Мультивектор
В полилинейной алгебре мультивектор , иногда называемый числом Клиффорда , [1] является элементом внешней алгебры Λ( V ) векторного пространства V. Эта алгебра является градуированной , ассоциативной и альтернирующей и состоит из линейных комбинаций простых k -векторов [ 2] (также известных как разложимые k - векторы [3] или k -лопасти ) вида
где в В. _
k - вектор — это такая линейная комбинация, которая является однородной степени k (все члены являются k -лезвиями для одного и того же k ). В зависимости от авторов «мультивектор» может быть либо k -вектором, либо любым элементом внешней алгебры (любой линейной комбинацией k -лезвий с потенциально разными значениями k ). [4]
В дифференциальной геометрии k - вектор — это вектор во внешней алгебре касательного векторного пространства ; то есть это антисимметричный тензор , полученный путем взятия линейных комбинаций внешнего произведения k касательных векторов для некоторого целого числа k ≥ 0 . Дифференциальная k - форма — это k -вектор во внешней алгебре, двойственной касательному пространству, который также является двойственным внешней алгебре касательного пространства .
Для k = 0, 1, 2 и 3 k -векторы часто называют соответственно скалярами , векторами , бивекторами и тривекторами ; они соответственно двойственны 0-формам, 1-формам, 2-формам и 3-формам . [5] [6]
Внешний продукт (также называемый продуктом клина), используемый для построения мультивекторов, является полилинейным (линейным в каждом входе), ассоциативным и альтернирующим. Это означает, что для векторов u , v и w в векторном пространстве V и для скаляров α , β внешний продукт обладает свойствами:
