Схематическое изображение разницы в форме зерен. Отображаются два параметра: сферичность (по вертикали) и
округление (по горизонтали).
Сферичность - это мера того, насколько форма объекта похожа на идеальную сферу . Например, сферичность шариков внутри шарикового подшипника определяет качество подшипника, такое как нагрузка, которую он может выдерживать, или скорость, с которой он может вращаться без сбоев. Сферичность - это конкретный пример меры компактности формы . Определенная Уоделлом в 1935 г. [1] поверхности сферы того же объема, что и данная частица, к площади поверхности частицы: Ψ {\ displaystyle \ Psi}
Ψ знак равно π 1 3 ( 6 V п ) 2 3 А п {\ displaystyle \ Psi = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {1} {3}} (6V_ {p}) ^ {\ frac {2} {3}}} {A_ {p}}}} где - объем частицы, а - площадь поверхности частицы. Сферичность сферы равна единице по определению, и в соответствии с изопериметрическим неравенством любая частица, не являющаяся сферой, будет иметь сферичность меньше 1. V п {\ displaystyle V_ {p}} А п {\ displaystyle A_ {p}}
Сферичность применяется в трех измерениях ; ее аналог в двух измерениях , например окружности поперечного сечения вдоль цилиндрического объекта, такого как вал , называется округлостью .
Эллипсоидальные объекты [ править ] Сферичности, , из сплющенного сфероида ( по аналогии с формой планеты Земли ) являются: Ψ {\ displaystyle \ Psi}
Ψ знак равно π 1 3 ( 6 V п ) 2 3 А п знак равно 2 а б 2 3 а + б 2 а 2 - б 2 пер ( а + а 2 - б 2 б ) , {\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},} где a и b - большая и малая полуоси соответственно.
Хакон Уаделл определил сферичность как площадь поверхности сферы того же объема, что и частица, деленная на фактическую площадь поверхности частицы.
Сначала нам нужно записать площадь поверхности сферы через объем частицы: A s {\displaystyle A_{s}} V p {\displaystyle V_{p}}
A s 3 = ( 4 π r 2 ) 3 = 4 3 π 3 r 6 = 4 π ( 4 2 π 2 r 6 ) = 4 π ⋅ 3 2 ( 4 2 π 2 3 2 r 6 ) = 36 π ( 4 π 3 r 3 ) 2 = 36 π V p 2 {\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}} следовательно
A s = ( 36 π V p 2 ) 1 3 = 36 1 3 π 1 3 V p 2 3 = 6 2 3 π 1 3 V p 2 3 = π 1 3 ( 6 V p ) 2 3 {\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}} следовательно, мы определяем как: Ψ {\displaystyle \Psi }
Ψ = A s A p = π 1 3 ( 6 V p ) 2 3 A p {\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}} Сферичность обычных объектов [ править ] Имя Рисунок Объем Площадь поверхности Сферичность Платоновы тела тетраэдр 2 12 s 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}} 3 s 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}\,s^{2}} ( π 6 3 ) 1 3 ≈ 0.671 {\displaystyle \left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671} куб (шестигранник) s 3 {\displaystyle \,s^{3}} 6 s 2 {\displaystyle 6\,s^{2}} ( π 6 ) 1 3 ≈ 0.806 {\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806}
октаэдр 1 3 2 s 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}} 2 3 s 2 {\displaystyle 2{\sqrt {3}}\,s^{2}} ( π 3 3 ) 1 3 ≈ 0.846 {\displaystyle \left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846}
додекаэдр 1 4 ( 15 + 7 5 ) s 3 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}} 3 25 + 10 5 s 2 {\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}} ( ( 15 + 7 5 ) 2 π 12 ( 25 + 10 5 ) 3 2 ) 1 3 ≈ 0.910 {\displaystyle \left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910}
икосаэдр 5 12 ( 3 + 5 ) s 3 {\displaystyle {\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}} 5 3 s 2 {\displaystyle 5{\sqrt {3}}\,s^{2}} ( ( 3 + 5 ) 2 π 60 3 ) 1 3 ≈ 0.939 {\displaystyle \left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939} Круглые формы идеальный конус ( h = 2 2 r ) {\displaystyle (h=2{\sqrt {2}}r)} 1 3 π r 2 h {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h} = 2 2 3 π r 3 {\displaystyle ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}}
π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle \pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})} = 4 π r 2 {\displaystyle =4\pi \,r^{2}}
( 1 2 ) 1 3 ≈ 0.794 {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794} полусфера 2 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}} 3 π r 2 {\displaystyle 3\pi \,r^{2}} ( 16 27 ) 1 3 ≈ 0.840 {\displaystyle \left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840}
идеальный цилиндр ( h = 2 r ) {\displaystyle (h=2\,r)} π r 2 h = 2 π r 3 {\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3}} 2 π r ( r + h ) = 6 π r 2 {\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2}} ( 2 3 ) 1 3 ≈ 0.874 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874}
идеальный тор ( R = r ) {\displaystyle (R=r)} 2 π 2 R r 2 = 2 π 2 r 3 {\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}} 4 π 2 R r = 4 π 2 r 2 {\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}} ( 9 4 π ) 1 3 ≈ 0.894 {\displaystyle \left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894}
сфера 4 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi \,r^{2}} 1 {\displaystyle 1\,}
Другие формы ромбический триаконтаэдр 4 5 + 2 5 s 3 {\displaystyle 4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,s^{3}} 12 5 s 2 {\displaystyle 12{\sqrt {5}}\,s^{2}} π 1 3 ( 24 5 + 2 5 s 3 ) 2 3 12 5 s 2 ≈ 0.9609 {\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(24{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,s^{3}\right)^{\frac {2}{3}}}{12{\sqrt {5}}\,s^{2}}}\approx 0.9609} дисдякис триаконтаэдр 180 11 179 − 24 5 {\displaystyle {\frac {180}{11}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}} 180 11 ( 5 + 4 5 ) {\displaystyle {\frac {180}{11}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)} ( ( 5 + 4 5 ) 2 11 π 5 ) 1 3 179 − 24 5 ≈ 0.9857 {\displaystyle {\frac {\left(\left(5+4{\sqrt {5}}\right)^{2}{\frac {11\pi }{5}}\right)^{\frac {1}{3}}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}}\approx 0.9857}
См. Также [ править ] Эквивалентный сферический диаметр Сплющивание Индекс сферичности Изопериметрическое соотношение Округление (осадок) Уиллмор энергия Ссылки [ править ] ^ Wadell, Хакон (1935). «Объем, форма и округлость кварцевых частиц». Журнал геологии . 43 (3): 250–280. Bibcode : 1935JG ..... 43..250W . DOI : 10.1086 / 624298 . Внешние ссылки [ править ] Поищите сферичность
Морфология зерен: округлость, особенности поверхности и сферичность зерен 
![\ Psi = {\ frac {\ pi ^ {{{\ frac {1} {3}}}} (6V_ {p}) ^ {{{\ frac {2} {3}}}}} {A_ {p }}} = {\ frac {2 {\ sqrt [{3}] {ab ^ {2}}}} {a + {\ frac {b ^ {2}} {{\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} \ ln {\ left ({\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}} b} \ right)}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb6813ea9191eb0b12f73a7297468b55ff1351b)
