Шкала Болена-Пирса ( шкала BP ) - это музыкальный строй и гамма , впервые описанные в 1970-х годах, которые предлагают альтернативу октавно- повторяющимся гаммам, типичным для западной и другой музыки [1], в частности, диатонической гамме с равным темпом .
Интервал 3: 1 (часто называемый новым именем, тритаве ) служит основным гармоническим соотношением, заменяя диатонический строй 2: 1 (октаву). Для любой высоты звука, которая является частью шкалы BP, все высоты одной или нескольких тритав выше или ниже также являются частью системы и считаются эквивалентными.
Шкала BP делит тритав на 13 ступеней, равномерных темперированных (самая популярная форма) или точно настроенной версии. По сравнению с октавно-повторяющимися гаммами интервалы шкалы BP более созвучны определенным типам акустических спектров . [ необходима цитата ]
Шкала была описана независимо друг от друга Heinz Болен , [2] Кис ван Prooijen [3] и Джон Р. Пирс . Пирс, который вместе с Максом Мэтьюзом и другими опубликовал свое открытие в 1984 году, [4] переименовал шкалу Пирса 3579b и ее хроматический вариант в шкалу Болена – Пирса после того, как узнал о более ранней публикации Болена. Болен предложил ту же шкалу, основанную на рассмотрении влияния комбинационных тонов на гештальт- впечатление от интервалов и аккордов. [5]
Интервалы между классами высоты тона шкалы BP основаны на нечетных целочисленных частотных отношениях, в отличие от интервалов в диатонических шкалах, которые используют как нечетные, так и четные отношения, найденные в гармоническом ряду . В частности, шаги шкалы BP основаны на соотношении целых чисел, коэффициенты которых равны 3, 5 и 7. Таким образом, шкала содержит гармонии согласных, основанные на нечетных гармонических обертонах 3: 5: 7: 9 ( воспроизведение ( помощь · информация ) ). Аккорд, образованный соотношением 3: 5: 7 ( игра ( помощь · информация ) ), выполняет почти ту же роль, что и аккорд 4: 5: 6 ( игра мажорных трезвучий). ( справка · информация ) ) в диатонических гаммах (3: 5: 7 = 1: 1+2/3: 2+1/3и 4: 5: 6 = 2: 2+1/2: 3 = 1: 1+1/4: 1+1/2).
Аккорды и модуляция [ править ]
Схема интонационной чувствительности 3: 5: 7 такова, что интонация 4: 5: 6 (только мажорный аккорд) больше похожа, чем у минорного аккорда. [6] Это сходство предполагает, что наши уши также будут воспринимать 3: 5: 7 как гармонию.
Таким образом, аккорд 3: 5: 7 можно считать основным трезвучием шкалы BP. Она аппроксимируется интервалом 6 равных уравновешенным BP полутонов ( игры один полутон ( помощь · информации ) ) на дне и с интервалом в 4 равных закаленных полутонах на вершину (полутон: 0,6,10; игра ( помощь · информации ) ). У минорного трезвучия соответственно 6 полутонов вверху и 4 полутона внизу (0,4,10; play ( help · info ) ). 5: 7: 9 - первая инверсия мажорного трезвучия (0,4,7; play ( help · info ) ). [7]
Исследование хроматических трезвучий, образованных произвольными комбинациями 13 тонов хроматической гаммы среди двенадцати музыкантов и двенадцати неподготовленных слушателей, показало, что 0,1,2 (полутона) являются наиболее диссонирующим аккордом ( play ( help · info ) ), но 0 , 11,13 ( игра ( помощь · информация ) ) было сочтено наиболее согласным обученным испытуемым, а 0,7,10 ( игра ( помощь · информация ) ) было оценено как наиболее созвучное неподготовленным испытуемым. [8]
Каждый тон гаммы Pierce 3579b находится в мажорном и минорном трезвучии, за исключением тона II гаммы. Есть тринадцать возможных ключей. Модуляция возможна путем изменения одной ноты. Перемещение ноты II на один полутон вызывает повышение тоники до уровня III (полутон: 3), который, следовательно, может считаться доминантой . VIII (полутон: 10) можно рассматривать как субдоминанту . [7]
Тембр и тритаве [ править ]
3: 1 служит соотношением основных гармоник, заменяя диатонический звукоряд 2: 1 ( октаву ). ( play ( help · info ) ) Этот интервал представляет собой идеальную двенадцатую часть в диатонической номенклатуре ( идеальная квинта при уменьшении на октаву), но поскольку эта терминология основана на размерах шагов и функциях, не используемых в шкале BP, ее часто называют новое имя, tritave ( игра ( помощь · информация ) ), в контексте BP, относящееся к его роли как псевдооктавы , и используя префикс «три-» (три), чтобы отличить его от октавы. В обычных гаммах, если заданная высота звука является частью системы, тогда все высоты звука на одну или несколько октав выше или ниже также являются частью системы и, кроме того, считаются эквивалентными . В шкале BP, если присутствует заданная высота тона, то нет ни одной из высот на одну или более октав выше или ниже, но все высоты звука на одну или несколько тритав выше или ниже являются частью системы и считаются эквивалентными.
Использование шкалы BP нечетных целочисленных отношений подходит для тембров, содержащих только нечетные гармоники. Поскольку спектр кларнета (в регистре chalumeau ) состоит в основном из нечетных гармоник, а инструмент перекрывает звук на двенадцатой (или тритаве), а не на октаве, как это делают большинство других деревянных духовых инструментов, между ним и Шкала Болена – Пирса. В начале 2006 года производитель кларнетов Стивен Фокс начал предлагать на продажу кларнеты-сопрано Болена – Пирса. Он выпустил первый тенор-кларнет ВР (на шесть ступеней ниже сопрано) в 2010 году и первый эпсилон-кларнет (на четыре ступени выше сопрано) в 2011 году. Контра-кларнет (на один тритав ниже сопрано) сейчас (2020) играет Нора. Мюллер, Любек, Германия.
Просто тюнинг [ править ]
Диатоническая шкала Болена – Пирса может быть построена со следующими точными соотношениями (диаграмма показывает шкалу «Лямбда» (λ)):
| Примечание | Имя | C | D | E | F | грамм | ЧАС | J | А | B | C | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Степень | |||||||||||||||||||||
| Соотношение | 1: 1 | 25:21 | 9: 7 | 7: 5 | 5: 3 | 9: 5 | 15: 7 | 7: 3 | 25: 9 | 3: 1 | |||||||||||
| Центов | 0 | 301,85 | 435,08 | 582,51 | 884,36 | 1017,60 | 1319,44 | 1466,87 | 1768,72 | 1901,96 | |||||||||||
| Миди | C ( помощь · информация ) | D ( помощь · информация ) | E ( помощь · информация ) | F ( помощь · информация ) | G ( помощь · информация ) | H ( помощь · информация ) | J ( помощь · информация ) | A ( помощь · информация ) | B ( помощь · информация ) | C ( помощь · информация ) | |||||||||||
| Шаг | Имя | Т | s | S | Т | s | Т | S | Т | s | |||||||||||
| Соотношение | 25:21 | 27:25 | 49:45 | 25:21 | 27:25 | 25:21 | 49:45 | 25:21 | 27:25 | ||||||||||||
| Центов | 301,85 | 133,24 | 147,43 | 301,85 | 133,24 | 301,85 | 147,43 | 301,85 | 133,24 | ||||||||||||
сыграть только шкалу Болена – Пирса «Лямбда» ( справка · информация ), противопоставить ее только основной диатонической шкале ( справка · информация )
Шкала Just BP может быть построена из четырех перекрывающихся аккордов 3: 5: 7, например, V, II, VI и IV, хотя для создания аналогичной гаммы могут быть выбраны разные аккорды: [9]
(5: 3) (7: 5)V IX III | III VII I | VI I IV | IV VIII II
Темперамент Болена – Пирса [ править ]
Изначально Болен выразил шкалу ВР как в простой интонации, так и в одинаковой темперации . Закаленная форма, которая делит tritave на тринадцать равные шаги, стала самой популярной формой. Каждый шаг 13 √ 3 = 3 1 / 13 = 1,08818 ... выше другой, или 1200 журнал 2 (3 1 / 13 ) = 146,3 ... центов за один шаг. Октава разделена на дробное количество шагов. Двенадцать одинаково темперированных шагов на октаву используются в 12-тет.. Шкалу Болена – Пирса можно описать как 8.202087-tet, потому что полная октава (1200 центов), разделенная на 146,3… центов на шаг, дает 8.202087 шагов на октаву.
Разделив tritave на 13 равных шаги характеров вне, или сводишься к унисону, оба из интервалов 245: 243 (около 14 центов, иногда называемых незначительным Больно-Пирс знаком сноски в виде двойного крестиком ) и 3125: 3087 (около 21 центов, иногда называют основнымы Болен-Пирс diesis) точно так же, как разделение октавы на 12 равных шагов сокращает до унисона 81:80 ( синтоническая запятая ) и 128: 125 ( 5-предельная лимма ). 7-линейный предел темперамент характеров , выполненные оба из этих интервалов; полученный в результате темперамент Болена-Пирса больше не имеет ничего общего с эквивалентами тритавы или неоктавными гаммами, за исключением того факта, что он хорошо приспособлен к их использованию. Настроечный из 41 равных шагов к октаве ( 1200⁄ 41 = 29,27 цента за шаг) вполне логично для этого темперамента. В такой настройке темперированная совершенная двенадцатая ступень (1902,4 цента, примерно на полцента больше, чем просто двенадцатая) делится на 65 равных ступеней, что приводит к кажущемуся парадоксу: взятие каждой пятой ступени этой основанной на октаве шкалы дает отличное приближение. до неоктавной равномерно темперированной шкалы АД. Кроме того, интервал из пяти таких шагов генерирует (на основе октав) MOS с 8, 9 или 17 нотами и 8-нотную шкалу (включающую степени 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 и 35 нот). шкала, равная 41), может считаться октавно-эквивалентной версией шкалы Болена – Пирса.
Диаграммы интервалов и масштабов [ править ]
Ниже приведены тринадцать нот шкалы (центы округлены до ближайшего целого числа):
Точно настроенный
| Интервал (центы) | 133 | 169 | 133 | 148 | 154 | 147 | 134 | 147 | 154 | 148 | 133 | 169 | 133 | |||||||||||||||
| Название заметки | C | D ♭ | D | E | F | G ♭ | грамм | ЧАС | J ♭ | J | А | B ♭ | B | C | ||||||||||||||
| Примечание (центы) | 0 | 133 | 302 | 435 | 583 | 737 | 884 | 1018 | 1165 | 1319 | 1467 | 1600 | 1769 | 1902 г. | ||||||||||||||
Равномерный
| Интервал (центы) | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | |||||||||||||||
| Название заметки | C | C ♯ / D ♭ | D | E | F | F ♯ / G ♭ | грамм | ЧАС | H ♯ / J ♭ | J | А | A ♯ / B ♭ | B | C | ||||||||||||||
| Примечание (центы) | 0 | 146 | 293 | 439 | 585 | 732 | 878 | 1024 | 1170 | 1317 | 1463 | 1609 | 1756 | 1902 г. | ||||||||||||||
играть равную темперированную шкалу Болена – Пирса ( помощь · информация )
| Шаги | Интервал эквалайзера | Центы в эквалайзере | Просто интонационный интервал | Традиционное имя | Центы за интонацию | Разница |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 0 / 13 = 1,00 | 0,00 | 1: 1 = 1,00 | Унисон | 0,00 | 0,00 |
| 1 | 3 1 / 13 = 1,09 | 146,30 | 27:25 = 1,08 | Великая лимма | 133,24 | 13,06 |
| 2 | 3 2 / 13 = 1,18 | 292,61 | 25:21 = 1,19 | Квази-темперированная минорная треть | 301,85 | -9,24 |
| 3 | 3 3 / 13 = 1,29 | 438,91 | 9: 7 = 1,29 | Септимальная мажорная треть | 435,08 | 3,83 |
| 4 | 3 4 / 13 = 1,40 | 585,22 | 7: 5 = 1,40 | Малый септимальный тритон | 582,51 | 2,71 |
| 5 | 3 5 / 13 = 1,53 | 731,52 | 75:49 = 1,53 | БП пятая | 736,93 | −5,41 |
| 6 | 3 6 / 13 = 1,66 | 877,83 | 5: 3 = 1,67 | Просто мажор шестой | 884,36 | −6,53 |
| 7 | 3 7 / 13 = 1,81 | 1024,13 | 9: 5 = 1,80 | Большой просто второстепенный седьмой | 1017,60 | 6,53 |
| 8 | 3 8 / 13 = 1,97 | 1170,44 | 49:25 = 1,96 | ВР восьмой | 1165,02 | 5,42 |
| 9 | 3 9 / 13 = 2,14 | 1316,74 | 15: 7 = 2,14 | Септималь минор девятый | 1319,44 | -2,70 |
| 10 | - 10 / 13 = 2,33 | 1463,05 | 7: 3 = 2,33 | Септимальная минимальная десятая | 1466,87 | −3,82 |
| 11 | - 11 / 13 = 2,53 | 1609,35 | 63:25 = 2,52 | Квази-темперированный майор десятый | 1600,11 | 9,24 |
| 12 | - 12 / 13 = 2,76 | 1755,66 | 25: 9 = 2,78 | Классическая дополненная одиннадцатая | 1768,72 | -13,06 |
| 13 | - 13 / 13 = 3,00 | 1901,96 | 3: 1 = 3,00 | Только двенадцатое, "тритаве" | 1901,96 | 0,00 |
Музыка и композиция [ править ]
Как эстетически звучит музыка с использованием шкалы Болена – Пирса ? Дэйв Бенсон предлагает использовать только звуки только с нечетными гармониками, включая кларнеты или синтезированные тона, но утверждает, что, поскольку «некоторые из интервалов немного похожи на интервалы в [более знакомой] двенадцатитоновой шкале , но сильно расстроены ", средний слушатель будет постоянно чувствовать, что" что-то не так "из-за социальной обусловленности . [10]
Мэтьюз и Пирс приходят к выводу, что ясные и запоминающиеся мелодии могут быть составлены по шкале BP, что «контрапункт звучит хорошо» и что «аккордовые отрывки звучат как гармония», предположительно означающие прогрессию , «но без какого-либо большого напряжения или чувства решимости» . [11] В их исследовании 1989 года оценки созвучия оба интервала из пяти аккордов, оцененных опытными музыкантами как наиболее согласные, приблизительно являются диатоническими интервалами, предполагая, что их обучение повлияло на их выбор, и что аналогичный опыт работы со шкалой АД также повлияет на их выбор. [8]
Композиции с использованием шкалы Болен-Пирса включают «Purity», первое движение Кертис Роудс " Clang-Tint . [12] Другие компьютерные композиторы, использующие шкалу ВР, включают Джона Эпплтона , Ричарда Буланже ( Торжественная песня для вечера (1990)), Георга Хайду , PPP Хуана Рейеса (1999-2000), [13] Ами Радунская "A Wild". и Безрассудное место »(1990), [14] Чарльз Карпентер ( Frog à la Pêche (1994) и Splat ), [15] [16] и Элейн Уокер ( Stick Men (1991),Песня о любви и великое благо (2011)). [17]
Симпозиум [ править ]
Первый симпозиум Болена – Пирса прошел в Бостоне 7–9 марта 2010 г., его продюсером выступили композитор Георг Хайду ( Hochschule für Musik und Theater Hamburg ) и Бостонское микротональное общество . Соорганизаторами выступили Бостонский институт Гете , Музыкальный колледж Беркли , Северо-Восточный университет и Музыкальная консерватория Новой Англии . Участники симпозиума: Хайнц Болен, Макс Мэтьюз, Кларенс Барлоу , Кертис Роудс , Дэвид Вессель, Психея Луи, Ричард Буланже, Георг Хайду, Пол Эрлих , Рон Сорд, Джулия Вернц, Ларри Полански., Манфред Станке, Стивен Фокс, Элейн Уокер, Тодд Харроп, Гейл Янг, Йоханнес Кретц, Артуро Гролимунд, Кевин Фостер представили 20 работ по истории и свойствам шкалы Болена – Пирса, исполнили более 40 композиций в новой системе и представили несколько новых музыкальных инструментов. Среди исполнителей были немецкие музыканты Нора-Луиза Мюллер и Акос Хоффман на кларнетах Болена – Пирса и Артуро Гролимунд на флейте Болена – Пирса, а также канадский ансамбль tranSpectra и американская американская ксенгармоническая группа ZIA под руководством Элейн Уолкер.
Другие необычные строи или гаммы [ править ]
Другие неоктавные строи, исследованные Боленом [18], включают двенадцать шагов в тритаве, названные Энрике Морено [19] A12 и основанные на игре аккордов 4: 7: 10 ( справка · информация ) , семь шагов в октаве ( 7 -tet ) или аналогичные 11 шагов в тритаве и восемь шагов в октаве, основанные на игре 5: 7: 9 ( справка · информация ), из которых будет использоваться только правильная версия. Кроме того, пентаве можно разделить на восемь шагов, которые приблизительно соответствуют аккордам формы 5: 9: 13: 17: 21: 25. [20] Шкала Болена 833 цента. основан на последовательности Фибоначчи , хотя он был создан из комбинированных тонов , и содержит сложную сеть гармонических отношений из-за включения совпадающих гармоник сложенных интервалов в 833 цента. Например, «шаг 10 совпадает с октавой (1200 центов) основного тона, в то же время с золотым сечением шага 3». [21]
Можно указать альтернативные шкалы, указав размер одинаковых темперированных ступеней, например 78-процентную шкалу альфа Венди Карлос и 63,8-процентную шкалу бета-шкалы и 88-процентную шкалу Гэри Моррисона (13,64 шага на октаву или 14 на 1232 процента растянутой октава). [22] Это дает альфа-шкалу 15,39 шагов на октаву и 18,75 шагов бета-шкалы на октаву. [23]
Расширения [ править ]
39-тональное равное деление тритаве [ править ]
Пол Эрлих предложил разделить каждый шаг Болена – Пирса на три части, чтобы тритав был разделен на 39 равных шагов вместо 13 равных шагов. Шкала, которую можно рассматривать как три равномерно расположенных шкалы Болена-Пирса, дает дополнительные нечетные гармоники. 13-ступенчатая шкала соответствует нечетным гармоникам 3: 1; 5: 3, 7: 3; 7: 5, 9: 5; 9: 7 и 15: 7; в то время как 39-ступенчатая шкала включает все эти и многие другие (11: 5, 13: 5; 11: 7, 13: 7; 11: 9, 13: 9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 и 35:13), при этом по-прежнему отсутствуют почти все четные гармоники (включая 2: 1; 3 : 2, 5: 2; 4: 3, 8: 3; 6: 5, 8: 5; 9: 8, 11: 8, 13: 8 и 15: 8). Размер этой шкалы составляет примерно 25 равных шагов с соотношением немного больше октавы, поэтому каждый из 39 равных шагов немного меньше половины одного из 12 равных шагов стандартной шкалы.[24]
| Количество ступеней с равномерным темпом | Равно темперированный интервал | Размер равномерно темперированного интервала (центы) | Интервал с правильным тоном | Размер правильно произнесенного интервала (центы) | Ошибка (центы) |
|---|---|---|---|---|---|
| 91 | 12,9802 | 4437,90 | 13/1 | 4440,53 | -2,63 |
| 85 | 10,9617 | 4145,29 | 11/1 | 4151,32 | -6,03 |
| 69 | 6,9845 | 3365,00 | 7/1 | 3368,83 | -3,83 |
| 57 | 4,9812 | 2779,78 | 5/1 | 2786,31 | -6,53 |
| 49 | 3,9761 | 2389,64 | 4/1 | 2400.00 | -10,36 |
| 39 | 3,0000 | 1901,96 | 3/1 | 1901,96 | 0,00 |
| 38 | 2,9167 | 1853,19 | 225/77 | 1856,39 | -3,21 |
| 35/12 | 1853,18 | 0,00 | |||
| 32/11 | 1848,68 | 4,50 | |||
| 189/65 | 1847,85 | 5,34 | |||
| 37 | 2,8357 | 1804,42 | 99/35 | 1800,09 | 4,33 |
| 36 | 2,7569 | 1755,65 | 36/13 | 1763,38 | -7,73 |
| 135/49 | 1754,53 | 1,12 | |||
| 11/7 | 1751,32 | 4,33 | |||
| 35 год | 2,6803 | 1706,88 | 35/13 | 1714,61 | -7,73 |
| 34 | 2,6059 | 1658,11 | 13/5 | 1654,21 | 3,90 |
| 33 | 2,5335 | 1609,35 | 63/25 | 1600,11 | 9,24 |
| 33/13 | 1612,75 | -3,40 | |||
| 32 | 2,4631 | 1560,58 | 27/11 | 1554,55 | 6,03 |
| 31 год | 2,3947 | 1511,81 | 12/5 | 1515,64 | -3,83 |
| 117/49 | 1506,79 | 5,02 | |||
| 30 | 2,3282 | 1463,04 | 7/3 | 1466,87 | -3,83 |
| 29 | 2,2635 | 1414,27 | 25/11 | 1421,31 | -7,04 |
| 147/65 | 1412,77 | 1,51 | |||
| 28 год | 2.2006 | 1365,51 | 11/5 | 1365,00 | 0,50 |
| 27 | 2,1395 | 1316,74 | 15/7 | 1319,44 | -2,70 |
| 26 год | 2,0801 | 1267,97 | 27/13 | 1265,34 | 2,63 |
| 25 | 2,0223 | 1219.20 | 99/49 | 1217,58 | 1,63 |
| 24 | 1,9661 | 1170,43 | 49/25 | 1165,02 | 5,41 |
| 23 | 1,9115 | 1121,67 | 21/11 | 1119,46 | 2,20 |
| 22 | 1,8584 | 1072,90 | 13/7 | 1071,70 | 1,20 |
| 21 год | 1,8068 | 1024,13 | 9/5 | 1017,60 | 6.53 |
| 20 | 1,7566 | 975,36 | 135/77 | 972,03 | 3,33 |
| 7/4 | 968,83 | 6,54 | |||
| 19 | 1,7078 | 926,59 | 12/7 | 933,13 | -6,54 |
| 77/45 | 929,92 | -3,33 | |||
| 18 | 1,6604 | 877,83 | 5/3 | 884,36 | -6,53 |
| 17 | 1,6143 | 829,06 | 21/13 | 830,25 | -1,20 |
| 16 | 1,5694 | 780,29 | 11/7 | 782,49 | -2,20 |
| 15 | 1,5258 | 731,52 | 75/49 | 736,93 | -5,41 |
| 14 | 1,4835 | 682,75 | 49/33 | 684,38 | -1,63 |
| 13 | 1,4422 | 633,99 | 13/9 | 636,62 | -2,63 |
| 12 | 1,4022 | 585,22 | 7/5 | 582,51 | 2,70 |
| 11 | 1,3632 | 536,45 | 15/11 | 536,95 | -0,50 |
| 10 | 1,3254 | 487,68 | 65/49 | 489,19 | -1,51 |
| 33/25 | 480,65 | 7,04 | |||
| 9 | 1,2886 | 438,91 | 9/7 | 435,08 | 3,83 |
| 8 | 1,2528 | 390,14 | 49/39 | 395,17 | -5,02 |
| 5/4 | 386,31 | 3,83 | |||
| 7 | 1,2180 | 341,38 | 11/9 | 347,41 | -6,03 |
| 6 | 1,1841 | 292,61 | 13/11 | 289,21 | 3,40 |
| 25/21 | 301,85 | -9,24 | |||
| 5 | 1,1512 | 243,84 | 15/13 | 247,74 | -3,90 |
| 4 | 1,1193 | 195,07 | 39/35 | 187,34 | 7,73 |
| 3 | 1,0882 | 146,30 | 12/11 | 150,64 | -4,33 |
| 49/45 | 147,43 | -1,12 | |||
| 13/12 | 138,57 | 7,73 | |||
| 2 | 1,0580 | 97,54 | 35/33 | 101,87 | -4,33 |
| 1 | 1,0286 | 48,77 | 65/63 | 54,11 | -5,34 |
| 33/32 | 53,27 | -4,50 | |||
| 36/35 | 48,77 | 0,00 | |||
| 77/75 | 45,56 | 3,21 | |||
| 0 | 1,0000 | 0,00 | 1/1 | 0,00 | 0,00 |
65-тонное равное деление тритаве [ править ]
Разделение каждого шага шкалы Болена-Пирса на квинты (так, чтобы тритава была разделена на 65 шагов) дает очень точную октаву (41 шаг) и идеальную пятую часть (24 шага), а также приближения для других интервалов. Шкала практически идентична 41-тонному равному делению октавы, за исключением того, что каждый шаг немного меньше (менее одной сотой цента на шаг).
| Количество ступеней с равномерным темпом | Равно темперированный интервал | Размер равномерно темперированного интервала (центы) | Интервал с правильным тоном | Размер правильно произнесенного интервала (центы) | Ошибка (центы) |
|---|---|---|---|---|---|
| 65 | 3,0000 | 1901,96 | 3/1 | 1901,9550 | 0,00 |
| 64 | 2,9497 | 1872,69 | 144/49 | 1866,2582 | 6,44 |
| 63 | 2 9003 | 1843,43 | 32/11 | 1848,6821 | -5,25 |
| 62 | 2,8517 | 1814,17 | 20/7 | 1817.4878 | -3,32 |
| 61 | 2,8039 | 1784,91 | 14/5 | 1782,5122 | 2,40 |
| 60 | 2,7569 | 1755,65 | 135/49 | 1754,5269 | 1,12 |
| 11/4 | 1751,3179 | 4,33 | |||
| 59 | 2,7107 | 1726,39 | 27/10 | 1719,5513 | 6,84 |
| 58 | 2,6653 | 1697,13 | 8/3 | 1698,0450 | -0,92 |
| 57 | 2,6206 | 1667,87 | 21/8 | 1670,7809 | -2,91 |
| 56 | 2,5767 | 1638,61 | 18/7 | 1635,0841 | 3,52 |
| 55 | 2,5335 | 1609,35 | 81/32 | 1607,8200 | 1,53 |
| 54 | 2,4910 | 1580,09 | 5/2 | 1586,3137 | -6,23 |
| 53 | 2.4493 | 1550,82 | 27/11 | 1554,5471 | -3,72 |
| 52 | 2,4082 | 1521,56 | 12/5 | 1515,6413 | 5,92 |
| 51 | 2,3679 | 1492,30 | 64/27 | 1494,1350 | -1,83 |
| 50 | 2,3282 | 1463,04 | 7/3 | 1466,8709 | -3,83 |
| 49 | 2,2892 | 1433,78 | 16/7 | 1431,1741 | 2,61 |
| 48 | 2,2508 | 1404,52 | 9/4 | 1403,9100 | 0,61 |
| 47 | 2,2131 | 1375,26 | 20/9 | 1382,4037 | -7,14 |
| 46 | 2,1760 | 1346,00 | 24/11 | 1350,6371 | -4,64 |
| 45 | 2,1395 | 1316,74 | 15/7 | 1319,4428 | -2,70 |
| 44 год | 2,1037 | 1287,48 | 21/10 | 1284,4672 | 3,01 |
| 43 год | 2,0684 | 1258,22 | 33/16 | 1253.2729 | 4,94 |
| 42 | 2,0337 | 1228,96 | 55/27 | 1231,7667 | -2,81 |
| 41 год | 1,9996 | 1199,69 | 2/1 | 1200.0000 | -0,31 |
| 40 | 1,9661 | 1170,43 | 49/25 | 1165.0244 | 5,41 |
| 39 | 1,9332 | 1141,17 | 27/14 | 1137.0391 | 4,13 |
| 38 | 1.9008 | 1111,91 | 40/21 | 1115,5328 | -3,62 |
| 37 | 1,8689 | 1082,65 | 15/8 | 1088.2687 | -5,62 |
| 36 | 1,8376 | 1053,39 | 11/6 | 1049,3629 | 4,03 |
| 35 год | 1,8068 | 1024,13 | 9/5 | 1017,5963 | 6.53 |
| 34 | 1,7765 | 994,87 | 16/9 | 996.0900 | -1,22 |
| 33 | 1,7468 | 965,61 | 7/4 | 968,8259 | -3,22 |
| 32 | 1,7175 | 936,35 | 12/7 | 933,1291 | 3,22 |
| 31 год | 1,6887 | 907,09 | 27/16 | 905,8650 | 1,22 |
| 30 | 1,6604 | 877,83 | 5/3 | 884,3587 | -6,53 |
| 29 | 1,6326 | 848,56 | 18/11 | 852,5921 | -4,03 |
| 28 год | 1,6052 | 819,30 | 8/5 | 813,6863 | 5,62 |
| 27 | 1,5783 | 790,04 | 63/40 | 786,4222 | 3,62 |
| 26 год | 1,5518 | 760,78 | 14/9 | 764,9159 | -4,13 |
| 25 | 1,5258 | 731,52 | 32/21 | 729,2191 | 2.30 |
| 24 | 1,5003 | 702,26 | 3/2 | 701,9550 | 0,31 |
| 23 | 1,4751 | 673,00 | 81/55 | 670.1883 | 2,81 |
| 72/49 | 666,2582 | 6,74 | |||
| 22 | 1,4504 | 643,74 | 16/11 | 648,6821 | -4,94 |
| 21 год | 1,4261 | 614,48 | 10/7 | 617,4878 | -3,01 |
| 20 | 1,4022 | 585,22 | 7/5 | 582,5122 | 2,70 |
| 19 | 1,3787 | 555,96 | 11/8 | 551,3179 | 4,64 |
| 18 | 1,3556 | 526,70 | 27/20 | 519,5513 | 7,14 |
| 17 | 1,3329 | 497,43 | 4/3 | 498,0450 | -0,61 |
| 16 | 1,3105 | 468,17 | 21/16 | 470,7809 | -2,61 |
| 15 | 1,2886 | 438,91 | 9/7 | 435,0841 | 3,83 |
| 14 | 1,2670 | 409,65 | 80/63 | 413,5778 | -3,93 |
| 81/64 | 407,8200 | 1,83 | |||
| 13 | 1,2457 | 380,39 | 5/4 | 386,3137 | -5,92 |
| 12 | 1,2249 | 351,13 | 11/9 | 347,4079 | 3,72 |
| 11 | 1,2043 | 321,87 | 6/5 | 315,6413 | 6,23 |
| 10 | 1,1841 | 292,61 | 32/27 | 294,1350 | -1,53 |
| 9 | 1,1643 | 263,35 | 7/6 | 266,8709 | -3,52 |
| 8 | 1,1448 | 234,09 | 8/7 | 231,1741 | 2,91 |
| 7 | 1,1256 | 204,83 | 9/8 | 203,9100 | 0,92 |
| 6 | 1,1067 | 175,57 | 10/9 | 182,4037 | -6,84 |
| 5 | 1,0882 | 146,30 | 12/11 | 150,6371 | -4,33 |
| 49/45 | 147,4281 | -1,12 | |||
| 4 | 1.0699 | 117,04 | 15/14 | 119,4428 | -2,40 |
| 16/15 | 111,7313 | 5,31 | |||
| 3 | 1,0520 | 87,78 | 21/20 | 84,4672 | 3,32 |
| 2 | 1,0344 | 58,52 | 28/27 | 62,9609 | -4,44 |
| 33/32 | 53,2729 | 5,25 | |||
| 1 | 1.0170 | 29,26 | 49/48 | 35,6968 | -6,44 |
| 50/49 | 34,9756 | -5,71 | |||
| 55/54 | 31,7667 | -2,51 | |||
| 56/55 | 31.1943 г. | -1,93 | |||
| 64/63 | 27,2641 | 2,00 | |||
| 0 | 1,0000 | 0,00 | 1/1 | 0,0000 | 0,00 |
См. Также [ править ]
- Двойной язычок
- Квадратная волна
- Stredici
- Другие неоктавные повторяющиеся гаммы:
- Дельта шкала
- Гамма шкала
Источники [ править ]
- ^ a b Пирс, Джон Р. (2001). «Созвучие и гаммы». В Куке, Перри Р. (ред.). Музыка, познание и компьютеризированный звук: введение в психоакустику . MIT Press. п. 183. ISBN. 978-0-262-53190-0.
- ^ Болен, Хайнц (1978). "13 Tonstufen in der Duodezime" . Acoustica (на немецком языке). Штутгарт: S. Hirzel Verlag. 39 (2): 76–86 . Проверено 27 ноября 2012 года .
- ^ Prooijen, Кис ван (1978). «Теория равномерных весов» . Интерфейс . 7 : 45–56. DOI : 10.1080 / 09298217808570248 . Проверено 27 ноября 2012 года .
- ^ Мэтьюз, МВ; Робертс, Луизиана; Пирс, младший (1984). «Четыре новых гаммы, основанные на аккордах с непоследовательным целочисленным соотношением». J. Acoust. Soc. Являюсь. 75, S10 (А).
- ^ Мэтьюз, Макс В .; Пирс, Джон Р. (1989). «Шкала Болена – Пирса». В Mathews, Max V .; Пирс, Джон Р. (ред.). Современные направления компьютерных музыкальных исследований . MIT Press. п. 167. ISBN. 9780262631396.
- ^ Мэтьюз; Пирс (1989). С. 165–166.
- ^ a b Мэтьюз; Пирс (1989). п. 169.
- ^ a b Мэтьюз; Пирс (1989). п. 171.
- ^ Мэтьюз; Пирс (1989). п. 170.
- ^ Бенсон, Дэйв. «Музыкальные гаммы и пекарская дюжина». Музыка и математика . 28/06: 16.
- ^ Мэтьюз; Пирс (1989). п. 172.
- ^ Тралл, Майкл Voyne (лето 1997). "Synthèse 96: 26-й Международный фестиваль электроакустической музыки". Компьютерный музыкальный журнал . 21 (2): 90–92 [91]. DOI : 10.2307 / 3681110 .
- ^ «Джон Пирс (1910-2002)». Компьютерный музыкальный журнал . 26, № 4 (Языки и среды для компьютерной музыки): 6–7. Зима 2002 года.
- ^ Дискография микротональных компакт-дисков , Фонд Гюйгенса-Фоккера , извлечено 13 декабря 2016 г..
- ^ д'Эскриван, Хулио (2007). Коллинз, Ник (ред.). Кембриджский компаньон электронной музыки . Кембриджские товарищи к музыке . п. 229. ISBN 9780521868617.
- ^ Бенсон, Дэйв (2006). Музыка: математическое приношение . п. 237. ISBN. 9780521853873.
- ^ "Концерты" . Bohlen-Pierce-Conference.org . Проверено 27 ноября 2012 года .
- ^ Болен (1978). сноска 26, стр. 84.
- ^ «Другие необычные весы» . Сайт Болена – Пирса . Проверено 27 ноября 2012 года .Цитирует: Морено, Энрике Игнасио (декабрь 1995 г.). «Вложение пространств с равным шагом и вопрос о расширенных цветах: экспериментальный подход». Диссертация . Стэнфордский университет: 12–22.
- ^ " Другие необычные весы ", Сайт Болена-Пирса . Проверено 27 ноября 2012 г. Цитируется: Болен (1978). С. 76–86.
- ^ Болен, Хайнц. «Шкала 833 центов» . Сайт Болена – Пирса . Проверено 27 ноября 2012 года .
- ^ Sethares, Уильям (2004). Настройка, тембр, спектр, масштаб . п. 60. ISBN 1-85233-797-4.
- ^ Карлос, Венди (2000) [1986]. «Лайнер-заметки». Красавица в чудовище (CD). Венди Карлос. ESD. 81552.
- ^ "Структуры шкалы BP" . Сайт Болена – Пирса . Проверено 27 ноября 2012 года .
Внешние ссылки [ править ]
- Исследование « Шкала Болена – Пирса », ZiaSpace.com .
- " Stephen Fox Clarinets ", кларнеты Bohlen-Pierce и другие инструменты, SFoxClarinets.com .
- " Сайт Болена – Пирса: Интернет-сайт альтернативной гармонической шкалы ", Huygens-Fokker.org .
- « Кис ван Prooijen: 13 тонов в 3 - й гармоники », Kees.cc .
- Песня в масштабе Болена Пирса: " 17tppp4 Walker Love Song ", Xenharmonic.Wikispaces.com .
- " Симпозиум Болена – Пирса ", Bohlen-Pierce-Conference.org .
- " Симпозиум Болена – Пирса Скейла, Бостон 2010 " [плейлист], YouTube.com .
