Субпроизводная

Выпуклая функция (синий) и «субкасательные линии» в точке x ₀ (красный).

В математике , в Субдифференциале , субградиент и Субдифференциал обобщает производный для выпуклых функций , которые не обязательно дифференцируемы . Подпроизводные возникают в выпуклом анализе , изучении выпуклых функций , часто в связи с выпуклой оптимизацией .

Пусть - вещественнозначная выпуклая функция, определенная на открытом отрезке вещественной прямой. Такая функция не обязательно должна быть дифференцируемой во всех точках: например, функция абсолютного значения f ( x ) = | х | недифференцируема при x = 0. Однако, как видно на графике справа (где f (x) синим цветом имеет недифференцируемые изгибы, аналогичные функции абсолютного значения), для любого x ₀ в области определения функции можно провести линию, проходящую через точка ( x ₀ , f ( x ₀${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$)) и который всюду либо касается графика f, либо ниже него . Наклон такой линии называется Субдифференциал (потому что линия находится под графиком F ).

Определение [ править ]

Строго говоря, производная выпуклой функции в точке x ₀ на открытом интервале I - это действительное число c такое, что ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq c (x-x_ {0})}$

для всех х в I . Можно показать, что множество подчиненных в точке x ₀ для выпуклой функции представляет собой непустой отрезок [ a , b ], где a и b - односторонние пределы

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

которые гарантированно существуют и удовлетворяют a ≤ b ^{[ необходима цитата ]} .

Множество всех подчиненных производных [ a , b ] называется субдифференциалом функции f в точке x ₀ . Поскольку f выпуклая, если ее субдифференциал at содержит ровно одну производную, то f дифференцируем в точке . ^[1]${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Примеры [ править ]

Рассмотрим функцию f ( x ) = | х | который выпуклый. Тогда субдифференциал в нуле - это интервал [−1, 1]. Субдифференциал в любой точке x ₀ <0 - это одноэлементный набор {−1}, а субдифференциал в любой точке x ₀ > 0 - одноэлементный набор {1}. Это похоже на знаковую функцию , но не является однозначной функцией в 0, а включает все возможные подчиненные производные.

Свойства [ править ]

• Выпуклая функция f : I → R дифференцируема в точке x ₀ тогда и только тогда, когда субдифференциал состоит только из одной точки, которая является производной в точке x ₀ .
• Точка x ₀ является глобальным минимумом выпуклой функции f тогда и только тогда, когда ноль содержится в субдифференциале, то есть на рисунке выше можно провести горизонтальную «субкасательную линию» к графику f в точке ( x ₀ , f ( x ₀ )). Это последнее свойство является обобщением того факта, что производная функции, дифференцируемой в локальном минимуме, равна нулю.
• Если и - выпуклые функции с субдифференциалами и , то субдифференциал от равен (где оператор сложения обозначает сумму Минковского ). Это читается как «субдифференциал суммы есть сумма субдифференциалов». ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \partial f(x)}$${\displaystyle \partial g(x)}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$

Субградиент [ править ]

Понятия субпроизводной и субдифференциала можно обобщить на функции нескольких переменных. Если f : U → R - выпуклая функция с действительными значениями, определенная на выпуклом открытом множестве в евклидовом пространстве R ⁿ , вектор в этом пространстве называется субградиентом в точке x ₀ в U, если для любого x в U выполняется${\displaystyle v}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0})}$

где точка обозначает скалярное произведение . Множество всех субградиентов в точке x ₀ называется субдифференциалом в точке x ₀ и обозначается ∂ f ( x ₀ ). Субдифференциал - это всегда непустой выпуклый компакт .

Эти понятия обобщают далее выпуклых функций F : U → R на выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве V . Функционал ^∗ в сопряженном пространстве V ^∗ называется субградиентом в точке x ₀ в U, если для всех x в U${\displaystyle v}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

Множество всех субградиентов в точке x ₀ называется субдифференциалом в точке x ₀ и снова обозначается ∂ f ( x ₀ ). Субдифференциал всегда является выпуклым замкнутым множеством . Это может быть пустой набор; рассмотрим, например, неограниченный оператор , который является выпуклым, но не имеет субградиента. Если f непрерывна, субдифференциал непуст.

История [ править ]

Субдифференциал выпуклых функций был введен Жаном Жаком Моро и Р. Тирреллом Рокафелларом в начале 1960-х годов. Обобщен Субдифференциал для невыпуклых функций был введен FH Кларком и RT Рокфеллером в начале 1980 - х годов. ^[3]

См. Также [ править ]

• Слабая производная
• Субградиентный метод

Ссылки [ править ]

• Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан С. (2010). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-31256-9.
• Хириар-Уррути, Жан-Батист; Лемарешаль, Клод (2001). Основы выпуклого анализа . Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . World Scientific Publishing Co., Inc., стр. Xx + 367. ISBN 981-238-067-1. Руководство по ремонту  1921556 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Использование » lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h {\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}} . Обмен стеками . 15 июля 2002 г.