Плавная схема

В алгебраической геометрии , A гладкая схема над полем является схемой , которая хорошо аппроксимируется аффинным пространством вблизи любой точки. Гладкость - это один из способов уточнить понятие схемы без особых точек. Частный случай - понятие гладкого многообразия над полем. Гладкие схемы играют роль в алгебраической геометрии многообразий в топологии.

Определение [ править ]

Во-первых, пусть X - аффинная схема конечного типа над полем k . Эквивалентно, X имеет замкнутое погружение в аффинное пространство A ⁿ над k для некоторого натурального числа n . Тогда X - замкнутая подсхема, определяемая некоторыми уравнениями g ₁ = 0, ..., g _r = 0, где каждый g _i находится в кольце многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ]. Аффинная схема X является гладкимразмерности т над к , если Х имеет размерность по крайней мере м в окрестности каждой точки, и матрица производных (∂ г _я / ∂ х _J ) имеет ранг по крайней мере , п - т всюду на X . ^[1] (Отсюда следует, что X имеет размерность, равную m в окрестности каждой точки.) Гладкость не зависит от выбора вложения X в аффинное пространство.

Под условием на матрицу производных понимается, что замкнутое подмножество X, где все ( n - m ) × ( n - m ) миноры матрицы производных равны нулю, является пустым множеством. Эквивалентно, идеал в кольце многочленов, порожденном всеми g _i и всеми этими минорами, является всем кольцом многочленов.

С геометрической точки зрения матрица производных (∂ g _i / ∂ x _j ) в точке p в X дает линейное отображение F ⁿ → F ^r , где F - поле вычетов p . Ядро этого отображения называется касательным пространством Зарисского к X в точке p . Гладкость X означает, что размерность касательного пространства Зарисского равна размерности X около каждой точки; в особой точке касательное пространство Зарисского было бы больше.

В более общем смысле схема X над полем k является гладкой над k, если каждая точка X имеет открытую окрестность, которая является гладкой аффинной схемой некоторой размерности над k . В частности, гладкая схема над k имеет локально конечный тип .

Существует более общее понятие гладкого морфизма схем, грубо говоря, это морфизм с гладкими слоями. В частности, схема X является гладкой над полем k тогда и только тогда, когда морфизм X → Spec k гладкий.

Свойства [ править ]

Гладкая схема над полем регулярна, а значит, и нормальна . В частности, редуцируется гладкая схема над полем .

Определим многообразие над полем k как целочисленную разделенную схему конечного типа над k . Тогда любая гладкая отделимая схема конечного типа над k является конечным дизъюнктным объединением гладких многообразий над k .

Для гладкого многообразия X над комплексными числами пространство X ( C ) комплексных точек X является комплексным многообразием , использующим классическую (евклидову) топологию. Аналогично, для гладкого многообразия X над действительными числами пространство X ( R ) вещественных точек является вещественным многообразием , возможно, пустым.

Для любой схемы X , локально конечного типа над полем к , существует когерентный пучок Ω ¹ из дифференциалов на X . Схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда Ω ¹ является векторным расслоением ранга, равного размерности X около каждой точки. ^[2] В этом случае, Ω ¹ называется кокасательное расслоение на X . Касательное расслоение гладкого схемы над к может быть определенно как сопряженное расслоение, TX= (Ω ¹ ) ^* .

Гладкость является геометрическое свойство , а это означает , что для любого расширения поля Е от к , схема Х является гладкой над K тогда и только тогда , когда схема Х _Е  : = X × _{Spec K} Spec Е является гладкой над E . Для идеального поля к , схема X является гладким над K тогда и только тогда , когда X локально конечного типа над к и X является регулярным .

Общая гладкость [ править ]

Схема X называется в общем случае гладкой размерности n над k, если X содержит открытое плотное подмножество, гладкое размерности n над k . Всякое многообразие над совершенным полем (в частности, алгебраически замкнутым полем) в общем случае гладко. ^[3]

Примеры [ править ]

• Аффинное пространство и проективное пространство - это гладкие схемы над полем k .
• Примером гладкой гиперповерхности в проективном пространстве P ⁿ над k является гиперповерхность Ферма x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0 для любого натурального числа d , обратимого в k .
• Примером особой (негладкой) схемы над полем k является замкнутая подсхема x ² = 0 в аффинной прямой A ¹ над k .
• Пример особого (негладкое) многообразие над к является каспидальным кубическим кривым х ² = у ³ в аффинной плоскости А ² , которая является гладким вне начала координат ( х , у ) = (0,0).
• 0-мерное многообразие X над полем k имеет вид X = Spec E , где E - поле конечного расширения поля k . Многообразие X гладко над k тогда и только тогда, когда E - сепарабельное расширение k . Таким образом, если E не отделима над k , то X - регулярная схема, но не является гладкой над k . Например, пусть k - поле рациональных функций F _p ( t ) для простого числаp , и пусть E = F _p ( t ^{1 / p} ); тогда Spec E - это многообразие размерности 0 над k, которое является регулярной схемой, но не гладким над k .
• Многообразия Шуберта , вообще говоря, не гладкие.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Заметки Д. Гайтсгори о плоскостности и гладкости на http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR  1011461

См. Также [ править ]

• Этальный морфизм
• Размерность алгебраического многообразия
• Глоссарий теории схем
• Плавное завершение