Теорема Вариньона - это утверждение евклидовой геометрии , которое касается построения конкретного параллелограмма , параллелограмма Вариньона , из произвольного четырехугольника (четырехугольника). Он назван в честь Пьера Вариньона , доказательство которого было опубликовано посмертно в 1731 году [1].
Теорема
Середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм. Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (не сложный ), то площадь параллелограмма составляет половину площади четырехугольника.
Если ввести понятие ориентированных площадей для n -угольников , то это равенство площадей справедливо и для сложных четырехугольников. [2]
Параллелограмм Вариньона существует даже для скошенного четырехугольника и является плоским независимо от того, является ли четырехугольник плоским или нет. Теорема может быть обобщена на середину многоугольника произвольного многоугольника.
Доказательство
Ссылаясь на диаграмму выше, треугольники ADC и HDG похожи по критерию стороны-угла-стороны, поэтому углы DAC и DHG равны, что делает HG параллельным переменному току . Таким же образом EF параллелен AC , поэтому HG и EF параллельны друг другу; то же самое верно для HE и GF .
Теорема Вариньона также может быть доказана как теорема аффинной геометрии, организованной как линейная алгебра с линейными комбинациями, ограниченными коэффициентами, суммируемыми до 1, также называемыми аффинными или барицентрическими координатами . Доказательство применимо даже к косым четырехугольникам в пространствах любой размерности.
Любые три точки E , F , G будут завершены к параллелограмма (лежащей в плоскости , содержащей Е , F и G ), взяв четвертую вершину , чтобы быть E - F + G . В построении параллелограмма Вариньона это точка ( A + B ) / 2 - ( B + C ) / 2 + ( C + D ) / 2 = ( A + D ) / 2. Но это точка H на рисунке, откуда EFGH образует параллелограмм.
Короче говоря, центроид из четырех точек , B , C , D является серединой каждого из двух диагоналей EG и FH из EFGH , показывая , что середины совпадают.
Из первого доказательства видно, что сумма диагоналей равна периметру образовавшегося параллелограмма. Кроме того, мы можем использовать векторы 1/2 длины каждой стороны, чтобы сначала определить площадь четырехугольника, а затем найти площади четырех треугольников, разделенных каждой стороной внутреннего параллелограмма.
выпуклый четырехугольник | вогнутый четырехугольник | скрещенный четырехугольник |
---|---|---|
|
|
|
Параллелограмм Вариньона
Характеристики
Плоский параллелограмм Вариньона также обладает следующими свойствами:
- Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
- Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
- Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. [2]
- Периметр параллелограмма Varignon равна сумме диагоналей исходного четырехугольника.
- Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.
- Два бимедиана в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и все делятся пополам своей точкой пересечения. [3] : с.125
В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедиана, соединяющего середины сторон a и c, равна
где p и q - длина диагоналей. [4] Длина бимедиана, соединяющего середины сторон b и d, равна
Отсюда [3] : с.126.
Это также является следствием к закону параллелограмма применяется в параллелограмме Varignon.
Длины бимедианов также можно выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольнике в приведенных выше формулах. Откуда [5]
а также
Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах - это не те две, которые соединяет бимедиана.
В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойственная связь между бимедианами и диагоналями: [6]
- Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
- Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.
Особые случаи
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда две диагонали четырехугольника имеют одинаковую длину, то есть если четырехугольник является равнодиагональным четырехугольником . [7]
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника перпендикулярны , то есть если четырехугольник является ортодиагональным четырехугольником . [6] : с. 14 [7] : с. 169
Если пересекающийся четырехугольник образован любой парой противоположных параллельных сторон и диагоналей параллелограмма, параллелограмм Вариньона представляет собой отрезок прямой, пересеченный дважды.
Смотрите также
- Построение серединного перпендикуляра четырехугольника , другой способ образования другого четырехугольника из данного четырехугольника
Заметки
- ^ Питер Н. Оливер: Пьер Вариньон и теорема о параллелограмме . Учитель математики, группа 94, № 4, апрель 2001 г., стр. 316-319.
- ^ a b Кокстер, HSM и Грейцер, SL "Четырехугольник; теорема Вариньона" §3.1 в Geometry Revisited. Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Америк., 1967, с. 52–54.
- ^ a b Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
- ^ Матееску Константин, Ответ на неравенство диагонали
- ^ Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164.
- ^ а б Йозефссон, Мартин (2012), "Характеристики ортодиагональных четырехугольников" (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25.
- ^ а б де Вильерс, Майкл (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии , Динамическое изучение математики, стр. 58, ISBN 9780557102952.
Ссылки и дополнительная литература
- HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Вашингтон, 1967, стр. 52-54.
- Питер Н. Оливер: Последствия теоремы Вариньона о параллелограмме . Учитель математики, группа 94, № 5, май 2001 г., стр. 406-408.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Вариньона» . MathWorld .
- Параллелограмм Вариньона в геометрии компендиума
- Обобщение теоремы Вариньона на 2n-угольники и 3D в эскизах динамической геометрии, интерактивных эскизах динамической геометрии.
- Параллелограмм Varignon в компании cut-the-knot-org