Комптоновская длина волны

Длина волны Комптона является квантово - механическое свойство частицы . Комптоновская длина волны частицы равна длине волны фотона, энергия которого равна массе этой частицы (см. Эквивалентность массы и энергии ). Он был введен Артур Комптон в своем объяснении рассеяния фотонов с помощью электронов (процесс , известный как комптоновского рассеяния ).

Стандартная комптоновская длина волны $λ$ частицы определяется выражением

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {mc}} \}

в то время как его частота дается,

{\ displaystyle f = {\ frac {mc ^ {2}} {h}}}

где $h$ - постоянная Планка , $m$ - масса покоя частицы , $c$ - скорость света . Значение этой формулы показано при выводе формулы комптоновского сдвига .

Значение CODATA 2018 для комптоновской длины волны электрона равно $2.426 31023867 (73) \times 10 -12 м$ . ^[1] Другие частицы имеют другую комптоновскую длину волны.

Уменьшенная длина волны Комптона [ править ]

Когда длина волны Комптона делится на $2 π$ , получается «уменьшенная» длина волны Комптона $ƛ$ ( лямбда с $перемычкой$ ), то есть длина волны Комптона для $1$ радиана вместо $2 π$ радиан:

ƛ = λ / 2 π знак равно час / MC,

где $ħ$ - «приведенная» постоянная Планка .

Роль в уравнениях для массивных частиц [ править ]

Обратная уменьшенная длина волны Комптона является естественным представлением массы в квантовом масштабе и, как таковая, появляется во многих фундаментальных уравнениях квантовой механики. Приведенная длина волны Комптона входит в релятивистское уравнение Клейна – Гордона для свободной частицы:

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} } \ psi = \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ psi.}

Он появляется в уравнении Дирака (следующая явно ковариантная форма, использующая соглашение о суммировании Эйнштейна ):

-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.

Уменьшенная длина волны Комптона также появляется в уравнении Шредингера , хотя его присутствие не видно в традиционных представлениях уравнения. Ниже приводится традиционное представление уравнения Шредингера для электрона в водородоподобном атоме :

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .

Разделив на и переписав постоянную тонкой структуры , получаем: $\hbar c$

{\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .

Различие между уменьшенным и несокращенным [ править ]

Уменьшенная длина волны Комптона является естественным представлением массы в квантовом масштабе. Уравнения, относящиеся к инертной массе, такие как Клейн-Гордон и Шредингер, используют уменьшенную длину волны Комптона. ^[2]^{: 18–22} Неуменьшенная длина волны Комптона является естественным представлением массы, которая была преобразована в энергию. Уравнения, относящиеся к преобразованию массы в энергию или к длинам волн фотонов, взаимодействующих с массой, используют неуменьшенную длину волны Комптона.

Частица массы $m$ имеет энергию покоя $E = mc 2$ . Неуменьшенная комптоновская длина волны для этой частицы - это длина волны фотона той же энергии. Для фотонов с частотой $f$ энергия определяется выражением

E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},\

что дает неприведенную или стандартную формулу для длины волны Комптона, если она решена для $λ$ .

Ограничение на измерение [ править ]

Длина волны Комптона выражает фундаментальное ограничение на измерение положения частицы с учетом квантовой механики и специальной теории относительности . ^[3]

Это ограничение зависит от массы частицы $m$ . Чтобы увидеть, как это происходит, обратите внимание, что мы можем измерить положение частицы, отражая от нее свет, но для точного измерения положения требуется свет с короткой длиной волны. Коротковолновый свет состоит из фотонов высокой энергии. Если энергия этих фотонов превышает $mc 2$ , при ударе о частицу, положение которой измеряется, столкновение может дать достаточно энергии, чтобы создать новую частицу того же типа. ^{[ необходима цитата ]} Это делает спорным вопрос о местонахождении исходной частицы.

Этот аргумент также показывает, что уменьшенная длина волны Комптона является границей, ниже которой квантовая теория поля, которая может описывать рождение и уничтожение частиц, становится важной. Приведенный выше аргумент можно уточнить следующим образом. Предположим, мы хотим измерить положение частицы с точностью $Δ x$ . Тогда соотношение неопределенностей для положения и импульса говорит, что

\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},

так что неопределенность в импульсе частицы удовлетворяет

\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.

Используя релятивистское соотношение между импульсом и энергией $E 2 = (pc) 2 + (mc 2) 2$ , когда $Δ p$ превышает $mc,$ тогда неопределенность в энергии больше, чем $mc 2$ , что достаточно энергии для создания другой частицы того же типа. . Но мы должны это исключить. В частности, минимальная неопределенность возникает, когда рассеянный фотон имеет предельную энергию, равную падающей наблюдаемой энергии. Отсюда следует, что существует фундаментальный минимум для $Δ x$ :

\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).

Таким образом, неопределенность в положении должно быть больше , чем половина длины волны восстановленного Compton $ħ / тс$ .

Длину волны Комптона можно сравнить с длиной волны де Бройля , которая зависит от импульса частицы и определяет границу между поведением частицы и волны в квантовой механике . Примечательно, что вывод де Бройля длины волны де Бройля основан на предположении, что наблюдаемая частица связана с периодическим явлением комптоновской частоты частицы.

Связь с другими константами [ править ]

Типичные атомные длины, волновые числа и области физики могут быть связаны с уменьшенной комптоновской длиной волны для электрона ( ) ${\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}$ и электромагнитной постоянной тонкой структуры ( ) $\alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}$ .

Радиус Бора связан с длиной волны Комптона путем:

a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}

Классический радиус электрона примерно в 3 раза больше , чем радиус протона , и записывается:

r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}

Постоянная Ридберга , имеющая размерность линейного волнового числа , записывается:

{\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}

{\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}

Это дает последовательность:

r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}

.

Для фермионов уменьшенная длина волны Комптона задает сечение взаимодействий. Например, сечение томсоновского рассеяния фотона на электроне равно ^{[ требуется пояснение ]}

\sigma _{T}={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},

что примерно такое же, как площадь поперечного сечения ядра железа-56. Для калибровочных бозонов длина волны Комптона устанавливает эффективный диапазон взаимодействия Юкавы : поскольку фотон не имеет массы, электромагнетизм имеет бесконечный диапазон.

Масса Планка - это порядок массы, для которого длина волны Комптона и радиус Шварцшильда совпадают, когда их значение близко к планковской длине ( ). Радиус Шварцшильда пропорционален массе, тогда как длина волны Комптона пропорциональна обратной массе. Масса и длина Планка определяются следующим образом: $r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}$ $l_{\rm {P}}$

m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}

l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.

Ссылки [ править ]

^ Значение CODATA 2018 для длины волны Комптона для электрона из NIST
^ Грейнер, В. , Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения ( Берлин / Гейдельберг : Springer , 1990), стр. 18–22 .
^ Гарай, Луис Дж. (1995). «Квантовая гравитация и минимальная длина». Международный журнал современной физики А . 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc / 9403008 . Bibcode : 1995IJMPA..10..145G . DOI : 10.1142 / S0217751X95000085 .

Внешние ссылки [ править ]

Шкалы длины в физике: длина волны Комптона
Б.Г. Сидхарт, от шкалы Планка до шкалы Комптона , Международный институт прикладной математики, Хайдарабад (Индия) и Удине (Италия), август 2006 г.

[1] Значение CODATA 2018 для длины волны Комптона для электрона из NIST

[2] Грейнер, В. , Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения ( Берлин / Гейдельберг : Springer , 1990), стр. 18–22 .

[3] Гарай, Луис Дж. (1995). «Квантовая гравитация и минимальная длина». Международный журнал современной физики А . 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc / 9403008 . Bibcode : 1995IJMPA..10..145G . DOI : 10.1142 / S0217751X95000085 .

[1]