В геометрии , Шлефли orthoscheme представляет собой тип симплекс . Они определяются последовательностью реберкоторые взаимно ортогональны. Они были введены Шлефли , который назвал их orthoschemes и изучал их объем в Евклида , Лобачевского и сферической геометрии . HSM Coxeter позже назвал их в честь Шлефли. [1] Ж.-П. Сидлер и Бёрге Йессен тщательно изучали их в связи с третьей проблемой Гильберта .
Ортосхемы, также называемые симплексами-путями в литературе по прикладной математике , являются частным случаем более общего класса симплексов, изученных Фидлером (1957) , [2] и позднее повторно открытых Кокстером (1991) . [1] Эти симплексов являются выпуклыми оболочками из дерев , в которой все ребра взаимно перпендикулярны. В ортосхеме лежащее в основе дерево - это путь . В трех измерениях орто-схему также называют двупрямоугольным тетраэдром .
Характеристики
- Все 2-грани - прямоугольные треугольники .
- Все грани матриц А д - мерный orthoscheme являются ( д - 1) -мерные orthoschemes.
- Середина самого длинного края является центром описанной сферы .
- Случай, когда является обобщенным тетраэдром Хилла .
- В 3- и 4-мерном евклидовом пространстве, каждый выпуклый многогранник есть ножницеобразный конгруэнтного к orthoscheme.
- Каждый гиперкуб в d -мерном пространстве можно разрезать на d ! конгруэнтные орто-схемы. Подобное разбиение на такое же количество орто-схем в более общем случае применяется к каждому гипер прямоугольнику, но в этом случае орто-схемы могут не совпадать.
- В трехмерных гиперболических и сферических пространствах объем орто-схем может быть выражен через функцию Лобачевского или через дилогарифмы . [3]
Рассечение на орто-схемы
Уго Хадвигер предположил в 1956 году , что каждый симплекс рассекал на конечное число orthoschemes. [4] Гипотеза была доказана в пространствах пяти или менее измерений, [5] но остается нерешенной в более высоких измерениях. [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Coxeter, HSM (1991), "Ортогональные деревья", Proc. 7-й симпозиум ACM. Вычислительная геометрия , стр. 89–97.
- ^ Фидлер, М. (1957), «Великолепное качество Winkeleigenschaften der Simplexe» , Чехословацкая математика. J. , 7 : 463–478
- ^ Винберг Е.Б. (1993), "Объемы неевклидовых многогранников", Успехи матем. Обзоры , 48: 2 : 15-45, DOI : 10,1070 / rm1993v048n02abeh001011
- ^ Хадвигер, Хьюго (1956), «Ungelöste Probleme» , Elemente der Mathematik , 11 : 109–110
- ^ Чирпке, Катрин (1994), "Разделение пятимерных симплексов на ортосхемы", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 35 (1): 1–11, MR 1287191
- ^ Брандтс, Ян; Коротов, Сергей; Кржижек, Михал; Šolc, Якуб (2009), "О nonobtuse симплициальными разделов" (PDF) , SIAM Review , 51 (2): 317-335, DOI : 10,1137 / 060669073 , MR 2505583. См., В частности, гипотезу 23, с. 327.