−1

В математике , -1 (также известный как отрицательный ) является аддитивной обратным из 1 , то есть число , которое , когда добавляют к 1 дает добавочную единичный элемент, 0. Это отрицательное целое число больше двух отрицательных (-2) и меньше  0 .

Отрицательный имеет некоторые свойства, похожие, но немного отличающиеся от положительного. ^[1]

Алгебраические свойства [ править ]

Умножение числа на −1 эквивалентно изменению знака числа. Это можно доказать с помощью закона распределения и аксиомы, согласно которой 1 является мультипликативным тождеством : для действительного x ,

х + (-1) ⋅ х = 1⋅ х + (-1) ⋅ х = (1 + (-1)) ⋅ х = 0⋅ х = 0 .

Уравнение, которое также подразумевает, что любое действительное число x, умноженное на 0, равно 0, что подразумевается сокращением из уравнения

0⋅ х = (0 + 0) ⋅ х = 0⋅ х + 0⋅ х .

Другими словами,

х + (-1) ⋅ х = 0 ,

поэтому (−1) ⋅ x , или - x , является арифметическим обратным к x .

Квадрат −1 [ править ]

Квадрат -1, т.е. -1 умножается на -1, равен 1. Как следствие, произведение двух отрицательных вещественных чисел положительно.

Для алгебраического доказательства этого результата начнем с уравнения

0 = −1⋅0 = −1⋅ [1 + (−1)] .

Первое равенство следует из приведенного выше результата. Второе следует из определения −1 как аддитивного обратного 1: это именно то число, которое при добавлении к 1 дает 0. Теперь, используя закон распределения, мы видим, что

0 = −1⋅ [1 + (−1)] = −1⋅1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1) .

Второе равенство следует из того, что 1 - мультипликативное тождество. Но теперь добавление 1 к обеим сторонам этого последнего уравнения означает

(-1) ⋅ (-1) = 1 .

Приведенные выше аргументы справедливы в любом кольце , концепция абстрактной алгебры, обобщающая целые и действительные числа.

Квадратные корни из −1 [ править ]

Хотя вещественных квадратных корней из -1 не существует, комплексное число i удовлетворяет условию i ² = -1 , и поэтому его можно рассматривать как квадратный корень из -1. ^{[2] [3]} Единственное другое комплексное число, квадрат которого равен −1, - это - i, потому что по фундаментальной теореме алгебры существует ровно два квадратных корня из любого ненулевого комплексного числа. В алгебре кватернионов (где основная теорема неприменима), содержащих комплексную плоскость, уравнение x 2 = −1 имеет бесконечно много решений .

Возведение в степень до отрицательных целых чисел [ править ]

Возведение в степень ненулевого действительного числа может быть расширено до отрицательных целых чисел . Сделаем определение, что x ⁻¹ =1/Икс, что означает, что мы определяем возведение числа в степень −1, чтобы иметь тот же эффект, что и обратное . Затем это определение распространяется на отрицательные целые числа, сохраняя экспоненциальный закон x ^a x ^b = x ^{( a + b )} для действительных чисел a и b .

Возведение в степень до отрицательных целых чисел может быть расширено до обратимых элементов кольца, определяя x ⁻¹ как мультипликативную инверсию x .

-1, который появляется как верхний индекс функции, не означает взятие (поточечной) обратной функции этой функции, а скорее обратная функция (или, в более общем смысле, обратная связь ) функции. Например, f ⁻¹ ( x ) является обратным к f ( x ) , или sin ⁻¹ ( x ) является обозначением функции арксинуса . Когда подмножество кодомена указано внутри функции, оно вместо этого обозначает прообраз этого подмножества кодомена под функцией.

Использует [ редактировать ]

• В разработке программного обеспечения -1 - обычное начальное значение для целых чисел, которое также используется, чтобы показать, что переменная не содержит полезной информации .
• Отрицательный имеет отношение к тождеству Эйлера, поскольку e ^iπ = −1 .

См. Также [ править ]

• Сбалансированный тройной
• Теорема Менелая

Ссылки [ править ]