В теории вероятностей , событие , как говорят , произошло почти наверняка (иногда сокращенно , как ) , если это произойдет с вероятностью 1 (или меры Лебега 1). [1] [2] Другими словами, множество возможных исключений может быть непустым, но оно имеет вероятность 0. Эта концепция по существу аналогична концепции « почти всюду » в теории меры .
В вероятностных экспериментах на конечном пространстве выборок часто нет разницы между почти наверняка и наверняка (поскольку вероятность, равная 1, часто влечет за собой включение всех точек выборки ). Тем не менее, это различие становится важным , когда выборочное пространство представляет собой бесконечное множество , [3] , потому что бесконечное множество может иметь непустые подмножества вероятности 0.
Некоторые примеры использования этой концепции включают сильные и однородные версии закона больших чисел и непрерывность траекторий броуновского движения .
Также используются термины почти наверняка (ac) и почти всегда (aa). Почти никогда не описывает противоположное почти наверняка : событие, которое происходит с нулевой вероятностью, почти никогда не случается . [1] [4]
Формальное определение
Позволять - вероятностное пространство . событие почти наверняка случится, если. Эквивалентно, происходит почти наверняка, если вероятность не происходит - ноль :. В общем, любое событие (не обязательно в ) почти наверняка произойдет, если содержится в нулевом наборе : подмножество в такой, что . [5] Понятие почти уверенности зависит от вероятностной меры. Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событиепроисходит P -почти наверняка, или почти наверняка.
Наглядные примеры
В общем, событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает результаты, которые не принадлежат событию, как показывают следующие примеры.
Метание дротика
Представьте, что вы бросаете дротик в единичный квадрат (квадрат с площадью 1) так, чтобы дротик всегда попадал в точную точку квадрата таким образом, чтобы каждая точка в квадрате была поражена с одинаковой вероятностью. Поскольку квадрат имеет площадь 1, вероятность того, что дротик поразит любую конкретную подобласть квадрата, равна площади этой подобласти. Например, вероятность того, что дротик попадет в правую половину квадрата, равна 0,5, поскольку правая половина имеет площадь 0,5.
Затем рассмотрим случай, когда дротик попадает точно в точку на диагоналях единичного квадрата. Поскольку площадь диагоналей квадрата равна 0, вероятность того, что дротик приземлится точно по диагонали, равна 0. То есть дротик почти никогда не приземлится на диагональ (эквивалентно, он почти наверняка не приземлится на диагональ. ), даже если множество точек на диагоналях не пусто, и точка на диагонали не менее возможна, чем любая другая точка.
Многократное подбрасывание монеты
Рассмотрим случай, когда подбрасывается монета (возможно, смещенная), соответствующая вероятностному пространству , где событие возникает, если перевернуть голову, и если хвост перевернут. Для этой конкретной монеты предполагается, что вероятность перевернуть голову равна, из чего следует, что событие дополнения, то есть переворачивание хвоста, имеет вероятность .
Теперь предположим, что был проведен эксперимент, в котором монета подбрасывалась неоднократно, и результаты и предположение, что результат каждого переворота не зависит от всех остальных (т. е. они независимы и одинаково распределены ; iid ). Определите последовательность случайных величин на поле для подбрасывания монеты, где . т.е. каждый записывает результат й флип.
В этом случае возможным результатом эксперимента является любая бесконечная последовательность орлов и решек. Однако любая конкретная бесконечная последовательность орлов и решек имеет вероятность 0 быть точным результатом (бесконечного) эксперимента. Это потому, что предположение iid подразумевает, что вероятность перевернуть все решки сальто просто . Сдача дает 0, так как по предположению. Результат один и тот же независимо от того, насколько сильно мы склоняем монету в сторону орла, пока мы ограничиваемдолжно быть строго между 0 и 1. Фактически, тот же результат сохраняется даже в нестандартном анализе, где бесконечно малые вероятности недопустимы. [6]
Причем в событии "последовательность бросков" присутствует хотя бы один "также почти наверняка произойдет (то есть с вероятностью 1). Но если вместо бесконечного числа подбрасываний переворот прекращается через некоторое конечное время, скажем, 1 000 000 подбрасываний, тогда вероятность получения последовательности всех орлов , больше не будет 0, а вероятность получить хотя бы одну решку, , больше не будет 1 (т. е. событие больше не является почти гарантированным).
Асимптотически почти наверняка
В асимптотическом анализе свойство называется асимптотически почти наверняка (aas), если по последовательности множеств вероятность сходится к 1. Например, в теории чисел большое число асимптотически почти наверняка составно согласно теореме о простых числах. ; а в теории случайных графов утверждение "это связано "(где обозначает графики на вершины с вероятностью ребра ) верно, если для некоторых
В теории чисел это называется « почти все », например «почти все числа составные». Точно так же в теории графов это иногда называют «почти наверняка». [8]
Смотрите также
- Почти
- Практически везде соответствующее понятие в теории меры
- Сходимость случайных величин для "почти надежной сходимости"
- Правило Кромвеля , которое гласит, что вероятности почти никогда не должны приниматься равными нулю или единице.
- Вырожденное распределение для "почти наверняка постоянного"
- Теорема о бесконечной обезьяне, теорема , использующая вышеупомянутые термины
- Список математического жаргона
Заметки
- ^ а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - почти» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 16 ноября 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти наверняка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 ноября 2019 .
- ^ «Почти наверняка - Math Central» . mathcentral.uregina.ca . Проверено 16 ноября 2019 .
- ^ Грэдель, Эрих; Колайтис, Phokion G .; Либкин, Леонид ; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Й .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Springer. п. 232 . ISBN 978-3-540-00428-8.
- ^ Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Springer. п. 37 . ISBN 978-3-540-438717.
- ^ Уильямсон, Тимоти (01.07.2007). "Насколько вероятна бесконечная последовательность голов?" . Анализ . 67 (3): 173–180. DOI : 10.1093 / Analys / 67.3.173 . ISSN 0003-2638 .
- ^ Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с монохроматическим треугольником во всех красках». Воспоминания Американского математического общества . Книжный магазин AMS. 179 (845): 3–4. DOI : 10,1090 / мемо / 0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .
- ^ Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два начальных примера» . Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. 22 . Springer. п. 4. ISBN 978-3540416548.
Рекомендации
- Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы . 1: Основы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521775946.
- Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с мартингейлами . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521406055.