Триальность

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Автоморфизмы диаграммы Дынкина D ₄ порождают тройственность в Spin (8).

В математике , триальность взаимосвязь между тремя векторными пространствами , аналогична двойственностью соотношением между двумя векторными пространствами . Чаще всего он описывает те особенности диаграммы Дынкина D ₄ и связанной с ней группы Ли Spin (8) , двойное покрытие 8-мерной группы вращений SO (8) , возникающее из-за того, что группа имеет внешний автоморфизм третьего порядка. Существует геометрическая версия тройственности, аналогичная двойственности в проективной геометрии .

Из всех простых групп Ли Spin (8) имеет наиболее симметричную диаграмму Дынкина D ₄ . На схеме четыре узла, один из которых расположен в центре, а остальные три прикреплены симметрично. Группа симметрии диаграммы - это симметрическая группа S _3, которая действует, переставляя три катета. Это порождает S ₃ группу внешних автоморфизмов Spin (8). Эта группа автоморфизмов переставляет три 8-мерных неприводимых представления Spin (8); это векторное представление и два киральных спинапредставления. Эти автоморфизмы не проецируются на автоморфизмы SO (8). Векторное представление - естественное действие SO (8) (отсюда Spin (8)) на $F 8 -$ состоит из вещественных чисел евклидовых 8-векторов и обычно известно как «определяющий модуль», в то время как представления кирального спина являются также известные как «представления половинного спина» , и все три из них являются фундаментальными представлениями .

Никакая другая диаграмма Дынкина не имеет группы автоморфизмов порядка выше 2; для других D _n (соответствующих другим четным Spin-группам, Spin (2 n )) все еще существует автоморфизм, соответствующий переключению двух полусиновых представлений, но они не изоморфны векторному представлению.

Грубо говоря, симметрии диаграммы Дынкина приводят к автоморфизмам здания Брюа – Титса, ассоциированного с группой. Для специальных линейных групп получается проективная двойственность. Для Spin (8) можно обнаружить любопытное явление, связанное с 1-, 2- и 4-мерными подпространствами 8-мерного пространства, исторически известное как «геометрическая тройственность».

Исключительная 3-кратная симметрия диаграммы D ₄ также порождает группу Стейнберга ³ D ₄ .

Общая формулировка [ править ]

Двойственность между двумя векторными пространствами над полем $F$ - это невырожденная билинейная форма

{\ displaystyle V_ {1} \ times V_ {2} \ to F,}

т. е. для каждого ненулевого вектора $v$ в одном из двух векторных пространств спаривание с $v$ является ненулевым линейным функционалом в другом.

Точно так же тройственность между тремя векторными пространствами над полем $F$ является невырожденной трилинейной формой

{\ displaystyle V_ {1} \ times V_ {2} \ times V_ {3} \ to F,}

т.е. каждый ненулевой вектор в одном из трех векторных пространств индуцирует двойственность между двумя другими.

Выбирая векторы $e i$ в каждом $V i,$ на котором трилинейная форма принимает значение 1, мы обнаруживаем, что все три векторных пространства изоморфны друг другу и их двойникам. Обозначив это общее векторное пространство буквой $V$ , тройственность можно выразить как билинейное умножение.

{\ Displaystyle V \ раз от V \ до V}

где каждый из $е I$ соответствует единичному элементу в $V$ . Из условия невырожденности теперь следует, что $V$ - композиционная алгебра . Отсюда следует, что $V$ имеет размерность 1, 2, 4 или 8. Если далее $F = R$ и форма, используемая для отождествления $V$ с двойственным ему, положительно определена , то $V$ является евклидовой алгеброй Гурвица и, следовательно, изоморфна R , C , Н или О .

И наоборот, композиционные алгебры немедленно вызывают пробные операции, принимая каждое $V i$ равным алгебре и сокращая умножение со скалярным произведением на алгебре, чтобы получить трилинейную форму.

Альтернативная конструкция триальности использует спиноры в размерностях 1, 2, 4 и 8. Восьмимерный случай соответствует свойству тройственности Spin (8).

См. Также [ править ]

Тройное произведение , может быть связано с четырехмерной тройственностью (по кватернионам )

Ссылки [ править ]

Джон Фрэнк Адамс (1981), Spin (8), Triality, F ₄ и все такое в «Суперпространстве и супергравитации», под редакцией Стивена Хокинга и Мартина Рочека, Cambridge University Press, страницы 435–445.
Джон Фрэнк Адамс (1996), Лекции по исключительным группам лжи (Чикагские лекции по математике), под редакцией Зафера Махмуда и Маморы Мимуры, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. 44 . С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001 .
Уилсон, Роберт (2009). Конечные простые группы . Тексты для выпускников по математике . 251 . Springer-Verlag . ISBN 1-84800-987-9. Zbl 1203.20012 .

Внешние ссылки [ править ]

Спиноры и испытания Джона Баэза
Триалити с Zometool Дэвида Рихтера