В геометрии координаты линии используются для указания положения линии точно так же, как координаты точки (или просто координаты ) используются для указания положения точки.
Есть несколько возможных способов указать положение линии на плоскости. Простым способом является пара ( m , b ) , где уравнение линии y = mx + b . Здесь m — наклон , а b — точка пересечения с осью y . Эта система определяет координаты для всех линий, которые не являются вертикальными. Однако более распространено и проще алгебраически использовать координаты ( l , m ) , где уравнение линии равно lx + my + 1 = 0. Эта система задает координаты для всех линий, кроме тех, которые проходят через начало координат. Геометрические интерпретации l и m являются отрицательными величинами, обратными точкам пересечения x и y соответственно.
Исключение линий, проходящих через начало координат, можно разрешить, используя систему трех координат ( l , m , n ) , чтобы указать линию с помощью уравнения lx + my + n = 0. Здесь l и m не могут быть оба равны 0. В этом уравнении важны только отношения между l , m и n , другими словами, если координаты умножаются на ненулевой скаляр, то представленная линия остается той же. Итак, ( l , m , n ) — это системаоднородные координаты прямой.
Если точки на реальной проективной плоскости представлены однородными координатами ( x , y , z ) , уравнение линии lx + my + nz = 0 при условии ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . В частности, координата линии (0, 0, 1) представляет линию z = 0, которая является бесконечно удаленной линией в проективной плоскости . Координаты линии (0, 1, 0) и (1, 0, 0) представляют xи оси y соответственно.
Точно так же, как f ( x , y ) = 0 может представлять кривую как подмножество точек на плоскости, уравнение φ ( l , m ) = 0 представляет подмножество линий на плоскости. Множество линий на плоскости можно в абстрактном смысле рассматривать как множество точек на проективной плоскости, двойственной исходной плоскости. Тогда уравнение φ( l , m ) = 0 представляет собой кривую в двойственной плоскости.
Для кривой f ( x , y ) = 0 на плоскости касательные к кривой образуют кривую в двойственном пространстве, называемую двойственной кривой . Если φ( l , m ) = 0 — уравнение двойственной кривой, то оно называется касательным уравнением для исходной кривой. Заданное уравнение φ( l , m ) = 0 представляет собой кривую в исходной плоскости, определяемую как огибающую линий, удовлетворяющих этому уравнению. Аналогично, если φ( l , m , n ) — однородная функция , то φ( l, m , n ) = 0 представляет собой кривую в двойственном пространстве, заданную в однородных координатах, и может быть названа однородным касательным уравнением огибающей кривой.