В физике , математике и смежных областях волна - это распространяющееся динамическое возмущение (изменение от состояния равновесия) одной или нескольких величин, иногда описываемое волновым уравнением . В физических волнах участвуют как минимум две величины поля в волновой среде. Волны могут быть периодическими, и в этом случае эти величины многократно колеблются около равновесного (покоящегося) значения с некоторой частотой . Когда вся форма волны движется в одном направлении, это называется бегущей волной ; напротив, пара наложенных друг на друга периодических волн, распространяющихся в противоположных направлениях, создает стоячую волну. В стоячей волне амплитуда вибрации имеет нулевые значения в некоторых положениях, где амплитуда волны кажется меньшей или даже нулевой.
Типы волн, наиболее часто изучаемые в классической физике, - это механические и электромагнитные . В механической волне поля напряжений и деформаций колеблются вокруг механического равновесия. Механическая волна - это локальная деформация (деформация) в некоторой физической среде, которая распространяется от частицы к частице, создавая локальные напряжения, которые вызывают деформацию и в соседних частицах. Например, звуковые волны - это вариации локального давления и движения частиц , распространяющиеся в среде. Другими примерами механических волн являются сейсмические волны , гравитационные волны , поверхностные волны , колебания струн (стоячие волны) и вихри [ сомнительно ] . В электромагнитной волне (такой как свет) связь между электрическим и магнитным полями, которая поддерживает распространение волны, включающей эти поля, в соответствии с уравнениями Максвелла . Электромагнитные волны могут проходить через вакуум и некоторые диэлектрические среды (на длинах волн, где они считаются прозрачными ). Электромагнитные волны в зависимости от их частот (или длин волн ) имеют более конкретные обозначения, включая радиоволны , инфракрасное излучение , терагерцовые волны , видимый свет , ультрафиолетовое излучение , рентгеновские лучи и гамма-лучи .
Другие типы волн включают гравитационные волны , которые представляют собой возмущения в пространстве-времени , распространяющиеся согласно общей теории относительности ; тепловые диффузионные волны [ сомнительно ] ; плазменные волны , сочетающие механические деформации и электромагнитные поля; волны реакции-диффузии , такие как реакция Белоусова – Жаботинского ; и многое другое.
Механические и электромагнитные волны передают энергию , [2] импульс и информацию , но не передают частицы в среде. В математике и электронике волны изучаются как сигналы . [3] С другой стороны, у некоторых волн есть огибающие, которые вообще не двигаются, например стоячие волны (которые имеют фундаментальное значение для музыки) и гидравлические прыжки . Некоторые, например волны вероятности в квантовой механике , могут быть полностью статичными [ сомнительно ] .
Физическая волна почти всегда ограничена некоторой конечной областью пространства, называемой ее областью . Например, сейсмические волны, генерируемые землетрясениями , значительны только внутри и на поверхности планеты, поэтому их можно игнорировать за ее пределами. Однако волны с бесконечной областью, которые распространяются по всему пространству, обычно изучаются в математике и являются очень ценными инструментами для понимания физических волн в конечных областях.
Плоская волна является важной математической идеализацией , где нарушение идентично вдоль любой (бесконечной) плоскости нормальной к определенному направлению движения. Математически простейшая волна - это синусоидальная плоская волна, в которой в любой точке поле испытывает простое гармоническое движение на одной частоте. В линейных средах сложные волны обычно можно разложить как сумму множества плоских синусоидальных волн, имеющих разные направления распространения и / или разные частоты . Плоская волна классифицируется как поперечная волна, если возмущение поля в каждой точке описывается вектором, перпендикулярным направлению распространения (также направлению передачи энергии); или продольный, если эти векторы находятся точно в направлении распространения. К механическим волнам относятся как поперечные, так и продольные волны; с другой стороны, плоские электромагнитные волны являются строго поперечными, в то время как звуковые волны в жидкостях (например, в воздухе) могут быть только продольными. Это физическое направление колеблющегося поля относительно направления распространения также называется поляризацией волны, которая может быть важным атрибутом для волн, имеющих более одной возможной поляризации.
Математическое описание
Одиночные волны
Волну можно описать так же, как поле, а именно как функцию где это позиция и время.
Значение это точка пространства, в частности, в области определения волны. С математической точки зрения это обычно вектор в декартовом трехмерном пространстве. . Однако во многих случаях можно игнорировать одно измерение и позволить быть точкой декартовой плоскости . Так обстоит дело, например, при изучении колебаний кожи барабана. Можно даже ограничить до точки декартовой прямой - то есть набор действительных чисел . Это имеет место, например, при изучении колебаний струны скрипки или магнитофона . Время, с другой стороны, всегда считается скаляром ; то есть реальное число.
Значение может быть любое физическое количество, представляющее интерес, присвоенное точке это может меняться со временем. Например, если представляет колебания внутри упругого твердого тела, величина обычно представляет собой вектор, который дает текущее смещение от материальных частиц, которые были бы в точке при отсутствии вибрации. Для электромагнитной волны значениеможет быть вектором электрического поля, или вектор магнитного поля, или любая связанная величина, например вектор Пойнтинга . В гидродинамике значение может быть вектором скорости жидкости в точке или любое скалярное свойство, такое как давление , температура или плотность . В химической реакции может быть концентрация некоторого вещества в окрестности точки реакционной среды.
Для любого измерения (1, 2 или 3), тогда область волны является подмножеством из , такая, что значение функции определяется для любой точки в . Например, при описании движения кожи барабана можно рассматриватьбыть диском (кругом) на плоскости с центром в начале координат , и разреши быть вертикальным смещением кожи в точке из и в то время .
Волновые семьи
Иногда интересует одна конкретная волна. Однако чаще требуется понимать большой набор возможных волн; как и все способы, которыми кожа барабана может вибрировать после одного удара барабанной палкой , или все возможные радарные эхо, которые можно получить от самолета, который может приближаться к аэропорту .
В некоторых из этих ситуаций такое семейство волн можно описать функцией это зависит от определенных параметров , Кроме а также . Тогда можно получить разные волны, т. Е. Разные функции от а также - путем выбора различных значений для этих параметров.
Например, звуковое давление внутри записывающего устройства , которое воспроизводит "чистую" ноту, обычно представляет собой стоячую волну , которую можно записать как
Параметр определяет амплитуду волны (то есть максимальное звуковое давление в канале ствола, которое связано с громкостью ноты); скорость звука; - длина канала ствола; а также- положительное целое число (1,2,3,…), определяющее количество узлов в стоячей волне. (Позицияследует измерять от мундштука , а времяс любого момента, когда давление на мундштук максимально. Количество- длина волны выпущенной банкноты, а- его частота .) Многие общие свойства этих волн можно вывести из этого общего уравнения, не выбирая конкретных значений для параметров.
В качестве другого примера может быть, что колебания обшивки барабана после одиночного удара зависят только от расстояния. от центра кожи до точки удара, а по силе забастовки. Тогда вибрацию для всех возможных ударов можно описать функцией.
Иногда интересующее семейство волн имеет бесконечно много параметров. Например, можно описать, что происходит с температурой металлического стержня, когда его сначала нагревают до различных температур в разных точках по длине, а затем дают ему остыть в вакууме. В этом случае вместо скаляра или вектора параметр должен быть функцией такой, что начальная температура в каждой точке бара. Тогда температуры в более поздние времена могут быть выражены функцией это зависит от функции (то есть функциональный оператор ), так что температура в более позднее время будет
Дифференциальные волновые уравнения
Другой способ описать и изучить семейство волн - дать математическое уравнение, которое вместо явного указания значения , только ограничивает то, как эти значения могут изменяться со временем. Тогда рассматриваемое семейство волн состоит из всех функцийкоторые удовлетворяют этим ограничениям, то есть всем решениям уравнения.
Этот подход чрезвычайно важен в физике, потому что ограничения обычно являются следствием физических процессов, которые заставляют волну развиваться. Например, если- температура внутри блока из некоторого однородного и изотропного твердого материала, ее эволюция ограничена уравнением в частных производных
где это тепло, которое выделяется на единицу объема и времени в окрестности вовремя (например, происходящими там химическими реакциями); - декартовы координаты точки ; является (первой) производной от относительно ; а также вторая производная от относительно . (Символ ""означает, что в производной по некоторой переменной все другие переменные должны считаться фиксированными.)
Это уравнение можно вывести из законов физики, которые регулируют распространение тепла в твердых средах. По этой причине в математике оно называется уравнением теплопроводности , хотя оно применимо ко многим другим физическим величинам, помимо температуры.
В качестве другого примера мы можем описать все возможные звуки, эхом отражающиеся в емкости с газом, с помощью функции что дает давление в точке и время внутри этого контейнера. Если изначально газ имел одинаковую температуру и состав, то эволюция ограничивается формулой
Здесь какая-то дополнительная сила сжатия, прилагаемая к газу около каким-то внешним процессом, например, громкоговорителем или поршнем рядом с.
Это же дифференциальное уравнение описывает поведение механических колебаний и электромагнитных полей в однородном изотропном непроводящем твердом теле. Обратите внимание, что это уравнение отличается от уравнения теплового потока только тем, что левая часть равна, вторая производная от по времени, а не по первой производной . Тем не менее, это небольшое изменение имеет огромное значение для набора решений.. Это дифференциальное уравнение в математике называется « волновым уравнением» , хотя оно описывает только один особый вид волн.
Волна в упругой среде
Рассмотрим бегущую поперечную волну (которая может быть импульсом ) на струне (среде). Считайте, что струна имеет одно пространственное измерение. Считайте эту волну бегущей
- в направление в пространстве. Например, пусть положительный направление должно быть вправо, а отрицательное направление быть влево.
- с постоянной амплитудой
- с постоянной скоростью , где является
- не зависит от длины волны (без дисперсии )
- не зависит от амплитуды ( линейная среда, не нелинейная ). [4] [5]
- с постоянной формой волны или формой
Тогда эту волну можно описать двумерными функциями
- (форма волны едет направо)
- (форма волны едет налево)
или, в более общем смысле, формулой Даламбера : [6]
представляющие двухкомпонентные формы волны а также движется через среду в противоположных направлениях. Обобщенное представление этой волны можно получить [7] в виде уравнения в частных производных
Общие решения основаны на принципе Дюамеля . [8]
Формы волн
Форма или форма F в формуле Даламбера включает аргумент x - vt . Постоянные значения этого аргумента соответствуют постоянным значениям F , и эти постоянные значения возникают, если x увеличивается с той же скоростью, что и vt . То есть волна, имеющая форму функции F, будет двигаться в положительном направлении оси x со скоростью v (и G будет распространяться с той же скоростью в отрицательном направлении оси x ). [9]
В случае периодической функции F с периодом λ , то есть F ( x + λ - vt ) = F ( x - vt ), периодичность F в пространстве означает, что снимок волны в данный момент времени t находит волна, периодически изменяющаяся в пространстве с периодом λ ( длина волны). Аналогичным образом, эта периодичность F подразумевает периодичность во времени , а также: Р ( х - V ( т + Т )) = Р ( х - В.Т. ) при условии , Vt = λ , так что при наблюдении волны в фиксированном месте x находит волну, периодически колеблющуюся во времени с периодом T = λ / v . [10]
Амплитуда и модуляция
Амплитуда волны может быть постоянной (в этом случае волна является непрерывной или непрерывной волной ) или может модулироваться так, чтобы изменяться во времени и / или положении. Контур изменения амплитуды называется огибающей волны. Математически модулированную волну можно записать в виде: [11] [12] [13]
где - огибающая амплитуды волны, это волновое число иэто фаза . Если групповая скорость (см. ниже) не зависит от длины волны, это уравнение можно упростить следующим образом: [14]
показывая, что оболочка движется с групповой скоростью и сохраняет свою форму. В противном случае, в случаях, когда групповая скорость изменяется с длиной волны, форма импульса изменяется способом, который часто описывается с помощью уравнения огибающей . [14] [15]
Фазовая скорость и групповая скорость
Есть две скорости, которые связаны с волнами: фазовая скорость и групповая скорость .
Фазовая скорость - это скорость, с которой фаза волны распространяется в пространстве : любая заданная фаза волны (например, гребень ) будет двигаться с фазовой скоростью. Фазовая скорость определяется длиной волны λ (лямбда) и периодом T как
Групповая скорость - это свойство волн с определенной огибающей, измеряющее распространение в пространстве (то есть фазовую скорость) общей формы амплитуд волн - модуляции или огибающей волны.
Синусоидальные волны
Математически самая основная волна - это (пространственно) одномерная синусоида (также называемая гармонической волной или синусоидой ) с амплитудой описывается уравнением:
где
- - максимальная амплитуда волны, максимальное расстояние от наивысшей точки возмущения в среде (гребня) до точки равновесия за один волновой цикл. На рисунке справа это максимальное расстояние по вертикали между базовой линией и волной.
- это пространственная координата
- это координата времени
- это волновое число
- это угловая частота
- - фазовая постоянная .
Единицы амплитуды зависят от типа волны. Поперечные механические волны (например, волна на струне) имеют амплитуду, выраженную расстоянием (например, метры), продольные механические волны (например, звуковые волны) используют единицы давления (например, паскали), а электромагнитные волны (форма поперечной вакуумной волны) выражают амплитуду через ее электрическое поле (например, вольт / метр).
Длина волны расстояние между двумя последовательными гребнями или впадинами (или другими эквивалентными точками), обычно измеряется в метрах. волновое число пространственная частота волны в радианах на единицу расстояния (обычно на метр) может быть связана с длиной волны соотношением
период - время одного полного цикла колебания волны. частота - количество периодов в единицу времени (в секунду), обычно измеряется в герцах и обозначается как Гц. Они связаны между собой:
Другими словами, частота и период волны взаимны.
Угловая частота представляет частоту в радианах в секунду. Это связано с частотой или периодом
Длина волны синусоидального сигнала, движущегося с постоянной скоростью дается: [16]
где называется фазовой скоростью (величиной фазовой скорости ) волны и частота волны.
Длина волны может быть полезным понятием, даже если волна не периодична в пространстве. Например, когда океанская волна приближается к берегу, набегающая волна волнообразно колеблется с переменной локальной длиной волны, которая частично зависит от глубины морского дна по сравнению с высотой волны. Анализ волны может быть основан на сравнении локальной длины волны с местной глубиной воды. [17]
Хотя произвольные формы волны будут распространяться без потерь в линейных неизменных во времени системах без потерь , при наличии дисперсии синусоидальная волна имеет уникальную форму, которая будет распространяться без изменений, но по фазе и амплитуде, что упрощает анализ. [18] Из-за соотношений Крамерса-Кронига линейная среда с дисперсией также демонстрирует потери, поэтому синусоидальная волна, распространяющаяся в дисперсионной среде, ослабляется в определенных частотных диапазонах, которые зависят от среды. [19] синусоидальная функция является периодической, так что синусоида или синусоида имеет длину волны в пространстве и во время периода. [20] [21]
Синусоида определена для всех времен и расстояний, тогда как в физических ситуациях мы обычно имеем дело с волнами, которые существуют в течение ограниченного промежутка времени и продолжительности во времени. Произвольную форму волны можно разложить на бесконечный набор синусоидальных волн с помощью анализа Фурье . В результате простой случай одиночной синусоидальной волны может быть применен к более общим случаям. [22] [23] В частности, многие среды являются линейными или почти линейными , поэтому расчет поведения произвольной волны можно найти путем сложения откликов на отдельные синусоидальные волны с использованием принципа суперпозиции, чтобы найти решение для общей формы волны. [24] Когда среда нелинейна , то ответ на сложные волны не может быть определен с помощью синусоидального разложения.
Плоские волны
Плоская волна является своего рода волны, значение которого изменяется только в одном пространственное направление. То есть его значение постоянно на плоскости, перпендикулярной этому направлению. Плоские волны можно задать вектором единичной длины. указывающий направление, в котором изменяется волна, и профиль волны, описывающий, как волна изменяется в зависимости от смещения вдоль этого направления () и время (). Поскольку профиль волны зависит только от положения в сочетании , любое смещение в направлениях, перпендикулярных не может повлиять на значение поля.
Плоские волны часто используются для моделирования электромагнитных волн вдали от источника. Для плоских электромагнитных волн электрическое и магнитное поля сами по себе поперек направления распространения, а также перпендикулярны друг другу.
Стоячие волны
Стоячая волна, также известная как стационарная волна , представляет собой волну, огибающая которой остается в постоянном положении. Это явление возникает в результате интерференции двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Сумма двух встречных волн (равной амплитуды и частоты) создает стоячую волну . Стоячие волны обычно возникают, когда граница блокирует дальнейшее распространение волны, тем самым вызывая отражение волны и, следовательно, вводя встречную волну. Например, когда струна скрипки смещается, поперечные волны распространяются туда, где струна удерживается на месте на мосту и гайке , где волны отражаются обратно. На мосту и гайке две противоположные волны находятся в противофазе и нейтрализуют друг друга, образуя узел . На полпути между двумя узлами есть пучность , где две встречные волны максимально усиливают друг друга. Нет чистого распространения энергии во времени.
Одномерные стоячие волны; фундаментальный режим и первые 5 обертонов .
Двумерная стоячая волна на диске ; это основной режим.
Стоячая волна на диск с двумя узловыми линиями , пересекающих в центре; это обертон.
Физические свойства
Волны демонстрируют обычное поведение в ряде стандартных ситуаций, например:
Передача и СМИ
Волны обычно движутся по прямой линии (то есть прямолинейно) через среду передачи . Такие носители можно разделить на одну или несколько из следующих категорий:
- Ограниченная среда , если она конечна в степени, в противном случае неограниченной среды
- Линейная среда , если могут быть добавлены амплитуды различных волн в любой конкретной точке в среде
- Однородная среда или однородная среда , если ее физические свойства остаются неизменными в разных местах в пространстве
- Анизотропную среду , если один или более из его физических свойств различаются в одном или нескольких направлениях
- Изотропная среда , если ее физические свойства являются же во всех направлениях
Абсорбция
Волны обычно определяются в средах, которые позволяют большей или всей энергии волны распространяться без потерь . Однако материалы можно охарактеризовать как «с потерями», если они отбирают энергию от волны, обычно превращая ее в тепло. Это называется «поглощением». Материал , который поглощает энергию в волну, либо в передаче или отражении, характеризуется показателем преломления , который является сложным . Величина поглощения обычно зависит от частоты (длины волны) волны, которая, например, объясняет, почему объекты могут казаться окрашенными.
Отражение
Когда волна ударяется о отражающую поверхность, она меняет направление, так что угол между падающей волной и линией, перпендикулярной поверхности, равен углу между отраженной волной и той же нормальной линией.
Преломление
Преломление - это явление, при котором волна меняет свою скорость. Математически это означает, что величина фазовой скорости изменяется. Обычно рефракция возникает, когда волна переходит из одной среды в другую. Величина, на которую волна преломляется материалом, определяется показателем преломления материала. Направления падения и преломления связаны с показателями преломления двух материалов по закону Снеллиуса .
Дифракция
Волна проявляет дифракцию, когда сталкивается с препятствием, которое изгибает волну, или когда она распространяется после выхода из отверстия. Эффекты дифракции более выражены, когда размер препятствия или отверстия сравним с длиной волны.
Вмешательство
Когда волны в линейной среде (обычный случай) пересекают друг друга в какой-то области пространства, они фактически не взаимодействуют друг с другом, а продолжают существовать, как если бы другая не присутствовала. Однако в любой точке в этой области в поле величины , характеризующие эти волны добавить в соответствии с принципом суперпозиции . Если волны имеют одинаковую частоту в фиксированном соотношении фаз , то, как правило, будут положения, в которых две волны находятся в фазе и их амплитуды складываются , и другие положения, в которых они не совпадают по фазе и их амплитуды (частично или полностью) отменить . Это называется интерференционной картиной .
Поляризация
Явление поляризации возникает, когда волновое движение может происходить одновременно в двух ортогональных направлениях. Например, поперечные волны могут быть поляризованными. Когда поляризация используется в качестве дескриптора без уточнения, это обычно относится к частному, простому случаю линейной поляризации . Поперечная волна является линейно поляризованной, если она колеблется только в одном направлении или плоскости. В случае линейной поляризации часто бывает полезно добавить относительную ориентацию этой плоскости, перпендикулярную направлению движения, в котором происходят колебания, например, «горизонтальная», если плоскость поляризации параллельна направлению движения. земля. Например, электромагнитные волны, распространяющиеся в свободном пространстве, являются поперечными; их можно поляризовать с помощью поляризационного фильтра .
Продольные волны, такие как звуковые волны, не обладают поляризацией. Для этих волн существует только одно направление колебаний, то есть вдоль направления движения.
Дисперсия
Волна рассеивается, когда фазовая или групповая скорость зависит от частоты волны. Дисперсию легче всего увидеть, пропустив белый свет через призму , в результате чего получается спектр цветов радуги. Исаак Ньютон провел эксперименты со светом и призмами, представив свои выводы в « Оптике» (1704 г.) о том, что белый свет состоит из нескольких цветов и что эти цвета не могут быть разложены дальше. [25]
Механические волны
Волны на струнах
Скорость поперечной волны, распространяющейся по колеблющейся струне ( v ), прямо пропорциональна квадратному корню из натяжения струны ( T ) по линейной плотности массы ( μ ):
где линейная плотность μ - это масса единицы длины струны.
Акустические волны
Акустические или звуковые волны распространяются со скоростью, заданной
или квадратный корень из адиабатического модуля объемной упругости, деленный на плотность окружающей жидкости (см. скорость звука ).
Волны на воде
- Рябь на поверхности пруда на самом деле представляет собой комбинацию поперечных и продольных волн; следовательно, точки на поверхности следуют орбитальным путям.
- Звук - механическая волна, распространяющаяся через газы, жидкости, твердые тела и плазму;
- Инерционные волны , возникающие во вращающихся жидкостях и восстанавливаемые эффектом Кориолиса ;
- Волны на поверхности океана - возмущения, распространяющиеся через воду.
Сейсмические волны
Сейсмические волны - это волны энергии, которые проходят через слои Земли и являются результатом землетрясений, извержений вулканов, движения магмы, крупных оползней и крупных искусственных взрывов, излучающих низкочастотную акустическую энергию.
Эффект Допплера
Эффект Доплера (или доплеровский сдвиг ) - это изменение частоты волны по отношению к наблюдателю, который движется относительно источника волны. [26] Он назван в честь австрийского физика Кристиана Доплера , описавшего это явление в 1842 году.
Ударные волны
Ударная волна - это тип распространяющегося возмущения. Когда волна движется со скоростью, превышающей местную скорость звука в жидкости , это ударная волна. Подобно обыкновенной волне, ударная волна несет энергию и может распространяться через среду; однако он характеризуется резким, почти прерывистым изменением давления , температуры и плотности среды. [27]
Другой
- Волны движения , то есть распространение автомобилей различной плотности и т. Д., Которые можно моделировать как кинематические волны [28]
- Метахронная волна относится к появлению бегущей волны, вызванной скоординированными последовательными действиями.
Электромагнитные волны
Электромагнитная волна состоит из двух волн, которые представляют собой колебания электрического и магнитного полей. Электромагнитная волна распространяется в направлении, перпендикулярном направлению колебаний обоих полей. В 19 веке Джеймс Клерк Максвелл показал, что в вакууме электрическое и магнитное поля удовлетворяют волновому уравнению со скоростью, равной скорости света . Отсюда возникла идея, что свет - это электромагнитная волна. Электромагнитные волны могут иметь разные частоты (и, следовательно, длины волн), вызывая различные типы излучения, такие как радиоволны , микроволны , инфракрасный , видимый свет , ультрафиолет , рентгеновские лучи и гамма-лучи .
Квантово-механические волны
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера описывает волновое поведение частиц в квантовой механике . Решениями этого уравнения являются волновые функции, которые можно использовать для описания плотности вероятности частицы.
Уравнение Дирака
Уравнение Дирака - это релятивистское волновое уравнение, детализирующее электромагнитные взаимодействия. Волны Дирака совершенно строго объясняли мелкие детали спектра водорода. Волновое уравнение также подразумевало существование новой формы материи, антивещества, о которой раньше не подозревали и не наблюдали, что было подтверждено экспериментально. В контексте квантовой теории поля уравнение Дирака переосмысливается для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином 1/2.
волны де Бройля
Луи де Бройль постулировал, что все частицы с импульсом имеют длину волны.
где h - постоянная Планка , а p - величина импульса частицы. Эта гипотеза легла в основу квантовой механики . В настоящее время эта длина волны называется длиной волны де Бройля . Например, электроны в ЭЛТ- дисплее имеют длину волны де Бройля около 10 -13 м.
Волна, представляющая такую частицу, движущуюся в k- направлении, выражается волновой функцией следующим образом:
где длина волны определяется волновым вектором k как:
и импульс:
Однако такая волна с определенной длиной волны не локализована в пространстве и поэтому не может представлять собой частицу, локализованную в пространстве. Для того, чтобы локализовать частицу, дебройлевские предложила суперпозицию различных длин волн в диапазоне вокруг центрального значения в волновом пакете , [30] форма сигнала часто используется в квантовой механике для описания волновой функции частицы. В волновом пакете длина волны частицы не является точной, и локальная длина волны отклоняется в обе стороны от значения основной длины волны.
При представлении волновой функции локализованной частицы волновой пакет часто считается имеющим гауссову форму и называется гауссовым волновым пакетом . [31] Гауссовские волновые пакеты также используются для анализа волн на воде. [32]
Например, гауссова волновая функция ψ может иметь вид: [33]
в некоторый начальный момент времени t = 0, где центральная длина волны связана с центральным волновым вектором k 0 как λ 0 = 2π / k 0 . Хорошо известно из теории Фурье - анализа , [34] или из принципа неопределенности Гейзенберга (в случае квантовой механики) , что узкий диапазон длин волн необходимо сформировать пакет локализованной волны, а тем более локализованы конверт, тем больше разброс необходимых длин волн. Преобразование Фурье гауссиана само является гауссовым. [35] Учитывая гауссиану:
преобразование Фурье:
Следовательно, гауссиан в пространстве состоит из волн:
то есть количество волн с длинами волн λ таких, что k λ = 2 π.
Параметр σ определяет пространственный разброс гауссиана вдоль оси x , в то время как преобразование Фурье показывает разброс волнового вектора k, определяемый 1 / σ . То есть, чем меньше размер в пространстве, тем больше размер в k и, следовательно, в λ = 2π / k .
Гравитационные волны
Гравитационные волны - это волны, генерируемые в текучей среде или на границе раздела двух сред, когда сила тяжести или плавучести пытается восстановить равновесие. Один из примеров - рябь на пруду.
Гравитационные волны
Гравитационные волны также перемещаются в космосе. О первом наблюдении гравитационных волн было объявлено 11 февраля 2016 года. [36] Гравитационные волны - это возмущения кривизны пространства-времени , предсказанные общей теорией относительности Эйнштейна .
Смотрите также
- Указатель волновых статей
Волны в целом
- Волновое уравнение , общее
- Распространение волн , любой из способов распространения волн
- Интерференция (распространение волн) , явление, при котором две волны накладываются друг на друга, образуя результирующую волну.
- Механическая волна в среде передачи
- Wave Motion (journal) , научный журнал
- Волновой фронт , продвигающаяся поверхность распространения волн
Параметры
- Фаза (волны) , смещение или угол синусоидальной волновой функции в ее начале
- Коэффициент стоячей волны в телекоммуникациях
- Длина волны
- Волновое число
- Период волны
Формы волны
- Ползучая волна , волна, дифрагированная вокруг сферы
- Неувядающая волна
- Продольная волна
- Периодическая бегущая волна
- Синусоидальная волна
- Квадратная волна
- Стоячая волна
- Поперечная волна
Электромагнитные волны
- Дьяконовские поверхностные волны
- Волна Дьяконова-Фойгта
- Волновод Земля-Ионосфера в радиопередаче
- Электромагнитная волна
- Уравнение электромагнитной волны , описывает распространение электромагнитной волны
- Микроволновая печь , форма электромагнитного излучения
В жидкостях
- Теория волн Эйри в гидродинамике
- Капиллярная волна в гидродинамике
- Кноидальная волна в гидродинамике
- Краевая волна , поверхностная гравитационная волна, зафиксированная преломлением на жесткой границе.
- Волна Фарадея , тип волны в жидкостях
- Гравитационная волна в гидродинамике
- Звуковая волна, волна звука через среду, такую как воздух или вода.
- Ударная волна в аэродинамике
- Внутренняя волна , волна в жидкой среде
- Приливная волна, научно неверное название цунами
- Волна Толлмина – Шлихтинга в гидродинамике
В квантовой механике
- Теорема Блоха
- Волна материи
- Пилотная волна в бомовской механике
- Волновая функция
- Волновой пакет
- Дуальность волна-частица
В теории относительности
- Гравитационная волна в теории относительности
- Релятивистские волновые уравнения , волновые уравнения с учетом специальной теории относительности
- pp-волновое пространство-время , набор точных решений уравнения поля Эйнштейна
Другие специфические типы волн
- Альфвеновская волна в физике плазмы
- Атмосферная волна , периодическое возмущение в полях атмосферных переменных.
- Еловая волна , конфигурация леса
- Волны Лэмба в твердых материалах
- Волны Рэлея , поверхностные акустические волны, распространяющиеся по твердым телам.
- Спиновая волна в магнетизме
- Волна спиновой плотности в твердых материалах
- Троянский волновой пакет в науке о частицах
- Волны в плазме , в физике плазмы
похожие темы
- Beat (акустика)
- Киматика
- Эффект Допплера
- Детектор конверта
- Групповая скорость
- Гармонический
- Указатель волновых статей
- Инерционная волна
- Список волн, названных в честь людей
- Фазовая скорость
- Реакционно-диффузионная система
- Резонанс
- Пульсационный бак
- Разбойная волна
- Уравнения мелкой воды
- Волновая машина Shive
- Звук
- Стоячая волна
- Среда передачи
- Волновая турбулентность
- Ветровая волна
Рекомендации
- ^ Сантос, Эдгар; Шёлль, Михаэль; Санчес-Поррас, Ренан; Dahlem, Markus A .; Силосы, Умберто; Унтерберг, Андреас; Дикхаус, Хартмут; Саковиц, Оливер В. (2014-10-01). «В гринцефалическом мозге возникают радиальные, спиральные и отражающие волны распространяющейся деполяризации». NeuroImage . 99 : 244–255. DOI : 10.1016 / j.neuroimage.2014.05.021 . ISSN 1095-9572 . PMID 24852458 . S2CID 1347927 .
- ^ ( Холл 1982 , стр. 8)
- ^ Прагнан Чакраворти, «Что такое сигнал? [Примечания к лекции]», журнал IEEE Signal Processing , вып. 35, нет. 5, pp. 175-177, сентябрь 2018 г. doi : 10.1109 / MSP.2018.2832195
- ^ Майкл А. Славинский (2003). «Волновые уравнения» . Сейсмические волны и лучи в упругих средах . Эльзевир. стр. 131 и далее . ISBN 978-0-08-043930-3.
- ^ Лев А. Островский и Александр И. Потапов (2001). Модулированные волны: теория и приложения . Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 978-0-8018-7325-6.
- ^ Карл Ф. Грааф (1991). Волновое движение в упругих телах (Перепечатка Оксфорда, 1975 г.) Дувр. С. 13–14. ISBN 978-0-486-66745-4.
- ^ Для примера вывода см. Шаги, ведущие к ур. (17) в Фрэнсис Редферн. «Кинематический вывод волнового уравнения» . Физический журнал .
- ^ Джалал М. Ихсан Шатах; Майкл Струве (2000). «Линейное волновое уравнение» . Геометрические волновые уравнения . Книжный магазин Американского математического общества. стр. 37 и далее . ISBN 978-0-8218-2749-9.
- ^ Луи Лайонс (1998). Все, что вы хотели знать о математике, но боялись спросить . Издательство Кембриджского университета. стр. 128 и далее . ISBN 978-0-521-43601-4.
- ^ Александр Макферсон (2009). «Волны и их свойства» . Введение в кристаллографию макромолекул (2-е изд.). Вайли. п. 77. ISBN 978-0-470-18590-2.
- ^ Кристиан Джираушек (2005). Лазерная динамика с FEW-циклами и определение фазы огибающей несущей . Cuvillier Verlag. п. 9. ISBN 978-3-86537-419-6.
- ^ Фриц Курт Кнойбюль (1997). Колебания и волны . Springer. п. 365. ISBN 978-3-540-62001-3.
- ^ Марк Лундстрем (2000). Основы перевозки грузов . Издательство Кембриджского университета. п. 33. ISBN 978-0-521-63134-1.
- ^ а б Чин-Лин Чен (2006). «§13.7.3 Огибающая импульса в недисперсных средах» . Основы волноводной оптики . Вайли. п. 363. ISBN. 978-0-471-75687-3.
- ^ Стефано Лонги; Давиде Яннер (2008). «Локализация и волновые пакеты Ванье в фотонных кристаллах» . В Уго Э. Эрнандес-Фигероа; Мишель Замбони-Ракед; Эразмо Реками (ред.). Локализованные волны . Wiley-Interscience. п. 329. ISBN. 978-0-470-10885-7.
- ^ Дэвид К. Кэссиди; Джеральд Джеймс Холтон; Флойд Джеймс Резерфорд (2002). Понимание физики . Birkhäuser. стр. 339 и далее . ISBN 978-0-387-98756-9.
- ^ Поль Р. Пинет (2009). op. соч . п. 242. ISBN. 978-0-7637-5993-3.
- ^ Миша Шварц; Уильям Р. Беннет и Сеймур Стейн (1995). Коммуникационные системы и методы . Джон Уайли и сыновья. п. 208. ISBN 978-0-7803-4715-1.
- ^ См. Уравнение. 5.10 и обсуждение в AGGM Tielens (2005). Физика и химия межзвездной среды . Издательство Кембриджского университета. стр. 119 и далее . ISBN 978-0-521-82634-1.; Уравнение 6.36 и связанное обсуждение в Отфрид Маделунг (1996). Введение в теорию твердого тела (3-е изд.). Springer. стр. 261 и далее . ISBN 978-3-540-60443-3.; и уравнение. 3,5 дюйма Ф Майнарди (1996). «Переходные волны в линейных вязкоупругих средах» . В Ардешире Гуране; А. Бостром; Герберт Убералл; О. Лерой (ред.). Акустические взаимодействия с подводными упругими конструкциями: неразрушающий контроль, распространение и рассеяние акустических волн . World Scientific. п. 134. ISBN 978-981-02-4271-8.
- ^ Александр Тихонович Филиппов (2000). Универсальный солитон . Springer. п. 106. ISBN 978-0-8176-3635-7.
- ^ Сет Штайн, Майкл Э. Визессион (2003). Введение в сейсмологию, землетрясения и строение земли . Вили-Блэквелл. п. 31. ISBN 978-0-86542-078-6.
- ^ Сет Штайн, Майкл Э. Визессион (2003).op. соч.. п. 32. ISBN 978-0-86542-078-6.
- ^ Кимбалл А. Милтон; Джулиан Сеймур Швингер (2006). Электромагнитное излучение: вариационные методы, волноводы и ускорители . Springer. п. 16. ISBN 978-3-540-29304-0.
Таким образом, произвольная функция f ( r , t ) может быть синтезирована правильной суперпозицией функций exp [i ( k · r −ω t )] ...
- ^ Раймонд А. Сервей и Джон В. Джуэтт (2005). «§14.1 Принцип суперпозиции» . Основы физики (4-е изд.). Cengage Learning. п. 433. ISBN. 978-0-534-49143-7.
- ^ Ньютон, Исаак (1704). "Prop VII Theor V" . Opticks: Или, трактат отражений, преломлений, изгибов и цветов света. Также два трактата о видах и величине криволинейных фигур . 1 . Лондон. п. 118.
Все Цвета во Вселенной, созданные Светом ... являются Цветами однородных Светов или составлены из них ...
- ^ Джордано, Николас (2009). Физика колледжа: рассуждения и отношения . Cengage Learning. С. 421–424. ISBN 978-0534424718.
- ^ Андерсон, Джон Д. мл. (Январь 2001 г.) [1984], Основы аэродинамики (3-е изд.), McGraw-Hill Science / Engineering / Math , ISBN 978-0-07-237335-6
- ^ MJ Lighthill ; GB Whitham (1955). «О кинематических волнах. II. Теория транспортного потока на протяженных многолюдных дорогах». Труды Лондонского королевского общества. Серия А . 229 (1178): 281–345. Bibcode : 1955RSPSA.229..281L . CiteSeerX 10.1.1.205.4573 . DOI : 10.1098 / RSPA.1955.0088 . S2CID 18301080 . А также: П.И. Ричардс (1956). «Удары по трассе». Исследование операций . 4 (1): 42–51. DOI : 10.1287 / opre.4.1.42 .
- ^ А. Т. Фромхолд (1991). «Волновые пакетные решения» . Квантовая механика для прикладной физики и инженерии (переиздание издательства Academic Press, 1981). Courier Dover Publications. стр. 59 и далее . ISBN 978-0-486-66741-6.
(стр.61) ... отдельные волны движутся медленнее, чем пакет, и поэтому проходят обратно через пакет по мере его продвижения.
- ^ Мин Чан Ли (1980). «Электронная интерференция» . У Л. Мартона; Клэр Мартон (ред.). Успехи электроники и электронной физики . 53 . Академическая пресса. п. 271. ISBN. 978-0-12-014653-6.
- ^ См. Например Уолтер Грайнер; Д. Аллан Бромли (2007). Квантовая механика (2-е изд.). Springer. п. 60. ISBN 978-3-540-67458-0. а также Джон Джозеф Гилман (2003). Электронные основы прочности материалов . Издательство Кембриджского университета. п. 57. ISBN 978-0-521-62005-5., Дональд Д. Фиттс (1999). Принципы квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. п. 17. ISBN 978-0-521-65841-6..
- ^ Чанг К. Мэй (1989). Прикладная динамика поверхностных волн океана (2-е изд.). World Scientific. п. 47. ISBN 978-9971-5-0789-3.
- ^ Уолтер Грайнер; Д. Аллан Бромли (2007). Квантовая механика (2-е изд.). Springer. п. 60. ISBN 978-3-540-67458-0.
- ^ Зигмунд Брандт; Ханс Дитер Дамен (2001). Книжка с картинками по квантовой механике (3-е изд.). Springer. п. 23. ISBN 978-0-387-95141-6.
- ^ Сайрус Д. Кантрелл (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. п. 677 . ISBN 978-0-521-59827-9.
- ^ «Гравитационные волны обнаружены впервые,« открывает новое окно во Вселенной » » . CBC. 11 февраля 2016.
Источники
- Fleisch, D .; Киннаман, Л. (2015). Пособие по волнам для студентов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Bibcode : 2015sgw..book ..... F . ISBN 978-1107643260.
- Кэмпбелл, Мюррей; Greated, Клайв (2001). Пособие музыканта по акустике (Ред.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198165057.
- Французский, AP (1971). Колебания и волны (серия вводных физики Массачусетского технологического института) . Нельсон Торнс. ISBN 978-0-393-09936-2. OCLC 163810889 .
- Холл, DE (1980). Музыкальная акустика: Введение . Белмонт, Калифорния: Издательская компания Wadsworth. ISBN 978-0-534-00758-4..
- Хант, Фредерик Винтон (1978). Истоки в акустике . Вудбери, штат Нью-Йорк: Издано Американским акустическим обществом Американским институтом физики. ISBN 978-0300022209.
- Островский, Л.А.; Потапов А.С. (1999). Модулированные волны, теория и приложения . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 978-0-8018-5870-3..
- Griffiths, G .; Шиссер, WE (2010). Анализ бегущей волны уравнений с частными производными: численные и аналитические методы с помощью Matlab и Maple . Академическая пресса. ISBN 9780123846532.
Внешние ссылки
- Лекции Фейнмана по физике: волны
- Интерактивное визуальное представление волн
- Линейные и нелинейные волны
- Научное пособие: свойства волн - краткое руководство для подростков