Расстояние трассировки

В квантовой механике , и особенно в квантовой информации и изучении открытых квантовых систем , расстояние следа T является метрикой в пространстве матриц плотности и дает меру различимости между двумя состояниями. Это квантовое обобщение расстояния Колмогорова для классических распределений вероятностей.

Определение [ править ]

Расстояние следа составляет половину нормы следа разности матриц:

${\ Displaystyle T (\ rho, \ sigma): = {\ frac {1} {2}} || \ rho - \ sigma || _ {1} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm { Tr} \ left [{\ sqrt {(\ rho - \ sigma) ^ {\ dagger} (\ rho - \ sigma)}} \ right].}$

Здесь для положительно полуопределенной матрицы A обозначает положительную полуопределенную матрицу B такую, что . Обратите внимание, что B - это уникальная матрица, определенная таким образом.${\ displaystyle {\ sqrt {A}}}$${\ displaystyle B ^ {2} = A}$

(Норма следа - это норма Шаттена для p = 1.) Назначение множителя два состоит в том, чтобы ограничить расстояние следа между двумя нормализованными матрицами плотности диапазоном [0, 1] и упростить формулы, в которых появляется расстояние следа .

Поскольку матрицы плотности эрмитовы ,

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{2}}}\right]={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|,}$

где - собственные значения эрмитовой, но не обязательно положительной матрицы .${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (\rho -\sigma )}$

Физическая интерпретация [ править ]

Используя двойственность Гёльдера для норм Шаттена , расстояние следа может быть записано в вариационной форме как ^[1]

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

Что касается его классического аналога, расстояние до следа можно связать с максимальной вероятностью различения двух квантовых состояний:

Например, предположим, что Алиса подготавливает систему в состоянии или , каждое с вероятностью, и отправляет ее Бобу, который должен различать два состояния с помощью двоичного измерения. Пусть Боб назначит результат измерения и элемент POVM, такой как результат, и элемент POVM, чтобы идентифицировать состояние или , соответственно. Его ожидаемая вероятность правильного определения входящего состояния тогда определяется выражением${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

Следовательно, при применении оптимального измерения Боб имеет максимальную вероятность

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

правильного определения того, в каком состоянии Алиса подготовила систему. ^[2]

Свойства [ править ]

Расстояние трассировки имеет следующие свойства ^[1]

• Это метрика на пространстве матриц плотности, т.е. она неотрицательна, симметрична и удовлетворяет неравенству треугольника , и${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$и тогда и только тогда, когда и имеют ортогональные опоры${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$
• Он сохраняется при унитарных преобразованиях :${\displaystyle T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )}$
• Он сжимается относительно сохраняющих след CP-отображений , т. Е. Если является CPT-отображением, то${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• Он выпуклый на каждом из своих входов. Например${\displaystyle T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )}$

Для кубитов расстояние следа равно половине евклидова расстояния в представлении Блоха .

Связь с другими мерами расстояния [ править ]

Верность [ править ]

Верность два квантовых состояний связана с расстоянием следа неравенств${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$${\displaystyle T(\rho ,\sigma )}$

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

Неравенство верхней границы превращается в равенство, когда и являются чистыми состояниями . [Обратите внимание, что определение Fidelity, используемое здесь, является квадратом того, что используется в Nielsen и Chuang]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

Общее расстояние вариации [ править ]

Расстояние следа является обобщением общего расстояния вариации , и для двух коммутирующих матриц плотности имеет то же значение, что и полное расстояние вариации двух соответствующих распределений вероятностей.

Ссылки [ править ]