Чередующиеся шестиугольные черепичные соты

Чередующиеся шестиугольные черепичные соты
Тип	Паракомпактные однородные соты Полуправильные соты
Символы Шлефли	h {6,3,3} s {3,6,3} 2s {6,3,6} 2s {6,3 ^[3] } s {3 ^[3,3] }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{3,3} {3 ^[3] }
Лица	треугольник {3}
Фигура вершины	усеченный тетраэдр
Группы Кокстера	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}$ , [3,3 ^[3] ] 1/2 , [6,3,3] 1/2 , [3,6,3] 1/2 , [6,3,6] 1/2 , [6,3 ^[3] ] 1/2 , [3 ^[3,3] ] ${\ displaystyle {\ overline {V}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ overline {Y}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ overline {Z}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ overline {VP}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PP}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный, квазирегулярный

В трехмерной гиперболической геометрии чередующиеся гексагональные мозаичные соты h {6,3,3}, или же , представляет собой полурегулярную мозаику с тетраэдром и треугольными мозаичными ячейками, расположенными в вершинной фигуре октаэдра . Она названа в честь его строительства, как изменения в виде гексагональных плиточных сот .

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Построения симметрии [ править ]

Отношения подгруппы

Он имеет пять чередующихся конструкций из отражающих групп Кокстера, все с четырьмя зеркалами, и только первое из них является обычным: [6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], [6,3 ^[3] ] и [3 ^[3,3] ], имеющие фундаментальные области в 1, 4, 6, 12 и 24 раза соответственно . В разметках подгрупп нотации Кокстера они связаны следующим образом: [6, (3,3) ^* ] (удалить 3 зеркала, подгруппа индекса 24); [3,6,3 ^* ] или [3 ^* , 6,3] (удалить 2 зеркала, подгруппа индекса 6); [1 ⁺ , 6,3,6,1 ⁺ ] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 ^[3,3] ]. Окруженные диаграммы Кокстера - это, , , а также , представляющие различные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Wythoff .

Связанные соты [ править ]

Чередующиеся шестиугольные мозаичные соты имеют 3 родственные формы: кантические шестиугольные мозаичные соты ,; runcic гексагональных плиточных соты ,; и рунические шестиугольные черепичные соты ,.

Кантические шестиугольные черепичные соты [ править ]

Cantic шестиугольные черепичные соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч ₂ {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	r {3,3} t {3,3} h 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}$ , [3,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantic гексагонального плиточный сот , ч ₂ {6,3,3}, или же , состоит из октаэдра , усеченного тетраэдра и трехгексагональных мозаичных граней с фигурной вершиной клина .

Рунковские шестиугольные черепичные соты [ править ]

Шестигранная черепица Runcic в виде сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч ₃ {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,3} {} x {3} rr {3,3} {3 [3] }
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольный купол
Группы Кокстера	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}$ , [3,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcic гексагонального плиточный сот , ч ₃ {6,3,3}, или же , имеет тетраэдр , треугольную призму , кубооктаэдр и треугольные грани мозаики с треугольной фигурой вершины купола .

Рунсикантические шестиугольные черепичные соты [ править ]

Шестиугольная черепица Runcantic с сотовой структурой
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч _2,3 {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	t {3,3} {} x {3} tr {3,3} h 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	прямоугольная пирамида
Группы Кокстера	${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {3}}$ , [3,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcicantic гексагонального плиточного сот , ч _2,3 {6,3,3}, или же , имеет усеченный тетраэдр , треугольную призму , усеченный октаэдр и трехгексагональные мозаичные грани с прямоугольной вершиной пирамиды .

См. Также [ править ]

Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
Паракомпактные однородные соты
Полуправильные соты
Шестигранная черепичная сотовая конструкция

Ссылки [ править ]

Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований (1999), том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [1] [2]
Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера , (2002) H ³ : p130. [3]