В математике , особенно в теории множеств , числа алеф - это последовательность чисел, используемая для представления мощности (или размера) бесконечных множеств, которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором [1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф ( ). [2] [3]
(Хотя в старых книгах по математике буква «алеф» часто случайно печатается в перевернутом виде [nb 1] отчасти из-за того, что матрица монотипии для алеф была ошибочно построена неправильно). [4]
Мощность натуральных чисел равна (читайте aleph-naught или aleph-zero ; иногда также используется термин aleph-null ), следующая большая мощность хорошо упорядочиваемого набора - aleph-one , затем и так далее. Продолжая таким образом, можно определить кардинальное число для каждого порядкового числа , как описано ниже.
Понятие и обозначения обусловлены Georg Cantor , [5] , который определил понятие мощности и понял , что бесконечные множества могут иметь разные значения мощности .
Числа алефов отличаются от бесконечности ( ), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел линии действительного числа (применяется к функции или последовательности, которая " расходится до бесконечности »или« неограниченно возрастает »), или как крайняя точка расширенной линии действительных чисел .
Алеф-ничто [ править ]
(aleph-naught, также aleph-zero или aleph-null) - мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Множество всех конечных ординалов , называемых или (где - строчная греческая буква омега ), имеет мощность . Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует взаимно однозначное соответствие между ним и натуральными числами. Примеры таких наборов:
- набор всех целых чисел ,
- любое бесконечное подмножество целых чисел, такое как набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
- набор всех рациональных чисел ,
- множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
- набор всех алгебраических чисел ,
- множество всех вычислимых чисел ,
- набор всех двоичных строк конечной длины, и
- множество всех конечных подмножеств любого данного счетно бесконечного множества.
Эти бесконечные порядковые: , , , , и являются одними из счетных множеств. [6] Например, последовательность (с порядком ω · 2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}}
является упорядочением множества (с мощностью ) натуральных чисел.
Если выполняется аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ), то она меньше любого другого бесконечного кардинала.
Алеф-он [ править ]
- мощность множества всех счетных порядковых чисел , называемых или иногда . Это само по себе является порядковым числом больше всех счетных единиц, так что это несчетное множество . Следовательно, отличается от . Из определения следует (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между и . Если использовать аксиому выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен и, следовательно, - второе по величине бесконечное кардинальное число. Используя аксиому выбора, можно показать одно из наиболее полезных свойств множества : любое счетное подмножество имеет верхнюю границу в (Это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само является счетным - одним из наиболее распространенные применения аксиомы выбора.) Этот факт аналогичен ситуации в : каждый конечный набор натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные объединения конечных наборов конечны.
на самом деле полезная концепция, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения "закрывается" по отношению к счетным операциям; например, попытка явно описать -алгебру, порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «генерации» в алгебре ( векторные пространства , группы и т. Д.), Потому что в этих случаях нам нужно закрыть только относительно конечных операций - сумм, произведений и т. Д. Процесс включает определение для каждого счетного ординала с помощью трансфинитной индукции набора путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и взятия объединения всего этого по всему . σ {\displaystyle \sigma }
Каждое несчетное коаналитическое подмножество польского пространства имеет мощность или . [7]
Гипотеза континуума [ править ]
Мощность множества действительных чисел ( мощность континуума ) является . Невозможно определить с помощью ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля с выбранной аксиомой ), где это число точно соответствует иерархии чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума, CH , эквивалентна тождеству
СН утверждает, что не существует множества, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами. [9] CH не зависит от ZFC: его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC непротиворечива ). То, что CH согласуется с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC. То, что она не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал, наоборот, что сама CH не является теоремой ZFC - с помощью (тогда нового) метода принуждения . [8]
Алеф-омега [ править ]
Алеф-омега - это
где наименьший бесконечный ординал обозначен ω. То есть кардинальное число - это наименьшая верхняя граница
является первым несчетным кардинальным числом, которое в рамках теории множеств Цермело – Френкеля может быть продемонстрировано, что оно не равно мощности множества всех действительных чисел ; для любого положительного целого числа n мы можем последовательно предполагать это , и, более того, можно предположить, что оно настолько велико, насколько нам нравится. Мы только вынуждены избегать установки его для определенных специальных кардиналов с конфинальностью , что означает, что существует неограниченная функция от до него (см . Теорему Истона ).
Алеф - для общего [ править ]
Чтобы определить для произвольного порядкового числа , мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу следующий больший хорошо упорядоченный кардинал (если выполняется аксиома выбора , это следующий больший кардинал).
Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:
и X, бесконечный предел порядковый ,
Α-й бесконечные начальные порядковым записываются . Записана его мощность . В ZFC функция алеф - это биекция порядковых чисел в бесконечные кардиналы. [10]
Неподвижные точки омеги [ править ]
Для любого ординала α имеем
Во многих случаях строго больше, чем α. Например, для любого последующего ординала α это верно. Однако есть некоторые предельные ординалы, которые являются неподвижными точками омега-функции из -за леммы о неподвижной точке для нормальных функций . Первый из них - это предел последовательности
Любой слабо недоступный кардинал также является фиксированной точкой функции алеф. [11] Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Допустим , это слабодоступный кардинал. Если бы был порядковый преемник , то он был бы кардиналом-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы предельный порядковый номер был меньше чем , то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ) была бы меньше, и поэтому не была бы регулярной и, следовательно, не была бы слабо недоступной. Таким образом и, следовательно, что делает его неподвижной точкой.
Роль аксиомы выбора [ править ]
Мощность любого бесконечного порядкового числа - это число алеф. Каждый алеф - это мощность некоторого ординала. Наименьшее из них - его начальный порядковый номер . Любой набор, мощность которого является алефом, равнозначен порядковому номеру и, следовательно, хорошо упорядочен .
Каждое конечное множество хорошо упорядочивается, но не имеет алеф в качестве его мощности.
Предположение, что мощность каждого бесконечного множества является алеф-числом, эквивалентно над ZF существованию хорошего упорядочения каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно выбранной аксиоме . Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алеф в качестве его мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые числа чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.
Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве мощности; множества, мощность которых является алеф-числом, - это в точности бесконечные множества, которые можно упорядочить. Метод уловки Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для количественных чисел в установке ZF. Например, можно определить карту ( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S, минимально возможного ранга. Это имеет свойство card ( S ) = card ( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Установленная карта ( S) не имеет той же мощности, что и S, в общем, но все его элементы имеют.)
См. Также [ править ]
- Число Бет
- Функция Гимеля
- Обычный кардинал
- Трансфинитное число
- Порядковый номер
Заметки [ править ]
- ^ Например, в ( Серпинском 1958 , p.402) букве алеф появляется как правильный путь вверх и вверх вниз
Цитаты [ править ]
- ^ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Aleph
- ^ "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Алеф" . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ Суонсон, Эллен; О'Шон, Арлин Энн; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979], Математика в тип: Копирование и корректура математики для редакторов и авторов (обновленная редакция), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 16, ISBN 0-8218-0053-1, Руководство по ремонту 0553111
- ^ Джефф Миллер. «Раннее использование символов теории множеств и логики» . jeff560.tripod.com . Проверено 5 мая 2016 . Миллер цитирует Джозефа Уоррена Добена (1990). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . ISBN 9780691024479. : «Его новые числа заслуживают чего-то уникального ... Не желая сам изобрести новый символ, он выбрал алеф, первую букву еврейского алфавита ... Алеф можно считать символом новых начинаний ...»
- ^ Jech, Томас (2003), теория множеств , Springer Монография по математике, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag
- ^ Дэйлс HG, Dashiell FK, Lau A.TM., Штраус Д. (2016) Введение. В кн .: Банаховы пространства непрерывных функций как двойственные пространства. Книги CMS по математике (Ouvrages de mathématiques de la SMC). Спрингер, Чам
- ^ a b Szudzik, Мэттью (31 июля 2018 г.). «Гипотеза континуума» . Wolfram Mathworld . Веб-ресурсы Wolfram . Проверено 15 августа 2018 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза континуума" . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ числа алеф в PlanetMath .
- ↑ Харрис, Кеннет (6 апреля 2009 г.). "Math 582: Введение в теорию множеств, лекция 31" (PDF) . Департамент математики Мичиганского университета. Архивировано из оригинального (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 1 сентября 2012 года .
Ссылки [ править ]
- Серпинский, Вацлав (1958), Кардинальные и порядковые номера , Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, 34 , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0095787
Внешние ссылки [ править ]
- "Алеф-ноль" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . MathWorld .