Уравнения движения

В физике уравнения движения — это уравнения , описывающие поведение физической системы с точки зрения ее движения как функции времени. ^[1] В частности, уравнения движения описывают поведение физической системы как набор математических функций в терминах динамических переменных. Эти переменные обычно представляют собой пространственные координаты и время, но могут включать компоненты импульса . Наиболее общий выбор - это обобщенные координаты , которые могут быть любыми удобными переменными, характерными для физической системы. ^[2] Функции определены в евклидовом пространствев классической механике , но заменены искривленными пространствами в теории относительности . Если динамика системы известна, уравнения являются решениями дифференциальных уравнений, описывающих движение динамики.

Есть два основных описания движения: динамика и кинематика . Динамика является общей, так как учитываются импульсы , силы и энергия частиц . В этом случае иногда термин динамика относится к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяет система (например, второму закону Ньютона или уравнениям Эйлера-Лагранжа ), а иногда и к решениям этих уравнений.

Однако кинематика проще. Это касается только переменных, полученных из положения объектов и времени. В условиях постоянного ускорения эти более простые уравнения движения обычно называют уравнениями СУВАТ , возникающими из определений кинематических величин: перемещение ( s ), начальная скорость ( u ), конечная скорость ( v ), ускорение ( a ), и время ( т ).

Дифференциальное уравнение движения, обычно идентифицируемое как некоторый физический закон и применяющее определения физических величин , используется для составления уравнения задачи. ^{[ необходимо уточнение ]} Решение дифференциального уравнения приведет к общему решению с произвольными константами, произвольность которых соответствует семейству решений. Частное решение можно получить, задав начальные значения , которые фиксируют значения констант.

Чтобы сформулировать это формально, в общем случае уравнение движения M является функцией положения r объекта, его скорости (первая производная по времени от r , v = d r / dt ) и его ускорения (вторая производная от r , a = d ² r / dt ² ), и время t . Евклидовы векторы в 3D выделены жирным шрифтом. Это эквивалентно формулировке уравнения движения относительно r является обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) второго порядка относительно r ,

где t — время, и каждая точка над точкой обозначает одну производную по времени . Начальные условия задаются постоянными значениями при t = 0 ,

${\ Displaystyle v}$График vs для движущейся частицы при неравномерном ускорении .${\ Displaystyle т}$${\ Displaystyle а}$

Кинематические величины классической частицы массы m : положение r , скорость v , ускорение a .

Траектория частицы с начальным вектором положения r ₀ и скоростью v ₀ при условии постоянного ускорения a , всех трех величин в любом направлении, а также положения r ( t ) и скорости v ( t ) после времени t .

Вектор скорости v всегда касается пути движения.

Вектор ускорения a , не параллельный радиальному движению, но смещенный угловым и кориолисовым ускорениями, и не касающийся пути, но смещенный центростремительным и радиальным ускорениями.

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка не ограничена двухмерным пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

По мере развития системы q прослеживает путь в конфигурационном пространстве (показаны только некоторые из них). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие ( δS = 0 ) при небольших изменениях конфигурации системы ( δq ). ^[18]

Сила Лоренца F действует на заряженную частицу (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E и поле B изменяются в пространстве и времени .

Геодезические на сфере — это дуги больших окружностей (желтая кривая). На двумерном многообразии ( таком как показанная сфера) направление ускоряющей геодезической однозначно фиксируется, если вектор разделения ξ ортогонален « веревой геодезической» (зеленая кривая). Поскольку вектор разделения ξ ₀ меняется на ξ через расстояние s , геодезические не параллельны (геодезическое отклонение). ^[22]