В теории систем управления , то критерий устойчивости Рауса-Гурвица является математическим тестом , который является необходимым и достаточным условием устойчивости в виде линейное время инварианта (LTI) системы управления . Тест Рауса является эффективным рекурсивный алгоритм, английский математик Эдвард Джон Рауса , предложенный в 1876 году , чтобы определить , все ли корни этого характеристического полинома от более линейной системы имеют отрицательные действительные части. [1] Немецкий математик Адольф Гурвицнезависимо предложил в 1895 году упорядочить коэффициенты многочлена в квадратную матрицу, названную матрицей Гурвица , и показал, что многочлен устойчив тогда и только тогда, когда последовательность определителей его главных подматриц все положительны. [2] Эти две процедуры эквивалентны, причем тест Рауса обеспечивает более эффективный способ вычисления определителей Гурвица, чем их вычисление напрямую. Многочлен, удовлетворяющий критерию Рауса – Гурвица, называется многочленом Гурвица .
Важность критерия состоит в том, что корни p характеристического уравнения линейной системы с отрицательными действительными частями представляют собой устойчивые ( ограниченные ) решения e pt системы . Таким образом, критерий дает возможность определить , если уравнения движения в виде линейной системы имеют только устойчивые решения, без решения системы непосредственно. Для дискретных систем, соответствующий тест на стабильность может быть обработана с помощью критерия Шура-Кона, в тесте жюри и тест Бистрица . С появлением компьютеров этот критерий стал менее широко использоваться, поскольку альтернативой является решение полинома численно, получая приближения к корням напрямую.
Тест Рауса может быть получен с помощью алгоритма Евклида и теоремы Штурма при вычислении индексов Коши . Гурвиц сформулировал свои условия иначе. [3]
Использование алгоритма Евклида
Критерий связан с теоремой Рауса – Гурвица . Из утверждения этой теоремы имеем где:
- - количество корней многочлена с отрицательной действительной частью;
- - количество корней многочлена с положительной действительной частью (согласно теореме, предполагается, что не имеет корней, лежащих на воображаемой линии);
- w ( x ) - количество вариаций обобщенной цепи Штурма, полученной из а также (последовательными евклидовыми делениями ), гдепо настоящему y .
По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n должен иметь n корней на комплексной плоскости (т. Е. Для an без корней на мнимой прямой p + q = n ). Таким образом, мы имеем условие, что ƒ является (гурвицевым) стабильным многочленом тогда и только тогда, когда p - q = n ( доказательство приведено ниже). Используя теорему Рауса-Гурвица, мы можем заменить условие на р и д условием на обобщенной Sturm цепи, которая даст в свою очередь , условие на коэффициенты ƒ .
Использование матриц
Пусть f ( z ) - комплексный многочлен. Процесс выглядит следующим образом:
- Вычислить многочлены а также такой, что где y - действительное число.
- Вычислить матрицу Сильвестра, связанную с а также .
- Переставьте каждую строку таким образом, чтобы в нечетной и следующей строках было одинаковое количество ведущих нулей.
- Вычислите каждый главный минор этой матрицы.
- Если хотя бы один из миноров отрицателен (или равен нулю), то многочлен f нестабилен.
Пример
- Позволять (для простоты возьмем действительные коэффициенты) где (чтобы избежать корня в нуле и использовать теорему Рауса – Гурвица). Сначала нам нужно вычислить действительные многочлены а также :
- Затем мы разделим эти многочлены, чтобы получить обобщенную цепь Штурма:
- дает
- дает и евклидово деление прекращается.
Обратите внимание, что мы должны были предположить, что b отличное от нуля в первом делении. Обобщенная цепь Штурма в этом случае. Положив, знак является противоположным знаком a, а знак by является знаком b . Когда мы ставим, знак первого элемента цепочки снова является противоположным знаком a, а знак by является противоположным знаком b . Наконец, - c всегда имеет противоположный знак c .
Предположим теперь, что f стабильна по Гурвицу. Это значит, что(степень f ). По свойствам функции w это то же самое, что а также . Таким образом, a , b и c должны иметь один и тот же знак. Таким образом, мы нашли необходимое условие устойчивости многочленов степени 2.
Критерий Рауса – Гурвица для полиномов второго и третьего порядка
- Полином второй степени имеет оба корня в открытой левой полуплоскости (а система с характеристическим уравнением устойчиво) тогда и только тогда, когда оба коэффициента удовлетворяют .
- Полином третьего порядка имеет все корни в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда , положительные и
- В общем случае критерий устойчивости Рауса утверждает, что все корни многочлена находятся в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда все элементы первого столбца массива Рауса имеют одинаковый знак.
Пример высшего порядка
Табличный метод может использоваться для определения устойчивости, когда трудно получить корни характеристического полинома более высокого порядка. Для полинома n- й степени
таблица имеет n + 1 строку и следующую структуру:
где элементы а также можно вычислить следующим образом:
По завершении количество смен знака в первом столбце будет количеством неотрицательных корней.
0,75 | 1.5 | 0 | 0 |
-3 | 6 | 0 | 0 |
3 | 0 | 0 | 0 |
6 | 0 | 0 | 0 |
В первом столбце есть два изменения знака (0,75 → −3 и −3 → 3), таким образом, есть два неотрицательных корня, где система неустойчива.
Характеристическое уравнение сервосистемы определяется следующим образом: [4]
0 | |||
---|---|---|---|
0 | 0 | ||
знак равно | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 |
для стабильности все элементы в первом столбце массива Рауса должны быть положительными. Итак, условия, которые должны быть выполнены для устойчивости данной системы, следующие: [4]
Мы видим, что если
тогда
Доволен.
У нас есть следующая таблица:
1 | 11 | 200 | 0 |
0 | 0 | ||
0 | 0 | ||
-19 | 0 | 0 | 0 |
20 | 0 | 0 | 0 |
есть два изменения знака. Система неустойчива, так как имеет два полюса правой полуплоскости и два полюса левой полуплоскости. В системе не может быть полюсов jω, поскольку в таблице Рауса не было строки нулей. [5]
Иногда наличие полюсов на воображаемой оси создает ситуацию предельной устойчивости. В этом случае коэффициенты «массива Рауса» во всей строке становятся равными нулю, и, таким образом, дальнейшее решение полинома для нахождения изменений знака невозможно. Затем в игру вступает другой подход. Строка многочлена, которая находится непосредственно над строкой, содержащей нули, называется «вспомогательным многочленом».
У нас есть следующая таблица:
1 | 8 | 20 | 16 |
2 | 12 | 16 | 0 |
2 | 12 | 16 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
В таком случае вспомогательный многочлен равен который снова равен нулю. Следующим шагом является дифференцирование приведенного выше уравнения, которое дает следующий многочлен.. Коэффициенты строки, содержащей ноль, теперь становятся «8» и «24». Процесс массива Рауса продолжается с использованием этих значений, которые дают две точки на мнимой оси. Эти две точки на воображаемой оси являются первопричиной предельной стабильности. [6]
Смотрите также
- Техника управления
- Вывод массива Рауса
- Критерий устойчивости Найквиста
- Теорема Рауса – Гурвица
- Корневой локус
- Функция передачи
- Критерий Льенара – Шипара (вариант, требующий меньшего количества вычислений)
- Теорема Харитонова (вариант для неизвестных коэффициентов, ограниченных интервалами)
- Критерий устойчивости жюри (аналог для систем LTI с дискретным временем)
- Критерий устойчивости Бистрица (аналог для систем LTI с дискретным временем)
Рекомендации
- Перейти ↑ Routh, EJ (1877). Трактат об устойчивости данного состояния движения: особенно установившегося движения . Макмиллан.
- ^ Гурвиц, А. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt". Математика. Аня. 46 (2): 273–284. DOI : 10.1007 / BF01446812 .(Английский перевод «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями», сделанный Х. Г. Бергманном в « Избранных статьях по математическим тенденциям в теории управления» Р. Беллмана и Р. Калабы, ред. Нью-Йорк: Довер, 1964, стр. 70–2). 82.)
- ^ Гопал, М. (2002). Системы управления: принципы и конструкция, 2-е изд . Тата Макгроу-Хилл Образование. п. 14. ISBN 0070482896.
- ^ а б в КУМАР, Ананд (2007). СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ . PHI Learning. ISBN 9788120331976.
- ^ а б Найз, Норман (2015). Разработка систем управления . Вайли. ISBN 9781118800829.
- ^ Саид, Сайед Хасан (2008). Системы автоматического управления . Дели: Katson Publishers. стр. 206, 207. ISBN 978-81-906919-2-5.
- Феликс Гантмахер (переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959) Приложения теории матриц , стр. 177–80, Нью-Йорк: Interscience.
- Пиппард, AB; Дике, Р. Х. (1986). «Отклик и стабильность, введение в физическую теорию» . Американский журнал физики . 54 (11): 1052. Bibcode : 1986AmJPh..54.1052P . DOI : 10.1119 / 1.14826 . Архивировано из оригинала на 2016-05-14 . Проверено 7 мая 2008 .
- Ричард С. Дорф , Роберт Х. Бишоп (2001). Современные системы управления (9-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-030660-6.
- Рахман, QI; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория многочленов . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 26 . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006 .
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Рауса-Гурвица" . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram .
Внешние ссылки
- Сценарий MATLAB, реализующий тест Рауса-Гурвица
- Онлайн-реализация критерия Рауса-Гурвица