Треугольник Рело
Треугольник Рело [ʁœlo] — изогнутый треугольник с постоянной шириной , самая простая и самая известная кривая постоянной ширины, кроме круга. [1] Он образован пересечением трех круговых дисков , центр каждого из которых находится на границе двух других. Постоянная ширина означает, что расстояние между любыми двумя параллельными опорными линиями одинаково, независимо от их ориентации. Поскольку все его диаметры одинаковы, треугольник Рело является одним из ответов на вопрос: «Какой формы, кроме круга, может быть крышка люка , чтобы она не могла упасть через отверстие?» [2]
Треугольники Рело также называют сферическими треугольниками , но этот термин более точно относится к треугольникам на искривленной поверхности сферы . Они названы в честь Франца Рело , [3] немецкого инженера 19-го века, который был пионером в изучении машин для преобразования одного типа движения в другой, и который использовал треугольники Рело в своих проектах. [4] Тем не менее, эти формы были известны до его времени, например, дизайнерам готических церковных окон, Леонардо да Винчи , который использовал их для картографической проекции , и Леонардо Эйлеру .в своем исследовании форм постоянной ширины. Другие применения треугольника Рело включают придание формы медиаторам , гайкам пожарных гидрантов , карандашам и сверлам для сверления квадратных отверстий со скругленными углами , а также в графическом дизайне в форме некоторых знаков и корпоративных логотипов.
Среди фигур постоянной ширины с заданной шириной треугольник Рело имеет минимальную площадь и самый острый (наименьший) возможный угол (120 °) при углах. По некоторым числовым показателям он наиболее далек от центрально-симметричного . Он обеспечивает наибольшую форму постоянной ширины, избегая точек целочисленной решетки ., и тесно связан с формой четырехугольника, максимизирующего отношение периметра к диаметру. Он может совершать полный оборот внутри квадрата, всегда касаясь всех четырех сторон квадрата, и имеет наименьшую возможную площадь фигур с этим свойством. Однако, хотя он покрывает большую часть квадрата в этом процессе вращения, он не может покрыть небольшую часть площади квадрата около его углов. Из-за этого свойства вращения внутри квадрата треугольник Рело также иногда называют ротором Рело . [5]
Треугольник Рело является первым из последовательности многоугольников Рело , границы которых представляют собой кривые постоянной ширины, образованные из правильных многоугольников с нечетным числом сторон. Некоторые из этих кривых использовались в качестве формы монет . Треугольник Рело также можно обобщить на три измерения несколькими способами: тетраэдр Рело (пересечение четырех шаров , центры которых лежат на правильном тетраэдре ) не имеет постоянной ширины, но может быть изменен путем округления его ребер, чтобы сформировать тетраэдр Мейснера . , что делает. В качестве альтернативы поверхность вращения треугольника Рело также имеет постоянную ширину.
Треугольник Рело может быть построен либо непосредственно из трех окружностей , либо путем округления сторон равностороннего треугольника . [6]
Построение трех кругов можно выполнить с помощью одного циркуля , даже не нуждаясь в линейке. По теореме Мора-Маскерони то же самое в более общем случае верно для любой конструкции циркуля и линейки , [7]но конструкция треугольника Рело особенно проста. Первый шаг — отметить две произвольные точки плоскости (которые в итоге станут вершинами треугольника) и с помощью циркуля нарисовать окружность с центром в одной из отмеченных точек через другую отмеченную точку. Затем рисуется второй круг того же радиуса с центром в другой отмеченной точке и проходящий через первую отмеченную точку. Наконец, рисуют третий круг, опять того же радиуса, с центром в одной из двух точек пересечения двух предыдущих кругов, проходящих через обе отмеченные точки. [8] Центральная область в полученном расположении трех кругов будет треугольником Рело. [6]
