В математике тензорное произведение модулей — это конструкция, которая позволяет проводить рассуждения о билинейных картах (например, умножение) в терминах линейных карт . Построение модуля аналогично построению тензорного произведения векторных пространств , но может быть проведено для пары модулей над коммутативным кольцом , дающим третий модуль, а также для пары правого модуля и левого модуля. модуль над любым кольцом , в результате чего получается абелева группа . Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры, алгебраическая топология , алгебраическая геометрия , операторные алгебры и некоммутативная геометрия . Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной алгебре. Это позволяет изучать билинейные или полилинейные операции с помощью линейных операций . Тензорное произведение алгебры и модуля можно использовать для расширения скаляров . Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей можно повторить, чтобы сформировать тензорную алгебру модуля, что позволяет определить умножение в модуле универсальным способом.
Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N и абелевой группы G отображение φ : M × N → G называется R -уравновешенным , R -среднелинейным или R -сбалансированный продукт , если для всех m , m ′ в M , n , n ′ в N и r в R выполняется следующее: [1]: 126
Если φ , ψ — уравновешенные произведения, то каждая из операций φ + ψ и − φ , определенных поточечно , является уравновешенным произведением. Это превращает множество L R ( M , N ; G ) в абелеву группу.
При фиксированных M и N отображение G ↦ L R ( M , N ; G ) является функтором из категории абелевых групп в себя. Часть морфизма задается отображением группового гомоморфизма g : G → G ′ в функцию φ ↦ g ∘ φ , которая идет из L R ( M , N ; G ) в L R ( M, Н ; Г ′) .
Как и все универсальные свойства , указанное выше свойство определяет тензорное произведение однозначно с точностью до единственного изоморфизма: любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с теми же свойствами будут изоморфны M ⊗ RN и ⊗ . В самом деле, отображение ⊗ называется каноническим или, точнее, каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения. [3]
Тензорное произведение также может быть определено как представляющий объект для функтора G → LR ( M , N ; G ) ; явно это означает, что существует естественный изоморфизм :