Матрица Сильвестра

В математике , А матрица Сильвестра является матрица связана с двумя одномерными многочленов с коэффициентами в поле или коммутативным кольцом . Элементы матрицы Сильвестра двух многочленов являются коэффициентами многочленов. Определитель матрицы Сильвестра двух многочленов является их результирующим , которая равна нуль , когда два полинома имеет общий корень (в случае коэффициентов в поле) или непостоянный общий делитель (в случае коэффициентов в области целостности ) .

Матрицы Сильвестра названы в честь Джеймса Джозефа Сильвестра .

Определение [ править ]

Формально, пусть p и q - два ненулевых многочлена степени m и n соответственно . Таким образом:

${\ Displaystyle p (z) = p_ {0} + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + \ cdots + p_ {m} z ^ {m}, \; q (z) = q_ {0} + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + \ cdots + q_ {n} z ^ {n}.}$

Тогда матрица Сильвестра, связанная с p и q, представляет собой матрицу, построенную следующим образом:${\ Displaystyle (п + т) \ раз (п + т)}$

• если n > 0, первая строка:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p_ {m} & p_ {m-1} & \ cdots & p_ {1} & p_ {0} & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}.}$

• вторая строка - первая строка, сдвинутая на один столбец вправо; первый элемент строки равен нулю.
• следующие n  - 2 строки получаются таким же образом, каждый раз смещая коэффициенты на один столбец вправо и устанавливая другие записи в строке равными 0.
• если m > 0, то ( n  + 1) -я строка будет:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• следующие строки получаются так же, как и раньше.

Таким образом, если m  = 4 и n  = 3, матрица имеет вид:

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.}$

Если одна из степеней равна нулю (то есть соответствующий многочлен является ненулевым постоянным многочленом), то есть нулевые строки, состоящие из коэффициентов другого многочлена, и матрица Сильвестра является диагональной матрицей размерности, равной степени ненулевого постоянный многочлен, все диагональные коэффициенты которого равны постоянному многочлену. Если m = n = 0, то матрица Сильвестра - это пустая матрица с нулевыми строками и нулевыми столбцами.

Вариант [ править ]

Вышеупомянутая матрица Сильвестра появляется в статье Сильвестра 1840 года. В статье 1853 года Сильвестр ввел следующую матрицу, которая с точностью до перестановки строк представляет собой матрицу Сильвестра для p и q , которые считаются имеющими степень макс ( м , п ). ^[1] Таким образом, это -матрица, содержащая пары строк. Предполагая, что это получается следующим образом:${\displaystyle 2\max(n,m)\times 2\max(n,m)}$${\displaystyle \max(n,m)}$${\displaystyle m>n,}$

• первая пара:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• вторая пара - первая пара, сдвинутая на один столбец вправо; первые элементы в двух строках равны нулю.
• остальные пары строк получаются так же, как указано выше.${\displaystyle max(n,m)-2}$

Таким образом, если m  = 4 и n  = 3, матрица имеет вид:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

Определитель матрицы 1853, вплоть до знака, произведение определитель матрицы Сильвестра (которая называется равнодействующей из р и д ) по (все еще предполагая ).${\displaystyle p_{m}^{m-n}}$${\displaystyle m\geq n}$

Приложения [ править ]

Эти матрицы используются в коммутативной алгебре , например, чтобы проверить, имеют ли два многочлена (непостоянный) общий множитель. В таком случае определитель связанной матрицы Сильвестра (которая называется равнодействующей двух полиномов) равняется нулю. Обратное также верно.

Решения одновременных линейных уравнений

${\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

где - вектор размера и имеет размер , содержат векторы коэффициентов тех и только тех пар многочленов (степеней и соответственно), которые удовлетворяют${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle m-1}$

${\displaystyle x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,}$

где используется полиномиальное умножение и сложение. Это означает, что ядро транспонированной матрицы Сильвестра дает все решения уравнения Безу, где и .${\displaystyle \deg x<\deg q}$${\displaystyle \deg y<\deg p}$

Следовательно, ранг матрицы Сильвестра определяет степень наибольшего общего делителя из р и д :

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}.}$

Более того, коэффициенты этого наибольшего общего делителя могут быть выражены как определители подматриц матрицы Сильвестра (см. Подрезультант ).

См. Также [ править ]

• Матрица передачи
• Матрица Безу

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Сильвестра» . MathWorld .