В математике , в исследовании динамических систем с двумерным фазовым пространством , предельный цикл является замкнутой траектории в фазовом пространстве , обладающее тем свойством , что по крайней мере один другой траектории спиралей в ней либо как время приближается к бесконечности или как раз приближается к минус бесконечность. Такое поведение проявляется в некоторых нелинейных системах . Предельные циклы использовались для моделирования поведения очень многих реальных колебательных систем. Изучение предельных циклов было начато Анри Пуанкаре (1854–1912).
Определение
Рассмотрим двумерную динамическую систему вида
где
- гладкая функция. Траекторией этой системы является некоторой гладкой функцией со значениями в которое удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Такая траектория называется замкнутой (или периодической ), если она не постоянна, а возвращается в исходную точку, т.е. если существует некоторая такой, что для всех . Орбита представляет собой изображение траектории, подмножество. Замкнутая орбита , или цикл , образ замкнутой траектории. Предельный цикл представляет собой цикл , который является предельным множеством некоторой другой траектории.
Характеристики
По теореме Жордана о кривой каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Учитывая предельный цикл и внутреннюю траекторию, которая приближается к предельному циклу при приближении времени , то вокруг предельного цикла существует такая окрестность, что все внутренние траектории, начинающиеся в окрестности, приближаются к предельному циклу на время, приближающееся к. Соответствующее утверждение верно для внутренней траектории, которая приближается к предельному циклу при приближении времени, а также для внешних траекторий, приближающихся к предельному циклу.
Стабильные, нестабильные и полустабильные предельные циклы
В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу, когда время приближается к бесконечности, он называется устойчивым или притягивающим предельным циклом (ω-предельным циклом). Если вместо этого все соседние траектории приближаются к нему, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если есть соседняя траектория, которая закручивается в предельный цикл, когда время приближается к бесконечности, и другая, которая закручивается в нее, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это полустабильный предельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни стабильными, ни нестабильными, ни полустабильными: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу извне, но внутренняя часть предельного цикла приближается к семейству других циклов (что не t - предельные циклы).
Стабильные предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают самоподдерживающиеся колебания : замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое возмущение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.
Поиск предельных циклов
Каждая замкнутая траектория содержит внутри себя стационарную точку системы, т. Е. Точку где . Критерий дюлак и Пуанкар-Бендиксон теорема предсказать отсутствие или наличие, соответственно, предельных циклов двумерный нелинейных динамических систем.
Открытые проблемы
Поиск предельных циклов, вообще говоря, очень сложная задача. Число предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости - главный объект второй части шестнадцатой проблемы Гильберта . Неизвестно, например, есть ли какая-нибудь система в плоскости, где обе составляющие являются квадратичными многочленами от двух переменных, так что система имеет более 4 предельных циклов.
Приложения
Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с автоколебаниями. Вот некоторые примеры:
- Аэродинамические колебания предельного цикла [1]
- Модель Ходжкина – Хаксли для потенциалов действия в нейронах .
- Модель гликолиза Селькова . [2]
- Суточные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма . [3] [4]
- Миграции из раковых клеток в ограничивающем микро-средах следующим образом колебания предельного цикла. [5]
- Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют колебания предельного цикла [6], которые вдохновили исходную модель Ван дер Поля .
- Контроль дыхания и кроветворения в уравнениях Макки-Гласса . [7]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Томас, Джеффри П .; Доуэлл, Эрл Х .; Холл, Кеннет С. (2002), «Нелинейные аэродинамические эффекты невязкой жидкости на трансзвуковую расходимость, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF) , журнал AIAA , Американский институт аэронавтики и астронавтики, 40 (4): 638, Bibcode : 2002AIAAJ ..40..638T , doi : 10.2514 / 2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.
- ^ Сельков Э.Е. (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель». Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. DOI : 10.1111 / j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . PMID 4230812 .
- ^ Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1999-12-01). «Модели предельного цикла для циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у Drosophila и Neurospora». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. DOI : 10.1177 / 074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . PMID 10643740 . S2CID 15074869 .
- ^ Роеннеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов». Текущая биология . 18 (17): R826 – R835. DOI : 10.1016 / j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . PMID 18786388 . S2CID 2798371 .
- ^ Брюкнер, Дэвид Б .; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Рёттгерманн, Питер Дж. Ф.; Редлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в системах с двумя состояниями». Физика природы . 15 (6): 595–601. Bibcode : 2019NatPh..15..595B . DOI : 10.1038 / s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .
- ^ Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012 г.). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023120. arXiv : 1408.4890 . Bibcode : 2012Chaos..22b3120G . DOI : 10.1063 / 1.3670008 . ISSN 1054-1500 . PMID 22757527 . S2CID 293369 .
- ^ Mackey, M .; Стекло, L (1977-07-15). «Колебания и хаос в физиологических системах управления» . Наука . 197 (4300): 287–289. DOI : 10.1126 / science.267326 . ISSN 0036-8075 .
дальнейшее чтение
- Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Авалон. ISBN 9780813349114.
- М. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (второе изд.). СИАМ. ISBN 9780898715262.
- Филип Хартман, «Обыкновенное дифференциальное уравнение», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
- Витольд Гуревич, "Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям", Довер, 2002 г.
- Соломон Лефшец, "Дифференциальные уравнения: геометрическая теория", Довер, 2005.
- Лоуренс Перко, "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Springer-Verlag, 2006.
- Артур Маттак, «Предельные циклы: критерии существования и несуществования», MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#
Внешние ссылки
- «предельный цикл» . planetmath.org . Проверено 6 июля 2019 .