Оценка спектральной плотности

В статистической обработке сигнала , цель оценки спектральной плотности ( СД ), чтобы оценить по спектральной плотности (также известную как спектральная плотность мощности ) в виде случайного сигнала из последовательности временных отсчетов сигнала. ^[1] Интуитивно говоря, спектральная плотность характеризует частотный состав сигнала. Одной из целей оценки спектральной плотности является обнаружение любых периодичностей в данных путем наблюдения пиков на частотах, соответствующих этим периодичностям.

Некоторые методы SDE предполагают, что сигнал состоит из ограниченного (обычно небольшого) количества генерируемых частот плюс шум, и стремятся найти местоположение и интенсивность генерируемых частот. Другие не делают предположений о количестве компонентов и стремятся оценить весь спектр генерации.

Обзор [ править ]

Возможно, эту статью нужно почистить. Он был объединен из частотной области .

Пример формы сигнала голоса и его частотного спектра

Периодическая форма волны ( треугольная волна ) и ее частотный спектр, показывающий "основную" частоту 220 Гц, за которой следуют кратные (гармоники) 220 Гц.

Для сравнения спектральная плотность мощности музыкального сегмента оценивается двумя разными методами.

Спектральный анализ , также называемый анализом в частотной области или оценкой спектральной плотности, представляет собой технический процесс разложения сложного сигнала на более простые части. Как описано выше, многие физические процессы лучше всего описать как сумму многих индивидуальных частотных компонентов. Любой процесс, который количественно определяет различные величины (например, амплитуды, мощности, интенсивности) в зависимости от частоты (или фазы ), можно назвать спектральным анализом .

Спектральный анализ может быть выполнен для всего сигнала. В качестве альтернативы сигнал можно разбить на короткие сегменты (иногда называемые кадрами ), и к этим отдельным сегментам можно применить анализ спектра. Периодические функции (например, ) особенно хорошо подходят для этого подразделения. Общие математические методы анализа непериодических функций относятся к категории анализа Фурье .${\ Displaystyle \ грех (т)}$

Преобразование Фурье функции создает частотный спектр, который содержит всю информацию об исходном сигнале, но в другой форме. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена ​​( синтезирована ) с помощью обратного преобразования Фурье . Для идеального восстановления анализатор спектра должен сохранять как амплитуду, так и фазу каждой частотной составляющей. Эти две части информации могут быть представлены как двумерный вектор, как комплексное число или как величина (амплитуда) и фаза в полярных координатах (т. Е. Как вектор). Распространенным методом обработки сигналов является рассмотрение квадрата амплитуды или мощности ; в этом случае полученный график называется спектром мощности .

Из-за обратимости преобразование Фурье называется представлением функции в терминах частоты, а не времени; таким образом, это представление в частотной области . У линейных операций, которые могут выполняться во временной области, есть аналоги, которые часто легче выполнять в частотной области. Частотный анализ также упрощает понимание и интерпретацию эффектов различных операций во временной области, как линейных, так и нелинейных. Например, только нелинейные или изменяющиеся во времени операции могут создавать новые частоты в частотном спектре.

На практике почти все программное обеспечение и электронные устройства, которые генерируют частотные спектры, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое работает с выборками сигнала и обеспечивает математическое приближение к полному интегральному решению. ДПФ почти всегда реализуется с помощью эффективного алгоритма, называемого быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Компоненты квадрата амплитуды ДПФ представляют собой тип спектра мощности, называемый периодограммой., который широко используется для исследования частотных характеристик бесшумных функций, таких как импульсные характеристики фильтра и оконные функции. Но периодограмма не дает выигрыша в обработке при применении к шумоподобным сигналам или даже синусоидам при низких отношениях сигнал / шум. Другими словами, дисперсия его спектральной оценки на данной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в вычислениях. Это можно смягчить путем усреднения по времени ( метод Велча ^[2] ) или по частоте ( сглаживание ). Метод Велча широко используется для оценки спектральной плотности (SDE). Однако методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие отклонения, которые недопустимы в некоторых приложениях. Итак, другие альтернативы представлены в следующем разделе.

Методы [ править ]

Многие другие методы спектральной оценки были разработаны для смягчения недостатков базовой периодограммы. Эти методы обычно можно разделить на непараметрические и параметрические методы. Непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо конкретную структуру. Некоторые из наиболее распространенных оценщиков, используемых для базовых приложений (например , метод Велча ), являются непараметрическими оценщиками, тесно связанными с периодограммой. Напротив, параметрические подходы предполагают, что лежащий в основе стационарный случайный процессимеет определенную структуру, которую можно описать с помощью небольшого количества параметров (например, с помощью модели авторегрессии или скользящего среднего ). В этих подходах задача состоит в оценке параметров модели, описывающей случайный процесс.

Ниже приводится частичный список методов непараметрической оценки спектральной плотности:

• Периодограмма , квадрат модуля дискретного преобразования Фурье
• Метод Бартлетта представляет собой среднее значение периодограмм, взятых из нескольких сегментов сигнала, чтобы уменьшить дисперсию оценки спектральной плотности.
• Метод Уэлча - оконная версия метода Бартлетта, использующая перекрывающиеся сегменты.
• Multitaper - это метод на основе периодограммы, который использует несколько конусов или окон для формирования независимых оценок спектральной плотности для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности.
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов , основанный на аппроксимации методом наименьших квадратов известных частот
• Неравномерное дискретное преобразование Фурье используется, когда отсчеты сигнала неравномерно разнесены во времени.
• Сингулярный спектральный анализ является непараметрическим методом , который использует разложение по сингулярному значениям из ковариационной матрицы для оценки спектральной плотности
• Кратковременное преобразование Фурье
• Критический фильтр - это непараметрический метод, основанный на теории информационного поля, который может работать с шумом, неполными данными и функциями отклика прибора.

Ниже приведен частичный список параметрических методов:

• Оценка авторегрессионной модели (AR), которая предполагает, что n- я выборка коррелирует с предыдущими p выборками.
• Оценка модели скользящего среднего (MA), которая предполагает, что n- я выборка коррелирует с шумами в предыдущих p выборках.
• Оценка авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которая обобщает модели AR и MA.
• МНОЖЕСТВЕННАЯ СИГНАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ (MUSIC) - популярный метод сверхразрешения .
• Спектральная оценка максимальной энтропии - это многополюсный метод, полезный для SDE, когда ожидаются особые спектральные характеристики, такие как острые пики.

Параметрическая оценка [ править ]

При параметрической спектральной оценке предполагается, что сигнал моделируется стационарным процессом, который имеет функцию спектральной плотности (SDF), которая является функцией частоты и параметров . ^[3] Тогда задача оценки сводится к оценке этих параметров.${\ Displaystyle S (е; а_ {1}, \ ldots, а_ {р})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {p}}$

Наиболее распространенная форма параметрической оценки SDF использует в качестве модели авторегрессионную модель порядка . ^{[3] : 392} Последовательность сигналов, подчиняющаяся процессу нулевого среднего, удовлетворяет уравнению${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$${\ displaystyle p}$${\displaystyle \{Y_{t}\}}$${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$

${\displaystyle Y_{t}=\phi _{1}Y_{t-1}+\phi _{2}Y_{t-2}+\cdots +\phi _{p}Y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

где - фиксированные коэффициенты, а - процесс белого шума с нулевым средним и инновационной дисперсией . SDF для этого процесса${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}$${\displaystyle \epsilon _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$

${\displaystyle S(f;\phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma _{p}^{2}\Delta t}{\left|1-\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}e^{-2i\pi fk\Delta t}\right|^{2}}}\qquad |f|<f_{N},}$

с отбора проб временного интервала и на частоте Найквиста .${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle f_{N}}$

Есть целый ряд подходов к оценке параметров этого процесса и , таким образом , спектральной плотности: ^{[3] : 452-453}${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2}}$${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$

• В оценщики Юла-Уолкера найдены путем рекурсивного решения уравнений Юла-Уолкера для процесса${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$
• В оценщики Burg найдены путем обработки уравнений Юла-Уолкера как форма задачи МНК. Оценки Бурга обычно считаются более совершенными, чем оценки Юла-Уокера. ^{[3] : 452} Бург связал их с максимальной спектральной оценкой энтропии . ^[4]
• В оценщики вперед-назад наименьших квадратов рассматривать процесс как проблему регрессии и решает эту проблему с помощью вперед-назад метод. Они не уступают оценщикам Бург.${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$
• Оценщики максимального правдоподобия оценивают параметры, используя подход максимального правдоподобия . Это связано с нелинейной оптимизацией и является более сложным, чем первые три.

Альтернативные параметрические методы включают подгонку к модели скользящего среднего (MA) и полной авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA).

Оценка частоты [ править ]

Оценка частоты - это процесс оценки комплексных частотных компонентов сигнала в присутствии шума с учетом предположений о количестве компонентов. ^[5] Это контрастирует с общими методами, описанными выше, которые не делают предварительных предположений о компонентах.

Однотонный [ править ]

Если кто-то хочет оценить только одну самую громкую частоту, можно использовать алгоритм определения высоты тона . Если доминирующая частота изменяется со временем, тогда проблема становится оценкой мгновенной частоты, как это определено в частотно-временном представлении . Методы мгновенной оценки частоты включают методы, основанные на распределении Вигнера-Вилля и функциях неоднозначности более высокого порядка . ^[6]

Если кто-то хочет знать все (возможно, комплексные) частотные компоненты принятого сигнала (включая передаваемый сигнал и шум), он использует многотональный подход.

Несколько тонов [ править ]

Типичная модель сигнала состоит из суммы комплексных экспонент в присутствии белого шума ,${\displaystyle x(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle w(n)}$

${\displaystyle x(n)=\sum _{i=1}^{p}A_{i}e^{jn\omega _{i}}+w(n)}$.

Спектральная плотность мощности состоит из импульсных функций в дополнение к функции спектральной плотности, обусловленной шумом.${\displaystyle x(n)}$${\displaystyle p}$

Наиболее распространенные методы оценки частоты включают определение подпространства шума для извлечения этих компонентов. Эти методы основаны на разложения на собственные части матрицы автокорреляции в подпространство сигнала и шума подпространства. После того, как эти подпространства идентифицированы, функция оценки частоты используется для нахождения компонентных частот из подпространства шума. Наиболее популярные методы оценки на основе частоты шумов подпространства являются методом Писаренко , то множественной классификация сигнала метода (МУЗЫКА), метод собственных векторов, и методы минимальной нормы.

Метод Писаренко

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{\text{min}}\right|^{2}}}}$

МУЗЫКА

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MU}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}$,

Метод собственных векторов

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{EV}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}$

Метод минимальной нормы

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MN}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {a} \right|^{2}}};\ \mathbf {a} =\lambda \mathbf {P} _{n}\mathbf {u} _{1}}$

Пример расчета [ править ]

Предположим , от до - это временной ряд (дискретное время) с нулевым средним. Предположим, что это сумма конечного числа периодических составляющих (все частоты положительны):${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left(\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\\&=\sum _{k}\left(\overbrace {a_{k}} ^{A_{k}\sin(\phi _{k})}\cos(2\pi \nu _{k}n)+\overbrace {b_{k}} ^{A_{k}\cos(\phi _{k})}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\end{aligned}}}$

Дисперсия для функции с нулевым средним, как указано выше, определяется выражением ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$

Если бы эти данные были выборками, взятыми из электрического сигнала, это была бы его средняя мощность (мощность - это энергия в единицу времени, поэтому она аналогична дисперсии, если энергия аналогична квадрату амплитуды).

Теперь, для простоты, предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени, поэтому мы переходим к пределу, так как если средняя мощность ограничена, что почти всегда имеет место в действительности, то существует следующий предел и есть дисперсия данных.${\displaystyle N\to \infty .}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$

Опять же, для простоты, мы перейдем к непрерывному времени и предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени в обоих направлениях. Тогда эти две формулы становятся

${\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$

а также

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}dt.}$

Среднеквадратичное значение равно , поэтому дисперсия равна Следовательно, вклад в среднюю мощность исходящего от компонента с частотой равен Все эти вклады складываются в среднюю мощность${\displaystyle \sin }$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \nu _{k}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$${\displaystyle x(t).}$

Тогда мощность как функция частоты равна, а ее статистическая кумулятивная функция распределения будет${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},}$ ${\displaystyle S(\nu )}$

${\displaystyle S(\nu )=\sum _{k:\nu _{k}<\nu }{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$

${\displaystyle S}$- ступенчатая функция , монотонно неубывающая. Его скачки происходят на частотах периодических составляющих , и значение каждого скачка представляет собой мощность или дисперсию этой составляющей.${\displaystyle x}$

Дисперсия - это ковариация данных с самими собой. Если мы теперь рассмотрим те же данные , но с отставанием , мы можем взять ковариации из с , и определить , что это будет функция автокорреляции сигнала (или данных) :${\displaystyle \tau }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t+\tau )}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )dt.}$

Если он существует, он является четной функцией от: Если средняя мощность ограничена, то существует везде, конечна и ограничена тем, что является средней мощностью или дисперсией данных.${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c(0),}$

Можно показать, что можно разложить на периодические составляющие с такими же периодами, как :${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\tau )=\sum _{k}{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).}$

Фактически это спектральное разложение по разным частотам и связано с распределением мощности по частотам: амплитуда частотной составляющей является ее вкладом в среднюю мощность сигнала.${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$

Спектр мощности в этом примере не является непрерывным и, следовательно, не имеет производной, и, следовательно, этот сигнал не имеет функции спектральной плотности мощности. В общем, спектр мощности обычно представляет собой сумму двух частей: линейчатого спектра, такого как в этом примере, который не является непрерывным и не имеет функции плотности, и остатка, который является абсолютно непрерывным и имеет функцию плотности. .

См. Также [ править ]

• Периодограмма
• SigSpec
• Спектрограмма
• Частотно-временной анализ
• Частотно-временное представление
• Малая вероятность
• Спектральное распределение мощности

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-063751-2.
• Пристли, МБ (1991). Спектральный анализ и временные ряды . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-564922-3.

• Stoica, P .; Моисей, Р. (2005). Спектральный анализ сигналов . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-113956-5.

• Томсон, DJ (1982). «Спектральная оценка и гармонический анализ». Труды IEEE . 70 (9): 1055–1096. CiteSeerX  10.1.1.471.1278 . DOI : 10,1109 / PROC.1982.12433 .