном пространстве. Он имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений является 3 [3] 3 [4] 2 , заказ 1296. Он имеет половину симметрии квазирегулярное конструкцию , как, Как ректификации из гессенского многогранника ,. [4]
Связанные многогранники и соты
Наряду с полуправильным многогранником 2 21 , он также является одним из семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве, состоящих из граней однородного многогранника и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.
1 k2 фигур в размерах n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Кокстера | Е 3 = А 2 А 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия (порядок) | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [[3 2,2,1 ]] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 1,920 | 103 680 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | 1 −1,2 | 1 02 | 1 12 | 1 22 | 1 32 | 1 42 | 1 52 | 1 62 |
Геометрическое складывание
1 22 связана с 24-клетки с помощью геометрической складывания Е6 → F4 из диаграмм Кокстера-Дынкина , E6 , соответствующей 1 22 в 6 размеров, F4 на 24-ячейки в 4 -х измерениях. Это видно в проекциях на плоскость Кокстера . 24 вершины 24-ячейки проецируются в те же два кольца, что и на рисунке 1 22 .
Самолеты Кокстера E6 / F4 | |
---|---|
1 22 | 24-элементный |
Самолеты Кокстера D4 / B4 | |
1 22 | 24-элементный |
Мозаики
Этот многогранник является фигурой вершины для однородной мозаики 6-мерного пространства, 2 22 ,.
Выпрямленный многогранник 1_22
Ректифицированный 1 22 | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Символ Шлефли | 2r {3,3,3 2,1 } r {3,3 2,2 } |
Символ Кокстера | 0 221 |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 126 |
4-гранный | 1566 |
Клетки | 6480 |
Лица | 6480 |
Края | 6480 |
Вершины | 720 |
Фигура вершины | 3-3 дуопризменная призма |
Многоугольник Петри | Додекагон |
Группа Кокстера | E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680 |
Характеристики | выпуклый |
Выпрямляется 1 22 многогранник (также называемый 0 221 ) может Tessellate 6-мерное пространство в качестве ячейки Вороного в E6 * сотовой решетки (двойной Е6 решетки). [5]
Альтернативные имена
- Двиректифицированный многогранник 2 21
- Ректифицированный пентаконтатетрапетон (аббревиатура Ram ) - ректифицированный 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс) [6]
Изображений
Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Строительство
Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник:.
Удаление кольца на короткой ветке оставляет биректифицированный 5-симплекс ,.
Удаление кольца на любой из двух ветвей длины оставляет двупреломляющий 5-ортоплекс в его альтернированной форме: t 2 (2 11 ) ,.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звона соседнего кольца. Это делает призму дуопризмы 3–3 , {3} × {3} × {},.
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . [7] [8]
E 6 | к-лицо | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | k -фигура | заметки | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 2 А 2 А 1 | () | f 0 | 720 | 18 | 18 | 18 | 9 | 6 | 18 | 9 | 6 | 9 | 6 | 3 | 6 | 9 | 3 | 2 | 3 | 3 | {3} × {3} × {} | E 6 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720 | |
А 1 А 1 А 1 | {} | f 1 | 2 | 6480 | 2 | 2 | 1 | 1 | 4 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 4 | 1 | 1 | 2 | 2 | {} ∨ {} ∨ () | E 6 / A 1 A 1 A 1 = 72 * 6! / 2/2/2 = 6480 | |
А 2 А 1 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 4320 | * | * | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 | Клиновидная | E 6 / A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2 = 4320 | |
3 | 3 | * | 4320 | * | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | ||||||
А 2 А 1 А 1 | 3 | 3 | * | * | 2160 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 4 | 1 | 0 | 2 | 2 | {} ∨ {} | E 6 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160 | |||
А 2 А 1 | {3,3} | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 0 | 0 | 1080 | * | * | * | * | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | {} ∨ () | E 6 / A 2 A 1 = 72 * 6! / 3! / 2 = 1080 | |
А 3 | г {3,3} | 6 | 12 | 4 | 4 | 0 | * | 2160 | * | * | * | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | {3} | E 6 / A 3 = 72 * 6! / 4! = 2160 | ||
А 3 А 1 | 6 | 12 | 4 | 0 | 4 | * | * | 1080 | * | * | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 | {} ∨ () | E 6 / A 3 A 1 = 72 * 6! / 4! / 2 = 1080 | |||
{3,3} | 4 | 6 | 0 | 4 | 0 | * | * | * | 1080 | * | 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 | |||||
г {3,3} | 6 | 12 | 0 | 4 | 4 | * | * | * | * | 1080 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | |||||
А 4 | г {3,3,3} | ж 4 | 10 | 30 | 20 | 10 | 0 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 432 | * | * | * | * | 1 | 1 | 0 | {} | E 6 / A 4 = 72 * 6! / 5! = 432 | |
А 4 А 1 | 10 | 30 | 20 | 0 | 10 | 5 | 0 | 5 | 0 | 0 | * | 216 | * | * | * | 0 | 2 | 0 | E 6 / A 4 A 1 = 72 * 6! / 5! / 2 = 216 | ||||
А 4 | 10 | 30 | 10 | 20 | 0 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | * | * | 432 | * | * | 1 | 0 | 1 | E 6 / A 4 = 72 * 6! / 5! = 432 | ||||
D 4 | ч {4,3,3} | 24 | 96 | 32 | 32 | 32 | 0 | 8 | 8 | 0 | 8 | * | * | * | 270 | * | 0 | 1 | 1 | E 6 / D 4 = 72 * 6! / 8/4! = 270 | |||
А 4 А 1 | г {3,3,3} | 10 | 30 | 0 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 | 5 | 5 | * | * | * | * | 216 | 0 | 0 | 2 | E 6 / A 4 A 1 = 72 * 6! / 5! / 2 = 216 | |||
А 5 | 2r {3,3,3,3} | ж 5 | 20 | 90 | 60 | 60 | 0 | 15 | 30 | 0 | 15 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 0 | 72 | * | * | () | E 6 / A 5 = 72 * 6! / 6! = 72 | |
D 5 | rh {4,3,3,3} | 80 | 480 | 320 | 160 | 160 | 80 | 80 | 80 | 0 | 40 | 16 | 16 | 0 | 10 | 0 | * | 27 | * | E 6 / D 5 = 72 * 6! / 16/5! = 27 | |||
80 | 480 | 160 | 320 | 160 | 0 | 80 | 40 | 80 | 80 | 0 | 0 | 16 | 10 | 16 | * | * | 27 |
Усеченный многогранник 1_22
Усеченный 1 22 | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Символ Шлефли | т {3,3 2,2 } |
Символ Кокстера | т (1 22 ) |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 72 + 27 + 27 |
4-гранный | 32 + 216 + 432 + 270 + 216 |
Клетки | 1080 + 2160 + 1080 + 1080 + 1080 |
Лица | 4320 + 4320 + 2160 |
Края | 6480 + 720 |
Вершины | 1440 |
Фигура вершины | () v {3} x {3} |
Многоугольник Петри | Додекагон |
Группа Кокстера | E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680 |
Характеристики | выпуклый |
Альтернативные имена
- Усеченный 1 22 многогранник
Строительство
Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник:.
Изображений
Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Двунаправленный многогранник 1_22
Двунаправленный 1 22 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Символ Шлефли | 2r {3,3 2,2 } |
Символ Кокстера | 2р (1 22 ) |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 126 |
4-гранный | 2286 |
Клетки | 10800 |
Лица | 19440 |
Края | 12960 |
Вершины | 2160 |
Фигура вершины | |
Группа Кокстера | E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680 |
Характеристики | выпуклый |
Альтернативные имена
- Двустворчатые 2 21
- Биректифицированный пентаконтитетрапетон (барм) (Джонатан Бауэрс) [9]
Изображений
Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Триректифицированный многогранник 1_22
Триректифицированный 1 22 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Символ Шлефли | 3r {3,3 2,2 } |
Символ Кокстера | 3р (1 22 ) |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 558 |
4-гранный | 4608 |
Клетки | 8640 |
Лица | 6480 |
Края | 2160 |
Вершины | 270 |
Фигура вершины | |
Группа Кокстера | E 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680 |
Характеристики | выпуклый |
Альтернативные имена
- Треугольник 2 21
- Триректифицированный пентаконтитетрапетон (трим или какам) (Джонатан Бауэрс) [10]
Смотрите также
- Список многогранников E6
Заметки
- ^ Elte, 1912
- ^ Клитцинг, (o3o3o3o3o * c3x - mo )
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсета в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
- ^ Кокстер, HSM, Регулярные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991). стр.30 и стр.47
- ^ Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 * , Эдвард Первин
- ^ Клитцинг, (o3o3x3o3o * c3o - баран )
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсета в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
- ^ Клитцинг, Ричард. «6D выпуклая однородная полипета o3o3x3o3o * c3o - таран» .
- ^ Клитцинг (o3x3o3x3o * c3o - закваска )
- ^ Клитцинг, (x3o3o3o3x * c3o - cacam
Рекомендации
- Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные труды HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] См. Стр. 334 (рисунок 3.6a) Питера МакМаллена: (12-угольный граф узлов и ребер из 1 22 )
- Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . o3o3o3o3o * c3x - mo, o3o3x3o3o * c3o - баран, o3x3o3x3o * c3o - barm
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный полихорон | Пентахорон | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |