В математике , то процесс Wiener является вещественная непрерывным временем стохастический процесс , названный в честь американского математика Норберта Винера для своих исследований на математических свойствах одномерного броуновского движения. [1] Его также часто называют броуновским движением из-за его исторической связи с физическим процессом с таким же названием, который первоначально наблюдал шотландский ботаник Роберт Браун . Это один из наиболее известных процессов Леви ( случайные процессы càdlàg со стационарными независимыми приращениями ), который часто встречается в чистом иприкладная математика , экономика , количественные финансы , эволюционная биология и физика .
Винеровский процесс играет важную роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике винеровский процесс привел к изучению мартингалов непрерывного времени . Это ключевой процесс, с помощью которого можно описать более сложные случайные процессы. Таким образом, он играет жизненно важную роль в стохастическом исчислении , диффузионных процессах и даже в теории потенциала . Это движущий процесс эволюции Шрамма – Лёвнера . В прикладной математике процесс Винера используется для представления интеграла гауссовского процесса белого шума и поэтому полезен в качестве модели шума в электронике (см. Броуновский шум ), инструментальных ошибок в теории фильтрации и возмущений в теории управления .
Винеровский процесс находит применение во всех математических науках. В физике он используется для изучения броуновского движения , диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, и других типов диффузии с помощью уравнений Фоккера – Планка и Ланжевена . Оно также является основой для строгого пути интегральной формулировке в квантовой механике (по формуле Фейнмана-Каца , является решением уравнения Шредингера может быть представлено в терминах процесса Wiener) и исследование вечной инфляции в физической космологии . Это также заметно в математической теории финансов , в частности в модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза .
Характеристики винеровского процесса
Винеровский процесс характеризуется следующими свойствами: [2]
- имеет независимые приращения : для каждого будущие приращения не зависят от прошлых ценностей ,
- имеет гауссовские приращения: нормально распределяется со средним и дисперсия ,
- имеет непрерывные пути: непрерывно в .
То, что процесс имеет независимые приращения, означает, что если 0 ≤ s 1 < t 1 ≤ s 2 < t 2, то W t 1 - W s 1 и W t 2 - W s 2 являются независимыми случайными величинами, и аналогичное условие выполняется для n приращения.
Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика Леви, согласно которой винеровский процесс является почти наверняка непрерывным мартингалом с W 0 = 0 и квадратичной вариацией [ W t , W t ] = t (что означает, что W t 2 - t тоже мартингал).
Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого являются независимыми случайными величинами N (0, 1). Это представление можно получить с помощью теоремы Карунена – Лоэва .
Другой характеристикой винеровского процесса является определенный интеграл (от нуля до времени t ) от нулевого среднего, единичной дисперсии, дельта-коррелированного («белого») гауссовского процесса . [ необходима цитата ]
Винеровский процесс может быть построен как предел масштабирования в виде случайной ходьбы или других дискретных стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Подобно случайному блужданию, винеровский процесс повторяется в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка бесконечно часто возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат), тогда как он не повторяется в трех измерениях и выше. [3] В отличие от случайного блуждания, оно не зависит от масштаба , что означает, что
является винеровским процессом для любой ненулевой постоянной α. Мера Винер является вероятностным законом на пространстве непрерывных функций г , с г (0) = 0, индуцированное процессом Винер. Интеграл на основе Винера можно назвать интегралом Wiener .
Винеровский процесс как предел случайного блуждания
Позволять быть iid случайными величинами со средним значением 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите случайный процесс с непрерывным временем
Это случайная ступенчатая функция. Приращения независимы, потому что независимы. Для большого п , близко к по центральной предельной теореме. Теорема Донскера утверждает, что при, приближается к винеровскому процессу, который объясняет повсеместное распространение броуновского движения. [4]
Свойства одномерного винеровского процесса
Основные свойства
Безусловная функция плотности вероятности , которая следует нормальному распределению со средним значением = 0 и дисперсией = t , в фиксированный момент времени t :
Ожидание равно нулю:
Дисперсии , используя вычислительную формулу, является т :
Эти результаты непосредственно следуют из определения, что приращения имеют нормальное распределение с центром в нуле. Таким образом
Ковариация и корреляция
Ковариации и корреляции (где):
Эти результаты следуют из определения, что неперекрывающиеся приращения независимы, при этом используется только то свойство, что они некоррелированы. Предположим, что.
Подстановка
мы приходим к:
С а также независимы,
Таким образом
Следствие, полезное для моделирования, состоит в том, что мы можем записать для t 1 < t 2 :
где Z - независимая стандартная нормальная переменная.
Винер представительство
Винер (1923) также дал представление броуновского пути в терминах случайного ряда Фурье . Если независимые гауссовские переменные с нулевым средним и единичной дисперсией, то
а также
представляют собой броуновское движение на . Масштабный процесс
это броуновское движение на (ср. теорему Карунена – Лоэва ).
Максимум бега
Совместное распределение бегового максимума
и W t равно
Чтобы получить безусловное распределение , проинтегрируем по −∞ < w ≤ m :
функция плотности вероятности полунормального распределения . Ожидание [5] равно
Если во время Винеровский процесс имеет известное значение , можно вычислить условное распределение вероятностей максимума в интервале (см. Распределение вероятностей крайних точек винеровского случайного процесса ). Кумулятивная функция распределения вероятности максимального значения, обусловлено известное значение, является:
Самоподобие
Броуновское масштабирование
Для любого c > 0 процесс это еще один винеровский процесс.
Обратное время
Процесс для 0 ≤ t ≤ 1 распределяется как W t для 0 ≤ t ≤ 1.
Инверсия времени
Процесс это еще один винеровский процесс.
Класс броуновских мартингалов
Если многочлен p ( x , t ) удовлетворяет УЧП
то случайный процесс
это мартингал .
Пример: является мартингалом, который показывает , что квадратичная вариация из W на [0, т ] равна т . Из этого следует , что ожидаемое время первого выхода из W из (- с , гр ) равно с 2 .
В более общем смысле, для каждого полинома p ( x , t ) следующий случайный процесс является мартингалом:
где a - многочлен
Пример: процесс
является мартингалом, который показывает, что квадратичная вариация мартингала на [0, t ] равно
О функциях p ( xa , t ) более общих, чем многочлены, см. Локальные мартингалы .
Некоторые свойства примеров путей
Множество всех функций w с этими свойствами имеет полную винеровскую меру. То есть путь (примерная функция) винеровского процесса почти наверняка обладает всеми этими свойствами.
Качественные свойства
- Для любого ε> 0 функция w принимает как (строго) положительные, так (строго) отрицательные значения на (0, ε).
- Функция w непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема (как функция Вейерштрасса ).
- Точки локального максимума функции w - плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум точен в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в точке t, то
- То же самое и для локальных минимумов.
- Функция w не имеет точек локального роста, то есть никакое t > 0 не удовлетворяет следующему для некоторого ε из (0, t ): во-первых, w ( s ) ≤ w ( t ) для всех s в ( t - ε, t ), а во-вторых, w ( s ) ≥ w ( t ) для всех s в ( t , t + ε). (Локальное увеличение - более слабое условие, чем возрастание w на ( t - ε, t + ε).) То же самое верно и для локального убывания.
- Функция w имеет неограниченную вариацию на каждом интервале.
- Квадратичная вариация от ш на [0, T] обозначает трет.
- Нули функции w - это нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерности Хаусдорфа 1/2 (следовательно, несчетной).
Количественные свойства
Закон повторного логарифма
Модуль непрерывности
Локальный модуль непрерывности:
Глобальный модуль непрерывности (Леви):
Местное время
Образ меры Лебега на [0, t ] при отображении w ( мера прямого распространения ) имеет плотность L t (·). Таким образом,
для широкого класса функций f (а именно: всех непрерывных функций; всех локально интегрируемых функций; всех неотрицательных измеримых функций). Плотность L t (точнее, может и будет выбрана) непрерывной. Число л т ( х ) называется локальное время при х из ш на [0, т ]. Оно строго положительно для всех x интервала ( a , b ), где a и b - наименьшее и наибольшее значение w на [0, t ] соответственно. (Для x вне этого интервала местное время, очевидно, обращается в нуль.) Рассматриваемое как функция двух переменных x и t , местное время по-прежнему непрерывно. Рассматриваемое как функция от t (в то время как x фиксировано), местное время является сингулярной функцией, соответствующей неатомической мере на множестве нулей w .
Эти свойства непрерывности довольно нетривиальны. Учтите, что местное время также может быть определено (как плотность прямой меры) для гладкой функции. Но тогда плотность будет разрывной, если данная функция не монотонна. Другими словами, существует конфликт между хорошим поведением функции и хорошим поведением ее местного времени. В этом смысле непрерывность местного времени винеровского процесса является еще одним проявлением негладкости траектории.
Скорость передачи информации
Скорость передачи информации винеровского процесса по отношению к квадрату ошибочного расстояния, то есть его квадратичной функции искажения , определяется выражением [6]
Следовательно, невозможно закодировать используя двоичный код меньше чем бит и восстановить его с ожидаемой среднеквадратичной ошибкой менее. С другой стороны, для любого, Существует достаточно большой и двоичный код не болееотдельные элементы, так что ожидаемая среднеквадратичная ошибка при восстановлении из этого кода не более .
Во многих случаях невозможно закодировать винеровский процесс без предварительной выборки . Когда винеровский процесс отбирается через определенные промежутки времениперед применением двоичного кода для представления этих образцов оптимальный компромисс между кодовой скоростью и ожидаемая среднеквадратичная ошибка (при оценке винеровского процесса с непрерывным временем) следует параметрическому представлению [7]
где а также . В частности, - среднеквадратичная ошибка, связанная только с операцией выборки (без кодирования).
Связанные процессы
Стохастический процесс, определяемый
называется винеровским процессом со сносом μ и бесконечно малой дисперсией σ 2 . Эти процессы исчерпывают непрерывные процессы Леви [ требуется пояснение ] .
Два случайных процесса на временном интервале [0, 1] появляются, грубо говоря, при условии, что винеровский процесс обращается в нуль на обоих концах [0,1]. Без дальнейшего кондиционирования процесс принимает как положительные, так и отрицательные значения на [0, 1] и называется броуновским мостом . При условии, что он также остается положительным на (0, 1), процесс называется броуновской экскурсией . [8] В обоих случаях строгий подход включает в себя ограничивающую процедуру, поскольку формула P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B ) неприменима, когда P ( B ) = 0.
Геометрическое броуновское движение можно записать
Это стохастический процесс, который используется для моделирования процессов, которые никогда не могут принимать отрицательные значения, например, стоимость акций.
Стохастический процесс
распределяется подобно процессу Орнштейна – Уленбека с параметрами, , а также .
Время удара одну точку х > 0 процессом Wiener является случайной величиной с распределением Леви . Семейство этих случайных величин (индексированных всеми положительными числами x ) является непрерывной слева модификацией процесса Леви . Непрерывная справа модификация этого процесса задается время первого выхода из отрезков [0, х ].
Местное время L = ( L х т ) х ∈ R , T ≥ 0 из броуновского движения описывает время , что процесс проводит в точке х . Формально
где δ - дельта-функция Дирака . Поведение местного времени описывается теоремами Рэя – Найта .
Броуновские мартингалы
Пусть A - событие, связанное с винеровским процессом (более формально: множество, измеримое относительно винеровской меры в пространстве функций), а X t - условная вероятность A для данного винеровского процесса на временном интервале [0 , t ] (более формально: мера Винера множества траекторий, конкатенация которых с данной частичной траекторией на [0, t ] принадлежит A ). Тогда процесс X t является непрерывным мартингалом. Его мартингальное свойство непосредственно следует из определений, но его непрерывность - очень особый факт - частный случай общей теоремы, утверждающей, что все броуновские мартингалы непрерывны. Броуновский мартингал по определению является мартингалом, адаптированным к броуновской фильтрации; а броуновская фильтрация - это, по определению, фильтрация, порожденная винеровским процессом.
Интегрированное броуновское движение
Интеграл по времени винеровского процесса
называется интегрированным броуновским движением или интегрированным винеровским процессом . Она возникает во многих приложениях и может быть показано, что распределение N (0, т 3 /3), [9] вычисляется с использованием того факта , что ковариация процесса Винера. [10]
В общем случае процесса, определяемого формулой
Тогда для ,
По факту, всегда является нормальной случайной величиной с нулевым средним. Это позволяет моделировать дано принимая
где Z - стандартная нормальная переменная и
Случай соответствует . Все эти результаты можно рассматривать как прямые следствия изометрии Ито . П шрифт Times-интегрированный процесс Винера является нулевым средним обычной переменной с дисперсией. Это дается формулой Коши для повторного интегрирования .
Изменение времени
Каждый непрерывный мартингейл (начиная с начала координат) - это винеровский процесс, измененный во времени.
Пример: 2 W t = V (4 t ), где V - другой винеровский процесс (отличный от W, но распределенный подобно W ).
Пример. где и V - другой винеровский процесс.
В общем случае, если M - непрерывный мартингал, тогде ( т ) является квадратичной вариацией из М на [0, т ], а V представляет собой процесс Винер.
Следствие. (См. Также теоремы Дуба о сходимости мартингалов. ) Пусть M t - непрерывный мартингал и
Тогда возможны только следующие два случая:
другие случаи (например, и т. д.) имеют вероятность 0.
В частности, неотрицательный непрерывный мартингал почти наверняка имеет конечный предел (при t → ∞).
Все сказанное (в этом подразделе) для мартингалов справедливо и для местных мартингалов .
Изменение меры
Широкий класс непрерывных семимартингалов (особенно диффузионных процессов ) связан с винеровским процессом через комбинацию изменения времени и изменения меры .
Используя этот факт, указанные выше качественные свойства винеровского процесса можно обобщить на широкий класс непрерывных семимартингалов. [11] [12]
Комплексный винеровский процесс
Комплекснозначный винеровский процесс можно определить как комплексный случайный процесс вида где а также являются независимыми винеровскими процессами (действительными). [13]
Самоподобие
Броуновское масштабирование, обращение времени, обращение времени: то же, что и в случае с действительными значениями.
Инвариантность вращения: для каждого комплексного числа такой, что процесс - еще один комплекснозначный винеровский процесс.
Изменение времени
Если является целой функцией , то процесс представляет собой комплекснозначный винеровский процесс с изменением времени.
Пример: где
а также - еще один комплекснозначный винеровский процесс.
В отличие от случая с действительными значениями, комплексный мартингал обычно не является комплексным винеровским процессом с измененным временем. Например, мартингейл это не здесь а также являются независимыми винеровскими процессами, как и раньше).
Смотрите также
Общие:
| Выборка числового пути:
|
Заметки
- ^ Н. Винер Соч vol.1
- ^ Durrett, Рик (2019). "Броуновское движение". Вероятность: теория и примеры (5-е изд.). ISBN 9781108591034.
- ^ "Константы случайного блуждания Поли" . Wolfram Mathworld .
- ^ Стивен Лалли, Математические финансы 345 Лекция 5: Броуновское движение (2001)
- ^ Шрив, Стивен Э (2008). Стохастическое исчисление для финансов II: модели непрерывного времени . Springer. п. 114. ISBN 978-0-387-40101-0.
- ^ Т. Бергер, "Скорость передачи информации винеровских процессов", в IEEE Transactions on Information Theory, vol. 16, нет. 2, стр. 134–139, март 1970 г. doi: 10.1109 / TIT.1970.1054423
- ↑ Kipnis, A., Goldsmith, AJ, Eldar, YC, 2019. Функция скорости искажения дискретизированных винеровских процессов. IEEE Transactions on Information Theory, 65 (1), pp.482-499.
- ^ Vervaat, W. (1979). «Связь между броуновским мостом и броуновской экскурсией» . Анналы вероятности . 7 (1): 143–149. DOI : 10.1214 / AOP / 1176995155 . JSTOR 2242845 .
- ^ "Вопросы для интервью VII: Интегрированное броуновское движение - Квантопия" . www.quantopia.net . Проверено 14 мая 2017 .
- ^ Форум, "Дисперсия интегрированного винеровского процесса" , 2009.
- ^ Revuz D., & Йор, М. (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Том 293). Springer.
- ^ Дуба, JL (1953). Стохастические процессы (Том 101). Вайли: Нью-Йорк.
- ^ Navarro-moreno, J .; Estudillo-martinez, MD; Фернандес-Алькала, РМ; Руис-Molina, JC (2009), "Оценка несобственных Комплекснозначные сигналов случайных в цветных шумов с помощью гильбертова пространства теории", IEEE Transactions по теории информации , 55 (6): 2859-2867, DOI : 10.1109 / ТТИ. 2009.2018329
Рекомендации
- Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(также доступно онлайн: PDF-файлы )
- Старк, Генри; Вудс, Джон (2002). Вероятность и случайные процессы с приложениями к обработке сигналов (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-020071-9.
- Ревуз, Даниил; Йор, Марк (1994). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Второе изд.). Springer-Verlag.
Внешние ссылки
- Статья для школьника
- Броуновское движение, «разнообразное и волнообразное»
- Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видео.
- «Предсказание Эйнштейна, наконец, стало свидетелем столетия спустя» : тест по наблюдению скорости броуновского движения
- «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» .