Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра

Эшер твердый. На этом изображении звездчатость не изображена, потому что разные видимые части одной шестиугольной грани звездообразной формы имеют разные цвета. Однако раскраска соответствует изображению многогранного соединения трех уплощенных октаэдров.

STL-модель первой звездчатой ​​формы ромбического додекаэдра, разложенной на 12 пирамид и 4 полукуба

Тело Эшера топологически эквивалентно додекаэдру дисдиакиса , каталонскому телу , которое можно рассматривать как ромбический додекаэдр с более короткими ромбическими пирамидами, увеличенными на каждой грани.

В геометрии , то первый плеяде'ученых из ромбического додекаэдра является самопересекающийся полиэдр с 12 граней, каждая из которых представляет собой невыпуклая шестиугольник. Это плеяде'ученый из ромбического додекаэдра и имеет ту же внешнюю оболочку и тот же внешний вид , как две других формы: твердый, Эшер твердого вещества , с 48 треугольными гранями, а многогранное соединением из трех уплощенных октаэдров с 24 перекрывающимися треугольными гранями.

Твердое тело Эшера может разбить пространство на мозаику, чтобы сформировать звездчатые ромбические додекаэдрические соты .

Звездчатые, твердые и составные [ править ]

Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра имеет 12 граней, каждая из которых представляет собой невыпуклый шестиугольник. ^[1] Это плеяде'ученое из ромбического додекаэдра , а это означает , что каждый из его граней лежат в той же плоскости, что и один из ромбических граней ромбического додекаэдра, с каждой гранью , содержащей ромб в одной и ту же плоскости, и что она имеет те же симметрии, что и ромбический додекаэдр. Это первая звездчатая форма, означающая, что никакой другой самопересекающийся многогранник с такими же плоскостями граней и такой же симметрией не имеет меньших граней. Расширение граней наружу еще дальше в тех же плоскостях приводит к еще двум звездчатым образованиям, если требуется, чтобы грани были простыми многоугольниками . ^[2]

Для многогранников, сформированных только с использованием граней в одних и тех же 12 плоскостях и с одинаковой симметрией, но с разрешенными гранями стать непростыми или с несколькими гранями в одной плоскости, возникают дополнительные возможности. ^[2] В частности, удаление внутреннего ромба с каждой шестиугольной грани звездообразной формы оставляет четыре треугольника, и полученная система из 48 треугольников образует другой невыпуклый многогранник без самопересечений, который образует границу твердой формы, иногда называемую Эшер твердый. Эта форма появляется в работах М.С. Эшера « Водопад» и в исследовании « Звезды» (хотя сами Звезды имеют другую форму - соединение трех октаэдров ). ^[3]Поскольку звездочка и твердое тело имеют одинаковый внешний вид, невозможно определить, какой из двух Эшер намеревался изобразить в « Водопаде» . В « Этюде для звезд» Эшер изображает многогранник в скелетной форме и включает ребра, которые являются частью скелетной формы твердого тела Эшера, но не являются частью звездчатой ​​формы. (В звёздчатой ​​форме эти отрезки образуются пересечением граней, а не краев.) Однако альтернативная интерпретация той же скелетной формы состоит в том, что она изображает третью форму с похожим внешним видом, многогранное соединение трех уплощенных октаэдров с 24 перекрывающиеся треугольные грани. ^[4]

48 треугольных граней тела равнобедренные; если самый длинный край этих треугольников равен длине, то два других равны , площадь поверхности твердого тела равна, а объем твердого тела равен .${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} s}$${\ displaystyle 12 {\ sqrt {2}} s ^ {2}}$${\ displaystyle 4s ^ {3}}$

Вершины, ребра и грани [ править ]

Вершины первой звездчатой ​​формы ромбического додекаэдра включают 12 вершин кубооктаэдра вместе с восемью дополнительными вершинами (вершины степени 3 ромбического додекаэдра). Тело Эшера имеет шесть дополнительных вершин в центральных точках квадратных граней кубооктаэдра (вершины четвертой степени ромбического додекаэдра). В первой звездчатой ​​форме ромбического додекаэдра эти шесть точек не являются вершинами, а являются серединами пар ребер, пересекающихся под прямым углом в этих точках.

Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра имеет 12 шестиугольных граней, 36 ребер и 20 вершин, что дает эйлерову характеристику 20 - 36 + 12 = −4. ^[1] Тело Эшера вместо этого имеет 48 треугольных граней, 72 ребра и 26 вершин, что дает эйлерову характеристику 26 - 72 + 48 = 2.

Тесселяция [ править ]

Твердое тело Эшера может замощить пространство в звездчатых ромбических додекаэдрических сотах . ^[5] Шесть тел пересекаются в каждой вершине. Этот сотовый является клетка-транзитивным , край транзитивным и вершина транзитивным .

Есимото Куб , рассечение головоломка между кубом и двумя копиями твердого Эшера, тесно связана с этой тесселяции.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра" . MathWorld .
• Джордж Харт, Stellations